Exercice 1 4759

Calculer les développements asymptotiques des suites dont les termes généraux sont les suivants:

Exercice 2 1459 Correction

Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée:

Solution

(a)

$\ln (n + 1) = \ln (n) + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}})$ .
(b)

$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{8} \frac{1}{n^{5 / 2}} + o (\frac{1}{n^{5 / 2}})$ .
(c)

$\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \sqrt{n}} + \frac{1}{16 n} + o (\frac{1}{n})$ .
(d)

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e - \frac{e}{2 n} + \frac{11 e}{24 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}})$ .

Exercice 3 5029

(Constante d’Euler)

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on pose

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln (n + 1) et b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln (n) .

(a)

Établir que $\ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x \in] - 1; + \infty [$ .
(b)

Justifier que les suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ sont adjacentes.

On note $γ$ leur limite commune¹¹ 1 Il s’agit de la constante d’Euler, $γ \approx 0,577 à 10^{- 3} près$ ..

Exercice 4 323 CENTRALE (MP)Correction

Développement asymptotique à trois termes de:

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \sin (\frac{k}{n^{2}}) .

Solution

Pour $x \in [0; 1]$ ,

| \sin (x) - x + \frac{1}{6} x^{3} | \leq \frac{1}{120} .

On a donc

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} - \frac{1}{6} \frac{k^{3}}{n^{6}} + M_{n}

avec

| M_{n} | \leq \frac{1}{120} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{5}}{n^{10}} \leq \frac{1}{120} \frac{1}{n^{4}}

donc $M_{n} = o (1 / n^{3})$ .
Or

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} = \frac{n (n + 1)}{2 n^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{6}} = \frac{1}{n^{6}} \sum_{k = 1}^{n} k^{3} \sim \frac{1}{4 n^{2}}

donc

u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{24 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}) .

Exercice 5 1476 Correction

Former le développement asymptotique, en $+ \infty$ , à la précision $1 / n^{2}$ de

u_{n} = \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} k! .

Solution

On a

u_{n} = \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} k! = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n (n - 1)} + \frac{1}{n (n - 1) (n - 2)} + \sum_{k = 0}^{n - 4} \frac{k!}{n!} .

0 \leq \sum_{k = 0}^{n - 4} \frac{k!}{n!} \leq \sum_{k = 0}^{n - 4} \frac{(n - 4)!}{n!} \leq n \frac{1}{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)} \underset{n \to + \infty}{=} o (\frac{1}{n^{2}}) .

Donc

u_{n} \underset{n \to + \infty}{=} 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}) .

Exercice 6 2788 MINES (MP)Correction

Donner un développement asymptotique de ${(\frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} k!)}_{n \in ℕ}$ à la précision $1 / n^{3}$ .

Solution

On a

\frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} k! = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n (n - 1)} + \frac{1}{n (n - 1) (n - 2)} + o (\frac{1}{n^{3}}) + \sum_{k = 0}^{n - 5} \frac{k!}{n!} .

\sum_{k = 0}^{n - 5} \frac{k!}{n!} \leq (n - 4) \frac{(n - 5)!}{n!} = o (\frac{1}{n^{3}})

donc

\frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} k! = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}} + o (\frac{1}{n^{3}}) .

Édité le 29-08-2023

Calcul de développements asymptotiques de suites