[<] Comparaison de suites numériques [>] Calcul de développements asymptotiques de suites

 
Exercice 1  4754  

Calculer les limites quand n tend vers l’infini des termes suivants:

  • (a)

    n((1+1n)27-1)

  • (b)

    (n+1)(n1/n-1)

  • (c)

    (1+xn)n avec x.

 
Exercice 2  1473  Correction  

Déterminer les limites suivantes:

  • (a)

    limn+nsin(1n)

  • (b)

    limn+(nsin(1n))n2

  • (c)

    limn+n2((n+1)1/n-n1/n)

Solution

  • (a)
    nsin(1n)nn=1

    donc

    limn+nsin(1n)=1.
  • (b)
    (nsin(1n))n2=en2ln(nsin(1n))=e-16+o(1)

    donc

    limn+(nsin(1n))n2=1e6.
  • (c)
    n2((n+1)1/n-n1/n)=eln(n)nn2(eln(1+1/n)n-1)n+eln(n)n

    donc

    limn+n2((n+1)1/n-n1/n)=1.
 
Exercice 3  2283   Correction  

Déterminer la limite des suites (un) suivantes:

  • (a)

    un=nln(1+1n2+1)

  • (b)

    un=(1+sin(1n))n

  • (c)

    un=nn+1(n+1)n

Solution

  • (a)
    ln(1+1n2+1)n+1n2+1n+1n2

    car 1n2+10. Par suite,

    unn+1n+1.
  • (b)

    un=enln(1+sin(1n)) avec

    ln(1+sin(1n))n+sin(1n)n+1n

    donc nln(1+sin(1n))1 puis une.

  • (c)

    un=en+1ln(n)-nln(n+1) avec

    n+1ln(n)-nln(n+1)=(n+1-n)ln(n)-nln(1+1n).

    Or

    (n+1-n)ln(n)=ln(n)n+1+n=ln(n)2n+o(n)n+ln(n)2n

    et

    nln(1+1n)n+1n=n+o(ln(n)2n)

    donc

    n+1ln(n)-nln(n+1)=n+ln(n)2n+o(ln(n)2n)n+0

    donc un1.

 
Exercice 4  302  Correction  

Nature de la suite de terme général

un=cos(πn2ln(1-1n)).

Solution

En développant ln(1-1/n),

un=n+cos(πn+π2+o(1))=(-1)n+1sin(o(1))n+0.
 
Exercice 5  2782     MINES (MP)

Soient a et b des réels positifs.

Étudier

limn+(a1n+b1n2)n.
 
Exercice 6  1475  Correction  

Déterminer

limn+(32n-23n)n.

Solution

On a

32n-23n=3e1nln(2)-2e1nln(3)=n+1+3ln(2)-2ln(3)n+o(1n)

donc

(32n-23n)n=enln(32n+23n)=eln(8/9)+o(1)n+89.
 
Exercice 7  2990     ENSTIM (MP)Correction  

Soit a>1. Étudier

limn+((a+1)a1/n-a(a+1)1/n)n.

Solution

Par développement limité,

(a+1)a1/n=(a+1)exp(1nln(a))=n+(a+1)(1+1nln(a)+o(1n))

et

a(a+1)1/n=aexp(1nln(a+1))=n+a(1+1nln(a+1)+o(1n))

donc

(a+1)a1/n-a(a+1)1/n=n+1+1n((a+1)ln(a)-aln(a+1))+o(1n).

Cela s’exprime

(a+1)a1/n-a(a+1)1/n=n+1+εn

avec

nεn=(a+1)ln(a)-aln(a+1)+o(1)n+(a+1)ln(a)-aln(a+1)

et donc

((a+1)a1/n-a(a+1)1/n)n=exp(nln(1+εn))=exp(nεn+o(nεn)).

Par continuité de l’exponentielle,

((a+1)a1/n-a(a+1)1/n)nn+exp((a+1)ln(a)-aln(a+1))=aa+1(a+1)a.
 
Exercice 8  5779   Correction  

Soit t. Étudier

limn+12i[(1+itn)n-(1-itn)n].

Solution

Soit n*. On emploie une écriture sous forme trigonométrique

1+itn=1+t2n2eiarctan(t/n)

et donc

(1+itn)n=(1+t2n2)n/2einarctan(t/n).

D’une part,

(1+t2n2)n/2=exp[n2ln(1+t2n2)]

avec

n2ln(1+t2n2)n+n2t2n2=t22nn+0.

D’autre part,

inarctan(tn)n+intnn+it.

Par conjugaison et opérations sur les limites,

12i[(1+itn)n-(1-itn)n]n+12i(eit-e-it)=sin(t).
 
Exercice 9  5928   Correction  

Déterminer un équivalent quand n tend vers l’infini de

un=1×3×5××(2n+1)2×4×6××2n.

Solution

Au numérateur, on introduit les facteurs pairs intermédiaires pour proposer une écriture en tant que quotient de nombres factoriels

1×22×3×44×5×66××2n2n×(2n+1)=(2n+1)!2×4×6××2n

avec

2×4×6××2n=2n×1×2×3××n=2nn!.

Ainsi,

un=(2n+1)!22n(n!)2.

On poursuit en employant la formule de Stirling et, pour humaniser les calculs, on isole le facteur (2n+1) du numérateur

un=(2n+1)(2n)!22n(n!)2n+2n4πn(2ne)2n22n2πn2(ne)2n.

On simplifie

unn+2nπ.

[<] Comparaison de suites numériques [>] Calcul de développements asymptotiques de suites



Édité le 12-01-2024

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax