Exercice 1 4257

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Vérifier $Im (A^{⊤}) = {(Ker (A))}^{⊥}$ .

Exercice 2 3937

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

(a)

Comparer les espaces $Ker (A) et Ker (A^{⊤} A)$ .
(b)

Comparer les espaces $Im (A) et Im (A A^{⊤})$ .

Exercice 3 354 ENSTIM (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Établir

rg (A^{⊤} A) = rg (A) .

Solution

Si $X \in Ker (A)$ alors $X \in Ker (A^{⊤} A)$ .
Inversement, si $X \in Ker (A^{⊤} A)$ alors $A^{⊤} A X = 0$ donc $X^{⊤} A^{⊤} A X = {(A X)}^{⊤} A X = 0$ d’où $A X = 0$ puis $X \in Ker (A)$ .
Ainsi,

Ker (A^{⊤} A) = Ker (A)

puis par la formule du rang

rg (A^{⊤} A) = rg (A) .

Exercice 4 3935

Soit $A$ une matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $A^{2} = O_{n}$ .

(a)

Établir

$Ker (A^{⊤} + A) = Ker (A) \cap Ker (A^{⊤}) .$
(b)

En déduire

$A^{⊤} + A \in {GL}_{n} (ℝ) \Leftrightarrow Im (A) = Ker (A) .$

Exercice 5 3938 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

\forall X \in ℳ_{n,1} (ℝ), ∥ A X ∥ \leq ∥ X ∥

où $∥ \cdot ∥$ désigne la norme euclidienne usuelle sur l’espace des colonnes.

(a)

Établir

$\forall X \in ℳ_{n,1} (ℝ), ∥ A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥ .$
(b)

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ . Montrer que si $A X = X$ alors $A^{⊤} X = X$
(c)

Établir

$ℳ_{n,1} (ℝ) = Ker (A - I_{n}) \oplus Im (A - I_{n}) .$

Solution

(a)

On a

${∥ A^{⊤} X ∥}^{2} = X^{⊤} A A^{⊤} X = ⟨ X, A A^{⊤} X ⟩ .$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

${∥ A^{⊤} X ∥}^{2} = ⟨ X, A A^{⊤} X ⟩ \leq ∥ X ∥ ∥ A A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥ ∥ A^{⊤} X ∥ .$

Ainsi,

$∥ A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥$

et ce que $A^{⊤} X = 0$ ou non.
(b)

Si $A X = X$ alors

${∥ A^{⊤} X - X ∥}^{2} = {∥ A^{⊤} X ∥}^{2} - 2 ⟨ A^{⊤} X, X ⟩ + {∥ X ∥}^{2} \leq 2 ({∥ X ∥}^{2} - X^{⊤} A X) = 0 .$

On en déduit $A^{⊤} X = X$ .
(c)

Soit $X \in Ker (A - I_{n}) \cap Im (A - I_{n})$ .
On a $A X = X$ (et donc $A^{⊤} X = X$ ) et il existe $Y \in E$ vérifiant $X = A Y - Y$ .

${∥ X ∥}^{2} = ⟨ X, A Y - Y ⟩ = X^{⊤} A Y - X^{⊤} Y .$

Or

$X^{⊤} A Y = {(A^{⊤} X)}^{⊤} Y = X^{⊤} Y$

et donc ${∥ X ∥}^{2} = 0$ . Ainsi,

$Ker (A - I_{n}) \cap Im (A - I_{n}) = {0} .$

Enfin, le théorème du rang

$dim Ker (A - I_{n}) + rg (A - I_{n}) = dim E$

permet de conclure

$E = Ker (A - I_{n}) \oplus Im (A - I_{n}) .$

Exercice 6 4258

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $∥ A X ∥ \leq ∥ X ∥$ pour toute colonne $X$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

(a)

Montrer $∥ A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥$ pour toute colonne $X$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .
(b)

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ vérifiant $A X = X$ . Montrer $A^{⊤} X = X$ .

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Édité le 08-12-2023

Produit scalaire et transposition matricielle