[<] Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien [>] Polynômes orthogonaux

 
Exercice 1  4257  

Soit An(). Vérifier Im(At)=(Ker(A)).

 
Exercice 2  3937   

Soit An().

  • (a)

    Comparer les espaces Ker(A) et Ker(AtA).

  • (b)

    Comparer les espaces Im(A) et Im(AAt).

 
Exercice 3  354     ENSTIM (MP)Correction  

Soit An(). Établir

rg(AtA)=rg(A).

Solution

Si XKer(A) alors XKer(AtA).
Inversement, si XKer(AtA) alors AtAX=0 donc XtAtAX=(AX)tAX=0 d’où AX=0 puis XKer(A).
Ainsi,

Ker(AtA)=Ker(A)

puis par la formule du rang

rg(AtA)=rg(A).
 
Exercice 4  3935   

Soit A une matrice de n() vérifiant A2=On.

  • (a)

    Établir

    Ker(At+A)=Ker(A)Ker(At).
  • (b)

    En déduire

    At+AGLn()Im(A)=Ker(A).
 
Exercice 5  3938   Correction  

Soit An() vérifiant

Xn,1(),AXX

désigne la norme euclidienne usuelle sur l’espace des colonnes.

  • (a)

    Établir

    Xn,1(),AtXX.
  • (b)

    Soit Xn,1(). Montrer que si AX=X alors AtX=X

  • (c)

    Établir

    n,1()=Ker(A-In)Im(A-In).

Solution

  • (a)

    On a

    AtX2=XtAAtX=X,AAtX.

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

    AtX2=X,AAtXXAAtXXAtX.

    Ainsi,

    AtXX

    et ce que AtX=0 ou non.

  • (b)

    Si AX=X alors

    AtX-X2=AtX2-2AtX,X+X22(X2-XtAX)=0.

    On en déduit AtX=X.

  • (c)

    Soit XKer(A-In)Im(A-In).
    On a AX=X (et donc AtX=X) et il existe YE vérifiant X=AY-Y.

    X2=X,AY-Y=XtAY-XtY.

    Or

    XtAY=(AtX)tY=XtY

    et donc X2=0. Ainsi,

    Ker(A-In)Im(A-In)={0}.

    Enfin, le théorème du rang

    dimKer(A-In)+rg(A-In)=dimE

    permet de conclure

    E=Ker(A-In)Im(A-In).
 
Exercice 6  4258    

Soit An() vérifiant AXX pour toute colonne X de n,1().

  • (a)

    Montrer AtXX pour toute colonne X de n,1().

  • (b)

    Soit Xn,1() vérifiant AX=X. Montrer AtX=X.

[<] Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien [>] Polynômes orthogonaux



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax