[<] Produit scalaire [>] Projections orthogonales et calcul de distances
Soient des sous-espaces vectoriels deux à deux orthogonaux d’un espace préhilbertien . Montrer que ceux-ci sont en somme directe.
Soit un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réel . Établir
Solution
Puisque , on a déjà
Soit . Pour tout , il existe une suite d’éléments de de limite . Puisque
on obtient à la limite (le produit scalaire étant continue)
et donc .
Finalement, par double inclusion, .
Soit une partie d’un espace préhilbertien .
Montrer que l’orthogonal de est une partie fermée.
Montrer que et ont le même orthogonal.
On munit du produit scalaire défini par
En exploitant le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass, établir que l’orthogonal du sous-espace vectoriel de formé des fonctions polynomiales est réduit à .
Solution
Soit . Puisque est continue sur le segment , par le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass:
On a alors
avec
En faisant tendre vers 0, on obtient donc . Ainsi puis .
Soit un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien .
Montrer que et que .
On considère muni du produit scalaire
On pose .
Soit . Montrer qu’il existe une unique fonction vérifiant
En déduire et .
Solution
Ces résultats figurent au cours.
Analyse: Soit une fonction solution. Par la formule de Taylor avec reste intégral,
La condition détermine la valeur et donc la fonction de façon unique
Synthèse: Considérons la fonction déterminée comme au-dessus.
On vérifie immédiatement . Aussi, on peut écrire
Les termes intégrales correspondent à des expressions de primitives. La fonction est donc dérivable avec
La fonction est donc une seconde fois dérivable avec
Finalement, est une fonction de classe sur solution du problème posé.
Soit . Pour comme au-dessus, on a
Par intégration par parties,
et donc
Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive,
La fonction est donc identiquement nulle.
On en déduit et, finalement, .
Il en découle immédiatement . En l’occurrence, .
Soit un espace préhilbertien réel.
Établir l’inclusion pour tout sous-espace vectoriel de .
On se propose d’établir par un exemple que cette inclusion peut être stricte. On introduit pour cela l’espace muni du produit scalaire donné par
Montrer que
est un hyperplan fermé de .
Soit . Établir que pour tout ,
Vérifier que et conclure.
Démontrer que la boule unité fermée d’un espace préhilbertien réel est strictement convexe c’est-à-dire que pour tous différents et tout , .
Solution
Par l’inégalité triangulaire,
De plus, s’il y a égalité alors , et les vecteurs et sont positivement liés.
Les vecteurs et étant unitaires et positivement liés, ils sont égaux et cela est exclu.
Soient des vecteurs d’un espace euclidien . On pose
Soient des variables aléatoires deux à deux indépendantes et uniformes sur . Montrer
En déduire
Soient des vecteurs d’un espace préhilbertien .
On suppose qu’il existe tel que
Montrer
Solution
Cas: . C’est immédiat.
Cas: . Si et alors
Si alors première identité donne , si , c’est la deuxième identité qui permet de conclure.
Supposons la propriété vraie au rang .
Supposons
Par l’étude du cas appliquée au vecteur
on obtient
donc
Par hypothèse de récurrence
et l’on peut conclure.
Récurrence établie.
Une variante probabiliste élégante: On introduit des variables indépendantes et uniformes sur . Par hypothèse
Or en développant
car .
Soit un espace préhilbertien réel et soit une famille de vecteurs de ().
Montrer que
On suppose
Établir que si une boule fermée contient tous les vecteurs , celle-ci est de rayon au moins égal à
Solution
En développant,
et
Or
donc
et la relation voulue découle de l’ensemble de ces inégalités.
Soit une boule de centre et de rayon contenant tous les .
Par la relation qui précède appliquée aux vecteurs au lieu de ,
D’une part,
D’autre part,
On a donc
Soient et deux bases orthonormales d’un espace euclidien .
Soit . On pose
Montrer que ne dépend pas des bases orthonormales choisies
Solution
Puisque la base est orthonormale, on a
et donc
Notons la matrice de dans la base orthonormale . On a
et donc
Si est une autre base orthonormale de et si est la matrice de dans , on peut écrire
et alors
Finalement, la quantité ne dépend ni de choix de ni de celui de .
(Endomorphisme adjoint)
Soit un endomorphisme d’un espace euclidien de produit scalaire noté .
Montrer qu’il existe un unique endomorphisme11 1 Cet endomorphisme est appelé adjoint de . de vérifiant
On pourra étudier la matrice de dans une base orthonormée de .
Déterminer le noyau et l’image de en fonction de ceux de .
Solution
Soit une base orthonormée de . Notons la matrice dans .
Analyse: Soient un endomorphisme solution et sa matrice dans .
Pour tous ,
On en déduit ce qui détermine (et donc de façon unique).
Synthèse: Soit l’endomorphisme de dont est la matrice dans la base . Pour tous , en notant les colonnes des coordonnées dans des vecteurs ,
Ainsi, l’endomorphisme est solution.
Vérifions en raisonnant par double inclusion.
Soient et . On a
Ainsi, et orthogonaux ce qui donne .
Inversement, soit . Pour tout ,
Le vecteur étant orthogonal à tout vecteur , c’est le vecteur nul et donc . Ainsi, et l’on peut conclure à l’égalité.
Vérifions par inclusion et égalité des dimensions.
Soient et . On a
Ainsi, et sont orthogonaux: . De plus,
On conclut .
(Opérateur de Volterra)
On munit l’espace du produit scalaire
Pour , on note la primitive de qui s’annule en
et l’on considère l’endomorphisme de déterminé par .
Déterminer un endomorphisme vérifiant
Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme .
Solution
Par intégration par parties,
ce qui se réécrit
Ainsi, pour
on vérifie que est un endomorphisme de vérifiant
Les endomorphismes et sont injectifs donc aussi. Par conséquent, n’est pas valeur propre de .
Soient et vérifiant .
La fonction est nécessairement dérivable et vérifie
La fonction est donc nécessairement deux fois dérivable et vérifie
Cas: . En écrivant , l’équation différentielle donne la solution générale
La condition donne et la condition donne .
Si alors et n’est pas valeur propre.
En revanche, si , alors par la reprise des calculs précédents donne valeur propre associé au vecteur propre associé .
Cas: . La résolution de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants avec les conditions proposées donne et donc n’est pas valeur propre.
(Opérateur de Volterra)
On munit l’espace du produit scalaire donné par
Pour , on considère la fonction donnée par
Montrer que définit un endomorphisme de .
Justifier l’existence d’un endomorphisme de vérifiant
Solution
Pour , l’application est correctement définie et il s’agit de la primitive de qui s’annule en . C’est évidemment une fonction continue. L’application est donc correctement définie de vers . La linéarité de est facile à vérifier.
Pour ,
Par intégration par parties,
Pour obtenir la relation voulue, il suffit de considérer la primitive de qui s’annule en . Considérons alors l’application donnée par
Comme dans la question précédente, on vérifie que est un endomorphisme de et, par les calculs ci-dessus, on vérifie
Soit un endomorphisme d’un espace euclidien de dimension .
On suppose que est trigonalisable, montrer qu’il existe une base orthonormale trigonalisant .
Solution
Soit une base trigonalisant. La matrice de dans est
Par le procédé de Gram-Schmidt, on peut transformer en une base orthonormale de sorte que la matrice de passage de à soit triangulaire supérieure
Par changement de base,
Or le produit de matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure: la base est une base orthonormale trigonalisant .
Soient deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien de dimension dont le produit scalaire est noté .
Montrer que la fonction définie sur présente un minimum et un maximum que l’on déterminera.
[<] Produit scalaire [>] Projections orthogonales et calcul de distances
Édité le 08-12-2023
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