Exercice 1 4248

Soit $φ$ une forme linéaire sur $E = ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe une matrice $A$ dans $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $φ (M) = tr (A M)$ pour tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 2 5566 Correction

Dans $E = ℳ_{n} (ℝ)$ canoniquement euclidien, on considère

H = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | tr (M) = 0} .

(a)

Justifier que $H$ est un hyperplan de $E$ .
(b)

Déterminer un vecteur normal de $H$ .
(c)

Soit $H^{'}$ un hyperplan de $E$ . Montrer qu’il existe $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , $A \neq O_{n}$ telle que

$M \in H^{'} \Leftrightarrow tr (A M) = 0 .$

Solution

(a)

L’ensemble $H$ apparaît comme le noyau de l’application linéaire trace. Puisque celle-ci est une forme linéaire non nulle, $H$ est un hyperplan.
(b)

Le produit scalaire sur $E$ est donné par $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ . Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$M \in H$ $\Leftrightarrow tr (M) = 0$

$\Leftrightarrow ⟨ I_{n}, M ⟩ = 0 .$

La matrice $I_{n}$ est un vecteur normal de l’hyperplan $H$ .
(c)

Soient $A^{'}$ un vecteur normal de $H^{'}$ et $A = A^{', ⊤}$ . La matrice $A$ n’est pas nulle et, pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$M \in H^{'}$ $\Leftrightarrow ⟨ A^{'}, M ⟩ = 0$

$\Leftrightarrow tr (A M) = 0 .$

Exercice 3 3024 X (MP)Correction

On définit sur $ℝ [X]$ le produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

Existe-t-il $A \in ℝ [X]$ tel que

\forall P \in ℝ [X], P (0) = ⟨ A, P ⟩ ?

Solution

Supposons l’existence d’un tel polynôme $A$ et considérons $P (X) = X A (X)$ .
On a

0 = P (0) = ⟨ A, P ⟩ = \int_{0}^{1} t A {(t)}^{2} d t .

Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive, on obtient

\forall t \in [0; 1], t A {(t)}^{2} = 0 .

Le polynôme $A$ admet une infinité de racine, c’est donc le polynôme nul ce qui est absurde.

Exercice 4 2666 ENTPE (MP)

Soit $E = ℝ_{n} [X]$ avec $n \in ℕ$ .

(a)

Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme $A$ de $E$ tel que

$P (0) = \int_{0}^{1} A (t) P (t) d t pour tout P \in E .$
(b)

Établir que le polynôme $A$ est de degré $n$ exactement.

Exercice 5 4262

(Produit vectoriel)

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d’un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3$ .

(a)

Montrer qu’il existe un unique vecteur noté $\vec{u} \land \vec{v}$ dans $E$ vérifiant¹¹ 1 $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ désigne le produit mixte des vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ , c’est-à-dire le déterminant de la famille $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ dans une base orthonormale directe de $E$ .

$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{x}] = (\vec{u} \land \vec{v} ∣ \vec{x}) pour tout \vec{x} \in E .$

Le vecteur $\vec{u} \land \vec{v}$ est appelé produit vectoriel de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ .
(b)

Vérifier que le vecteur $\vec{u} \land \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
(c)

Montrer que la famille $(\vec{u}, \vec{v})$ est libre si, et seulement si, $\vec{u} \land \vec{v}$ est non nul. Observer que la famille $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \land \vec{v})$ est alors une base directe.
(d)

On introduit une base orthonormale directe $ℬ = (\vec{ı}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ telle que $\vec{u} \in Vect (\vec{ı})$ et $\vec{v} \in Vect (\vec{ı}, \vec{ȷ})$ . Exprimer le vecteur $\vec{u} \land \vec{v}$ et vérifier la formule²² 2 D’autres propriétés classiques sur le produit vectoriel peuvent être établies comme sa bilinéarité ou la formule du double produit vectoriel $\vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w}) = (\vec{u} ∣ \vec{w}) . \vec{v} - (\vec{u} ∣ \vec{v}) . \vec{w}$ . Notons que le produit vectoriel n’est pas associatif et qu’il est anticommutatif $\vec{v} \land \vec{u} = - (\vec{u} \land \vec{v})$ .

${(\vec{u} ∣ \vec{v})}^{2} + {∥ \vec{u} \land \vec{v} ∥}^{2} = {∥ \vec{u} ∥}^{2} {∥ \vec{v} ∥}^{2} .$

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Édité le 08-12-2023

	$M \in H$	$\Leftrightarrow tr (M) = 0$
		$\Leftrightarrow ⟨ I_{n}, M ⟩ = 0 .$

	$M \in H^{'}$	$\Leftrightarrow ⟨ A^{'}, M ⟩ = 0$
		$\Leftrightarrow tr (A M) = 0 .$

Représentation d'une forme linéaire