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Exercice 1  4759  

Calculer les développements asymptotiques des suites dont les termes généraux sont les suivants:

  • (a)

    n2+1 à 3 termes

  • (b)

    nn à 3 termes

  • (c)

    (1+1n)n à 3 termes.

 
Exercice 2  1459  Correction  

Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée:

  • (a)

    un=ln(n+1) à la précision 1/n2

  • (b)

    un=n+1-n-1 à la précision 1/n2

  • (c)

    un=n+n-n à la précision 1/n

  • (d)

    un=(1+1n)n à la précision 1/n2.

Solution

  • (a)

    ln(n+1)=ln(n)+1n-12n2+o(1n2).

  • (b)

    n+1-n-1=1n+181n5/2+o(1n5/2).

  • (c)

    n+n-n=12-18n+116n+o(1n).

  • (d)

    (1+1n)n=e-e2n+11e24n2+o(1n2).

 
Exercice 3  5029  

(Constante d’Euler)

Pour tout n*, on pose

an=k=1n1k-ln(n+1)etbn=k=1n1k-ln(n).
  • (a)

    Établir que ln(1+x)x pour tout x]-1;+[.

  • (b)

    Justifier que les suites (an)n1 et (bn)n1 sont adjacentes.

On note γ leur limite commune11 1 Il s’agit de la constante d’Euler, γ0,577 à 10-3 près..

  • (c)

    Justifier le développement

    k=1n1k=n+ln(n)+γ+o(1).
 
Exercice 4  323   Correction  

Développement asymptotique à trois termes de:

un=k=1nsin(kn2).

Solution

Pour x[0;1],

|sin(x)-x+16x3|1120.

On a donc

un=k=1nkn2-16k3n6+Mn

avec

|Mn|1120k=1nk5n1011201n4

donc Mn=o(1/n3).
Or

k=1nkn2=n(n+1)2n2=12+12n

et

k=1nk3n6=1n6k=1nk314n2

donc

un=12+12n-124n2+o(1n2).
 
Exercice 5  1476   Correction  

Former le développement asymptotique, en +, à la précision 1/n2 de

un=1n!k=0nk!.

Solution

On a

un=1n!k=0nk!=1+1n+1n(n-1)+1n(n-1)(n-2)+k=0n-4k!n!.

Or

0k=0n-4k!n!k=0n-4(n-4)!n!n1n(n-1)(n-2)(n-3)=n+o(1n2).

Donc

un=n+1+1n+1n2+o(1n2).
 
Exercice 6  2788   Correction  

Donner un développement asymptotique de (1n!k=0nk!)n à la précision 1/n3.

Solution

On a

1n!k=0nk!=1+1n+1n(n-1)+1n(n-1)(n-2)+o(1n3)+k=0n-5k!n!.

Or

k=0n-5k!n!(n-4)(n-5)!n!=o(1n3)

donc

1n!k=0nk!=1+1n+1n2+2n3+o(1n3).

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Édité le 05-09-2019

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