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Exercice 1  4754  

Calculer les limites quand n tend vers l’infini des termes suivants:

  • (a)

    n((1+1n)27-1)

  • (b)

    (n+1)(n1/n-1)

  • (c)

    (1+xn)n avec x.

 
Exercice 2  1473  Correction  

Déterminer les limites suivantes:

  • (a)

    limn+nsin(1n)

  • (b)

    limn+(nsin(1n))n2

  • (c)

    limn+n2((n+1)1/n-n1/n)

Solution

  • (a)
    nsin(1n)nn=1

    donc

    limn+nsin(1n)=1.
  • (b)
    (nsin(1n))n2=en2ln(nsin(1n))=e-16+o(1)

    donc

    limn+(nsin(1n))n2=1e6.
  • (c)
    n2((n+1)1/n-n1/n)=eln(n)nn2(eln(1+1/n)n-1)n+eln(n)n

    donc

    limn+n2((n+1)1/n-n1/n)=1
 
Exercice 3  2283   Correction  

Déterminer la limite des suites (un) suivantes:

  • (a)

    un=nln(1+1n2+1)

  • (b)

    un=(1+sin(1n))n

  • (c)

    un=nn+1(n+1)n

Solution

  • (a)
    ln(1+1n2+1)n+1n2+1n+1n2

    car 1n2+10. Par suite,

    unn+1n+1.
  • (b)

    un=enln(1+sin(1n)) avec

    ln(1+sin(1n))n+sin(1n)n+1n

    donc nln(1+sin(1n))1 puis une.

  • (c)

    un=en+1ln(n)-nln(n+1) avec

    n+1ln(n)-nln(n+1)=(n+1-n)ln(n)-nln(1+1n).

    Or

    (n+1-n)ln(n)=ln(n)n+1+n=ln(n)2n+o(n)n+ln(n)2n

    et

    nln(1+1n)n+1n=n+o(ln(n)2n)

    donc

    n+1ln(n)-nln(n+1)=n+ln(n)2n+o(ln(n)2n)n+0

    donc un1.

 
Exercice 4  302  Correction  

Nature de la suite de terme général

un=cos(πn2ln(1-1n)).

Solution

En développant ln(1-1/n),

un=n+cos(πn+π2+o(1))=(-1)n+1sin(o(1))n+0.
 
Exercice 5  2782   

Soient a et b des réels positifs.

Étudier

limn+(a1n+b1n2)n.
 
Exercice 6  1475  Correction  

Déterminer

limn+(32n-23n)n.

Solution

On a

32n-23n=3e1nln(2)-2e1nln(3)=n+1+3ln(2)-2ln(3)n+o(1n)

donc

(32n-23n)n=enln(32n+23n)=eln(8/9)+o(1)n+89.

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Édité le 05-09-2019

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