Exercice 1 2126 SAINT CYR (MP)Correction

Pour $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

(A ∣ B) = tr (A^{⊤} B) .

(a)

Montrer que $(\cdot ∣ \cdot)$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

En déduire

$\forall A \in ℳ_{n} (ℝ), tr {(A)}^{2} \leq n tr (A^{⊤} A) .$

Soit $F = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | tr (M) = 0}$ .

(c)

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $ℳ_{n} (ℝ)$ et donner sa dimension.
(d)

Déterminer $F^{⊥}$ .
(e)

Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Solution

(a)

On trouvera cette démonstration dans le cours.
(b)

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$tr {(A)}^{2} = {(I_{n} ∣ A)}^{2} \leq (I_{n} ∣ I_{n}) (A ∣ A) = n tr (A^{⊤} A) .$
(c)

L’ensemble $F$ est le noyau de l’application linéaire trace sur $ℳ_{n} (ℝ)$ , c’est donc un sous-espace vectoriel de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Au surplus, la trace est une forme linéaire non nulle, l’espace $F$ est donc un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ , c’est-à-dire un sous-espace vectoriel de dimension $n^{2} - 1$ .
(d)

Pour tout $M \in F$ , on remarque $(I_{n} ∣ M) = tr (M) = 0$ . La matrice $I_{n}$ appartient à $F^{⊥}$ . Or $F^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel supplémentaire de $F$ et c’est donc un sous-espace vectoriel de dimension $1$ . Par inclusion et égalité des dimensions, on obtient $F^{⊥} = Vect (I_{n})$ .
(e)

On trouvera cette démonstration dans le cours.

Exercice 2 5671 CCINP (MP)Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Pour $M, N \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

φ (M, N) = tr (M^{⊤} N) .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Soit $(U, V) \in O_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer que $φ (U, V) \leq n$ .
(c)

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer que $tr ({(A B)}^{2}) \leq tr (A^{2} B^{2})$ .
(d)

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer que $tr ({(A B + B A)}^{2}) \leq 4 tr (A^{2} B^{2})$ .

Solution

(a)

C’est une question de cours. Notons qu’avec des notations entendues

$φ (M, N) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} m_{i, j} n_{i, j}$
(b)

Pour $(U, V) \in O_{n} {(ℝ)}^{2}$ , le produit $Ω = U^{⊤} V$ est une matrice orthogonale. Or les coefficients d’une matrice orthogonale sont tous inférieurs à $1$ en valeur absolue. On en déduit

$φ (U, V) = tr (Ω) = \sum_{i = 1}^{n} {[Ω]}_{i, i} \leq n .$
(c)

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ .

On remarque

$tr ({(A B)}^{2}) = tr ((A B) (A B)) = tr ({(B A)}^{⊤} (A B)) = φ (B A, A B)$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire $φ$ ,

$tr ({(A B)}^{2}) \leq ∥ B A ∥ ∥ A B ∥$

Or

${∥ A B ∥}^{2} = tr ({(A B)}^{⊤} A B) = tr (B A A B) = tr (A A B B) = tr (A^{2} B^{2})$

et, par le même calcul,

${∥ B A ∥}^{2} = tr (B^{2} A^{2}) = tr (A^{2} B^{2})$

On en déduit l’inégalité voulue.
(d)

Par développement,

$tr ({(A B + B A)}^{2}) = tr ({(A B)}^{2}) + 2 tr (A B B A) + tr ({(B A)}^{2}) .$

D’une part,

$tr ({(A B)}^{2}) \leq tr (A^{2} B^{2}) et tr ({(B A)}^{2}) \leq tr (B^{2} A^{2}) = tr (A^{2} B^{2}) .$

D’autre part,

$tr (A B B A) = tr ((A B B) A) = tr (A (A B B)) = tr (A^{2} B^{2}) .$

On obtient alors l’inégalité souhaitée.

Exercice 3 3480

On note $E = ℝ [X]$ et l’on considère l’application $φ : E \times E \to ℝ$ donnée par

φ (P, Q) = \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $E$ .
(b)

Pour $p, q \in ℕ$ , calculer $φ (X^{p}, X^{q})$ .
(c)

Orthonormaliser la famille $(1, X, X^{2})$ par le procédé de Gram-Schmidt.
(d)

Calculer

$inf_{(a, b, c) \in ℝ^{3}} \int_{0}^{+ \infty} {(t^{3} - (a t^{2} + b t + c))}^{2} e^{- t} d t .$

Exercice 4 4252

On note $E = ℓ^{2} (ℕ, ℝ)$ l’ensemble des suites réelles $(u_{n})$ telles que la série $\sum u_{n}^{2}$ converge.

(a)

Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace $ℝ^{ℕ}$ des suites réelles.

Pour $u, v \in E$ , on pose

⟨ u, v ⟩ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} v_{n} .

(b)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $E$ .

On note $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ constitué des suites nulles à partir d’un certain rang et l’on considère $v$ une suite élément de $E$ qui n’appartient pas à $F$ .

(c)

Déterminer $F^{⊥}$ . Les espaces $F$ et $F^{⊥}$ sont-ils supplémentaires?
(d)

On pose $G = Vect (v)$ . Comparer $F^{⊥} + G^{⊥}$ et ${(F \cap G)}^{⊥}$ .

Exercice 5 3322 Correction

Soient $a$ un vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel $E$ , $k$ un réel et $φ : E \times E \to ℝ$ l’application déterminée par

φ (x, y) = ⟨ x, y ⟩ + k ⟨ x, a ⟩ ⟨ y, a ⟩ .

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $φ$ soit un produit scalaire.

Solution

Il est immédiat que $φ$ est une forme bilinéaire symétrique sur $E$ avec

φ (x, x) = {∥ x ∥}^{2} + k {⟨ x, a ⟩}^{2} .

En particulier,

φ (a, a) = {∥ a ∥}^{2} + k {∥ a ∥}^{4} = (1 + k) .

Pour que la forme bilinéaire symétrique $φ$ soit définie positive, il est nécessaire que $1 + k > 0$ .

Inversement, supposons $1 + k > 0$ .

Si $k \geq 0$ alors $φ (x, x) \geq {∥ x ∥}^{2}$ et donc

\forall x \in E ∖ {0_{E}}, φ (x, x) > 0 .

Si $k \in] - 1; 0 [$ , $k = - α$ avec $α \in] 0; 1 [$ et

φ (x, x) = {∥ x ∥}^{2} - α {⟨ x, a ⟩}^{2} .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{⟨ x, a ⟩}^{2} \leq {∥ x ∥}^{2} {∥ a ∥}^{2} = {∥ x ∥}^{2}

donc

φ (x, x) \geq {∥ x ∥}^{2} - α {∥ x ∥}^{2} = (1 - α) {∥ x ∥}^{2}

de sorte que

\forall x \in E ∖ {0_{E}}, φ (x, x) > 0 .

Ainsi, $φ$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive donc un produit scalaire.

Finalement, $φ$ est un produit scalaire si, et seulement si, $1 + k > 0$ .

Exercice 6 4092 Correction

Soit $E = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ . Pour $f, g \in E$ , on pose

φ (f, g) = \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t + f (1) g (0) + f (0) g (1) .

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $E$ .

Solution

L’application $φ$ est bien définie de $E \times E \to ℝ$ et clairement bilinéaire et symétrique.

Soit $f \in E$ .

φ (f, f) = \int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t + 2 f (0) f (1) .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{(\int_{0}^{1} f^{'} (t) d t)}^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t

et donc

\int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t \geq {(f (1) - f (0))}^{2}

puis

φ (f, f) \geq f {(1)}^{2} + f {(0)}^{2} \geq 0 .

Au surplus, si $φ (f, f) = 0$ alors $f (0) = f (1) = 0$ , mais aussi $\int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t = 0$ . La fonction $f$ est donc constante égale à $0$ .

Exercice 7 5902 Correction

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel $F = {f \in E | f (0) = 0}$ .

Solution

Soit $g \in F^{⊥}$ . Pour $n \in ℕ^{*}$ , considérons la fonction continue $φ_{n} : [0; 1] \to ℝ$ donnée par

φ_{n} (t) = {\begin{matrix} n t & si t \in [0; 1 / n] \\ 1 & si t \in [1 / n; n] \end{matrix}

Considérons ensuite $f_{n} = φ_{n} g$ . La fonction $f_{n}$ est élément de $F$ et donc $⟨ f_{n}, g ⟩ = 0$ . Or, par convergence dominée¹¹ 1 La domination a lieu par la fonction constante égale à ${∥ g ∥}_{\infty}^{2}$ .,

\int_{0}^{1} f_{n} (t) g (t) d t \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{1} {(\tilde{g} (t))}^{2} d t

avec

\tilde{g} = {\begin{matrix} 0 & si t = 0 \\ g (t) & si t \in] 0; 1] \end{matrix}

On en déduit

\int_{0}^{1} {(\tilde{g} (t))}^{2} d t = 0

Or on ne change pas la valeur d’une intégrale en modifiant la valeur de la fonction intégrée en un nombre fini de points. On a donc aussi

\int_{0}^{1} {(g (t))}^{2} d t = 0

La fonction $g^{2}$ est continue, positive et d’intégrale nulle, c’est donc la fonction identiquement nulle. Cela donne $g = 0$ .

Ainsi, $F^{⊥} \subset {0}$ . L’inclusion réciproque est immédiate et donc $F^{⊥} = {0}$ .

[>] Calculs dans un espace préhilbertien réel

Édité le 08-12-2023

Produit scalaire