[>] Calculs dans un espace préhilbertien réel

 
Exercice 1  3480   

On note E=[X] et l’on considère l’application φ:E×E donnée par

φ(P,Q)=0+P(t)Q(t)e-tdt.
  • (a)

    Montrer que φ définit un produit scalaire sur E.

  • (b)

    Pour p,q, calculer φ(Xp,Xq).

  • (c)

    Orthonormaliser la famille (1,X,X2) par le procédé de Gram-Schmidt.

  • (d)

    Calculer

    inf(a,b,c)30+(t3-(at2+bt+c))2e-tdt.
 
Exercice 2  4252   

On note E=2(,) l’ensemble des suites réelles (un) telles que la série un2 converge.

  • (a)

    Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites réelles.

Pour u,vE, on pose

u,v=n=0+unvn.
  • (b)

    Montrer que , définit un produit scalaire sur E.

On note F le sous-espace vectoriel de E constitué des suites nulles à partir d’un certain rang et l’on considère v une suite élément de E qui n’appartient pas à F.

  • (c)

    Déterminer F. Les espaces F et F sont-ils supplémentaires?

  • (d)

    On pose G=Vect(v). Comparer F+G et (FG).

 
Exercice 3  3322   Correction  

Soient a un vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E, k un réel et φ:E×E l’application déterminée par

φ(x,y)=x,y+kx,ay,a.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que φ soit un produit scalaire.

Solution

Il est immédiat que φ est une forme bilinéaire symétrique sur E avec

φ(x,x)=x2+kx,a2.

En particulier,

φ(a,a)=a2+ka4=(1+k).

Pour que la forme bilinéaire symétrique φ soit définie positive, il est nécessaire que 1+k>0.

Inversement, supposons 1+k>0.

Si k0 alors φ(x,x)x2 et donc

xE{0E},φ(x,x)>0.

Si k]-1;0[, k=-α avec α]0;1[ et

φ(x,x)=x2-αx,a2.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

x,a2x2a2=x2

donc

φ(x,x)x2-αx2=(1-α)x2

de sorte que

xE{0E},φ(x,x)>0.

Ainsi, φ est une forme bilinéaire symétrique définie positive donc un produit scalaire.

Finalement, φ est un produit scalaire si, et seulement si, 1+k>0.

 
Exercice 4  4092   Correction  

Soit E=𝒞1([0;1],). Pour f,gE, on pose

φ(f,g)=01f(t)g(t)dt+f(1)g(0)+f(0)g(1).

Montrer que φ définit un produit scalaire sur E.

Solution

L’application φ est bien définie de E×E et clairement bilinéaire et symétrique.

Soit fE.

φ(f,f)=01f(t)2dt+2f(0)f(1).

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

(01f(t)dt)201f(t)2dt

et donc

01f(t)2dt(f(1)-f(0))2

puis

φ(f,f)f(1)2+f(0)20.

Au surplus, si φ(f,f)=0 alors f(0)=f(1)=0, mais aussi 01f(t)2dt=0. La fonction f est donc constante égale à 0.

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Édité le 08-11-2019

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