Exercice 1 4763

Étudier les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$
(b)

${lim}_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{x}}{x}$
(c)

${lim}_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2}})$
(d)

${lim}_{x \to + \infty} {(\cos (\frac{1}{x}))}^{x^{2}}$
(e)

${lim}_{x \to + \infty} {(3 \cdot 2^{\frac{1}{x}} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{x}})}^{x}$ .

Exercice 2 1822 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x e^{- x} + x^{2}}{x - \ln (x)}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x \ln (x) - x}{x + \cos (x)}$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x e^{x} - x^{2}}}{e^{x} + e^{- x}}$

Solution

(a)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{x e^{- x} + x^{2}}{x - \ln (x)} \sim \frac{x^{2}}{x} = x \to + \infty .$
(b)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{x \ln (x) - x}{x + \cos (x)} \sim \frac{x \ln (x)}{x} = \ln (x) \to + \infty .$
(c)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{\sqrt{x e^{x} - x^{2}}}{e^{x} + e^{- x}} \sim \sqrt{x} e^{- x / 2} \to 0 .$

Exercice 3 704 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{x + \sin (x)}{x \ln (x)}$
(b)

${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x) + x^{2}}{\ln (x + x^{2})}$
(c)

${lim}_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1}$

Solution

(a)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$\frac{x + \sin (x)}{x \ln (x)} = \frac{x + x + o (x)}{x \ln (x)} \sim \frac{2}{\ln (x)} \to 0 .$
(b)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$\ln (x) + x^{2} = \ln (x) + o (\ln (x))$

et puisque

$x + x^{2} \sim x \to 0 \neq 1$

on a

$\ln (x + x^{2}) \sim \ln (x)$

donc

$\frac{\ln (x) + x^{2}}{\ln (x + x^{2})} \sim \frac{\ln (x)}{\ln (x)} = 1 \to 1 .$
(c)

Quand $x \to 1$ , on peut écrire $x = 1 + h$ avec $h \to 0$ et alors

$\frac{\ln (x)}{x^{2} - 1} = \frac{\ln (1 + h)}{2 h + h^{2}} \sim \frac{h}{2 h} = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} .$

Exercice 4 3381 Correction

Déterminer

lim_{x \to 1^{-}} \ln (x) \ln (1 - x) .

Solution

Posons $x = 1 - h$ .
Quand $x \to 1^{-}$ , on a $h \to 0^{+}$ et

\ln (x) \ln (1 - x) = \ln (1 - h) \ln (h) \sim - h \ln (h) \to 0 .

Exercice 5 705 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{x^{\ln (x)}}{\ln (x)}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} {(\frac{x}{\ln (x)})}^{\frac{\ln (x)}{x}}$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} \frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{\ln (x)}$

Solution

(a)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{x^{\ln (x)}}{\ln (x)} = e^{{(\ln (x))}^{2} - \ln (\ln (x))} = e^{{(\ln (x))}^{2} + o {(\ln (x))}^{2}} \to + \infty .$
(b)

Quand $x \to + \infty$ ,

${(\frac{x}{\ln (x)})}^{\frac{\ln (x)}{x}} = e^{\frac{\ln (x)}{x} \ln (x) - \frac{\ln (x)}{x} \ln (\ln (x))} = e^{\frac{{(\ln (x))}^{2}}{x} + o (\frac{{(\ln (x))}^{2}}{x})} \to 1 .$
(c)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{\ln (x)} = \frac{\ln (2 x + o (x))}{\ln (x)} \sim \frac{\ln (2) + \ln (x)}{\ln (x)} \sim 1 \to 1 .$

Exercice 6 1462 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 0} \frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2}}$
(b)

${lim}_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{\ln (1 + x)}$
(c)

${lim}_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{1 / x} - e}{x}$

Solution

(a)

${lim}_{x \to 0} \frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{3}$
(b)

${lim}_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{\ln (1 + x)} = - \frac{1}{2}$
(c)

${lim}_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{1 / x} - e}{x} = - \frac{e}{2}$ .

Exercice 7 1463 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 2} {(\frac{2^{x} + 3^{x}}{2^{x + 1} + 5^{x / 2}})}^{1 / (2 - x)}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} {(\frac{\ln (1 + x)}{\ln (x)})}^{x \ln (x)}$
(c)

${lim}_{x \to a} \frac{x^{a} - a^{x}}{\arctan (x) - \arctan (a)}$ avec $a > 0$

Solution

(a)

${lim}_{x \to 2} {(\frac{2^{x} + 3^{x}}{2^{x + 1} + 5^{x / 2}})}^{1 / (2 - x)} = \frac{1}{3} 6^{4 / 13} 5^{5 / 26}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} {(\frac{\ln (1 + x)}{\ln (x)})}^{x \ln (x)} = e$
(c)

$x^{a} - a^{x} \sim a^{a} (1 - \ln (a)) (x - a)$ si $a \neq 1$ et $\arctan (x) - \arctan (a) \sim {(\arctan (a))}^{'} (x - a) = \frac{(x - a)}{1 + a^{2}}$ .
Si $a \neq 1$ ,

$lim_{x \to a} \frac{x^{a} - a^{x}}{\arctan (x) - \arctan (a)} = a^{a} (1 + a^{2}) (1 - \ln (a)) .$

Si $a = 1$ ,

$lim_{x \to a} \frac{x^{a} - a^{x}}{\arctan (x) - \arctan (a)} = 2 .$

Exercice 8 5028

(a)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles définies sur un intervalle dont $a$ est une extrémité finie ou infinie. On suppose

$f (x) \to_{x \to a}^{} 1 et g (x) (f (x) - 1) \to_{x \to a}^{} ℓ \in ℝ \cup {\pm \infty} .$

Étudier la limite de $f {(x)}^{g (x)}$ lorsque $x$ tend vers $a$ .
(b)

Application : Étudier

$lim_{x \to + \infty} {(\frac{1}{x} + \frac{\ln (2 x)}{\ln (x)})}^{\ln (x)} .$

Exercice 9 3230 Correction

Soit

f : x \mapsto \frac{x + 1}{x} e^{x} .

(a)

Montrer que l’équation

$f (x) = λ$

admet deux solutions $a (λ) < b (λ)$ pour $λ$ assez grand.
(b)

Déterminer

$lim_{λ \to + \infty} b {(λ)}^{a (λ)} .$

Solution

(a)

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $ℝ^{*}$ avec

$f^{'} (x) = (\frac{x^{2} + x - 1}{x^{2}}) e^{x} .$

Notons $α < β$ les deux racines réelles de l’équation $x^{2} + x - 1 = 0$ . On a le tableau des variations suivant

Pour $λ > \max (f (β), f (α))$ , l’équation $f (x) = λ$ admet deux solutions, l’une dans $a (λ) \in] 0; β [$ et l’autre $b (λ) \in] β; + \infty [$ .
(b)

On a

$a (λ) = {(f_{↾] 0; β [})}^{- 1} (λ) \to_{λ \to + \infty}^{} 0^{+} et b (λ) = {(f_{↾] β; + \infty [})}^{- 1} (λ) \to_{λ \to + \infty}^{} + \infty .$

Puisque $a (λ) \to 0$ et

$\frac{a (λ) + 1}{a (λ)} e^{a (λ)} = λ$

on a

$λ a (λ) = (a (λ) + 1) e^{a (λ)} \to 1$

donc

$a (λ) \sim \frac{1}{λ} .$

Puisque $b (λ) \to + \infty$ et

$\frac{b (λ) + 1}{b (λ)} e^{b (λ)} = λ$

donc

$e^{b (λ)} \sim λ .$

Or $λ \to + \infty \neq 1$ donc

$b (λ) \sim \ln (λ)$

et puisque $\ln (λ) \to + \infty \neq 1$ , on a encore

$\ln (b (λ)) \sim \ln (\ln (λ)) .$

Par suite,

$b {(λ)}^{a (λ)} = e^{a (λ) \ln (b (λ))}$

avec

$a (λ) \ln (b (λ)) \sim \frac{\ln (\ln (λ))}{λ} \to 0$

donc

$b {(λ)}^{a (λ)} \to 1 .$

Exercice 10 3228 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ vérifiant

f (0) = f^{'} (0) = 0 et f^{''} (0) > 0 .

(a)

Montrer l’existence de $a > 0$ tel que $f$ est strictement décroissante sur $[- a; 0]$ et strictement croissante sur $[0; a]$ .
(b)

On pose

$b = \min {f (- a), f (a)} .$

Montrer que pour tout $λ \in [0; b]$ , l’équation $f (x) = λ$ admet une unique solution $x_{1} (λ)$ dans $[- a; 0]$ et une unique solution $x_{2} (λ)$ dans $[0; a]$ .
(c)

Déterminer les limites puis des équivalents de $x_{1} (λ)$ et de $x_{2} (λ)$ quand $λ \to 0^{+}$ .
(d)

On suppose maintenant que $f$ est de classe $𝒞^{3}$ . Étudier la limite quand $λ \to 0^{+}$ de

$\frac{x_{1} (λ) + x_{2} (λ)}{λ} .$

Solution

(a)

Puisque $f^{''}$ est continue et $f^{''} (0) > 0$ , on peut introduire $a > 0$ tel que $f^{''} > 0$ sur $[- a; a]$ .
On a alors $f^{'}$ strictement croissante sur $[- a; a]$ et puisque $f^{'} (0) = 0$ , on peut exprimer le signe de $f^{'}$ sur $[0; a]$ et constater que $f$ est strictement décroissante sur $[- a; 0]$ et strictement croissante sur $[0; a]$ .
(b)

Puisque $f$ est continue, par stricte monotonie, $f$ réalise une bijection $f_{1}$ de $[- a; 0]$ sur $[0; f (- a)]$ et une bijection $f_{2}$ de $[0; a]$ sur $[0; f (a)]$ . L’existence et l’unicité de $x_{1} (λ)$ et de $x_{2} (λ)$ en découlent et

$x_{1} (λ) = f_{1}^{- 1} (λ) et x_{2} (λ) = f_{2}^{- 1} (λ) .$
(c)

Par continuité de $f_{1}^{- 1}$ et $f_{2}^{- 1}$ , on a

$lim_{λ \to 0^{+}} x_{1} (λ) = 0^{-} et lim_{λ \to 0^{+}} x_{2} (λ) = 0^{+} .$

Par la formule de Taylor-Young, quand $x \to 0$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} f^{''} (0) + o (x^{2}) .$

Pour $i \in {1,2}$ , puisque $x_{i} (λ) \to 0$ ,

$λ = f (x_{i} (λ)) = \frac{1}{2} x_{i}^{2} (λ) f^{''} (0) + o (x_{i}^{2} (λ))$

donc

$x_{i}^{2} (λ) \sim \frac{2 λ}{f^{''} (0)} .$

Ainsi,

$x_{1} (λ) \sim - \frac{\sqrt{2 λ}}{\sqrt{f^{''} (0)}} et x_{2} (λ) \sim \frac{\sqrt{2 λ}}{\sqrt{f^{''} (0)}} .$
(d)

On peut écrire

$x_{i} (λ) = \pm \frac{\sqrt{2 λ}}{\sqrt{f^{''} (0)}} + y_{i} (λ) avec y_{i} = o (\sqrt{λ}) .$

Par la formule de Taylor-Young, quand $λ \to 0$

$λ = f (x_{i} (λ)) = \frac{1}{2} x_{i}^{2} (λ) f^{''} (0) + \frac{1}{6} x_{i}^{3} (λ) f^{(3)} (0) + o (x_{i}^{3} (λ))$

et l’on obtient

$y_{1} (λ) \sim - \frac{1}{3} \frac{f^{(3)} (0)}{f^{''} {(0)}^{2}} λ et y_{2} (λ) \sim - \frac{1}{3} \frac{f^{(3)} (0)}{f^{''} {(0)}^{2}} λ$

donc

$\frac{x_{1} (λ) + x_{2} (λ)}{λ} \to - \frac{2}{3} \frac{f^{(3)} (0)}{f^{''} {(0)}^{2}} .$

[<] Comparaison de fonctions numériques [>] Calcul de développements limités

Édité le 29-08-2023

Calcul de limites de fonctions numériques