[<] Familles obtusangles [>] Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien

 
Exercice 1  4248  

Soit φ une forme linéaire sur E=n(). Montrer qu’il existe une matrice A dans n() vérifiant φ(M)=tr(AM) pour tout Mn().

 
Exercice 2  3024     X (MP)Correction  

On définit sur [X] le produit scalaire

P,Q=01P(t)Q(t)dt.

Existe-t-il A[X] tel que

P[X],P(0)=A,P?

Solution

Supposons l’existence d’un tel polynôme A et considérons P(X)=XA(X).
On a

0=P(0)=A,P=01tA(t)2dt.

Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive, on obtient

t[0;1],tA(t)2=0.

Le polynôme A admet une infinité de racine, c’est donc le polynôme nul ce qui est absurde.

 
Exercice 3  2666     ENTPE

Soit E=n[X] avec n.

  • (a)

    Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme A de E tel que

    P(0)=01A(t)P(t)dt pour tout PE.
  • (b)

    Établir que le polynôme A est de degré n exactement.

 
Exercice 4  4262   

(Produit vectoriel)

Soient u et v deux vecteurs d’un espace euclidien orienté E de dimension 3.

  • (a)

    Montrer qu’il existe un unique vecteur noté uv dans E vérifiant11 1 [u,v,w] désigne le produit mixte des vecteurs u,v et w, c’est-à-dire le déterminant de la famille (u,v,w) dans une base orthonormale directe de E.

    [u,v,x]=(uvx)pour tout xE.

    Le vecteur uv est appelé produit vectoriel de u par v.

  • (b)

    Vérifier que uv est un vecteur orthogonal à u et v.

  • (c)

    Montrer que la famille (u,v) est libre si, et seulement si, uv est non nul. Observer que la famille (u,v,uv) est alors une base directe.

  • (d)

    On introduit une base orthonormale directe =(ı,ȷ,k) telle que uVect(ı) et vVect(ı,ȷ). Exprimer le vecteur uv et vérifier la formule22 2 D’autres propriétés classiques sur le produit vectoriel peuvent être établies comme sa bilinéarité ou la formule du double produit vectoriel u(vw)=(uw).v-(uv).w. Notons que le produit vectoriel n’est pas associatif et qu’il est anticommutatif vu=-(uv).

    (uv)2+uv2=u2v2.

[<] Familles obtusangles [>] Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax