[<] Produit scalaire [>] Projections orthogonales et calcul de distances

 
Exercice 1  5140  

Soient F1,,Fn des sous-espaces vectoriels deux à deux orthogonaux d’un espace préhilbertien E. Montrer que ceux-ci sont en somme directe.

 
Exercice 2  3325  Correction  

Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réel E. Établir

F=F¯.

Solution

Puisque FF¯, on a déjà

F¯F.

Soit aF. Pour tout xF¯, il existe une suite (xn) d’éléments de F de limite x. Puisque

n,xn,a=0

on obtient à la limite (le produit scalaire étant continue)

x,a=0

et donc aF¯.

Finalement, par double inclusion, F=F¯.

 
Exercice 3  4251   

Soit A une partie d’un espace préhilbertien E.

  • (a)

    Montrer que l’orthogonal de A est une partie fermée.

  • (b)

    Montrer que A et A¯ ont le même orthogonal.

 
Exercice 4  511   Correction  

On munit E=𝒞([a;b],) du produit scalaire défini par

(fg)=abf(t)g(t)dt.

En exploitant le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass, établir que l’orthogonal du sous-espace vectoriel F de E formé des fonctions polynomiales est réduit à {0}.

Solution

Soit fF. Puisque f est continue sur le segment [a;b], par le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass:

ε>0,P[X],f-P,[a;b]ε.

On a alors

f2=abf2=abf(f-P)+abfP=abf(f-P)

avec

|abf(f-P)|(b-a)ff-P(b-a)fε.

En faisant tendre ε vers 0, on obtient f2=0 donc f=0. Ainsi F{0} puis F={0}.

 
Exercice 5  513    

Soit E un espace préhilbertien réel.

  • (a)

    Établir l’inclusion F¯(F) pour tout sous-espace vectoriel F de E.

On se propose d’établir par un exemple que cette inclusion peut être stricte. On introduit pour cela l’espace E=[X] muni du produit scalaire donné par

(PQ)=-11P(t)Q(t)dt.
  • (b)

    Montrer que

    H={P[X]|-11|t|P(t)dt=0}

    est un hyperplan fermé de E.

  • (c)

    Soit QH. Établir que, pour tout P[X],

    -11P(t)Q(t)dt=(-11|t|P(t)dt)(-11Q(t)dt).
  • (d)

    Vérifier que H={0} et conclure.

 
Exercice 6  505  Correction  

Démontrer que la boule unité fermée B d’un espace préhilbertien réel est strictement convexe c’est-à-dire que pour tous x,yB différents et tout t]0;1[, (1-t)x+ty<1.

Solution

Par l’inégalité triangulaire,

(1-t)x+ty(1-t)x+ty1.

De plus, s’il y a égalité alors x=1, y=1 et les vecteurs (1-t)x et ty sont positivement liés.

Les vecteurs x et y étant unitaires et positivement liés, ils sont égaux et cela est exclu.

 
Exercice 7  4995  

Soient e1,,en des vecteurs d’un espace euclidien E. On pose

M=max(ε1,,εn){1,-1}nk=1nεk.ek.
  • (a)

    Soient X1,,Xn des variables aléatoires deux à deux indépendantes et uniformes sur {1,-1}. Montrer

    E(k=1nXk.ek2)=k=1nek2.
  • (b)

    En déduire

    k=1nek2M2.
 
Exercice 8  3318   Correction  

Soient x1,,xn des vecteurs d’un espace préhilbertien E.
On suppose qu’il existe M tel que

(ε1,,εn){1,-1}n,k=1nεkxkM.

Montrer

k=1nxk2M2.

Solution

Cas: n=1. C’est immédiat.

Cas: n=2. Si x+yM et x-yM alors

x2+2(xy)+y2M2 et x2-2(xy)+y2M2.

Si (xy)0 alors première identité donne x2+y2M2, si (xy)0, c’est la deuxième identité qui permet de conclure.

Supposons la propriété vraie au rang n1.
Supposons

(ε1,,εn+1){1,-1}n+1,k=1n+1εkxkM.

Par l’étude du cas n=2 appliquée au vecteur

x=k=1nεkxk et y=xn+1

on obtient

(ε1,,εn){1,-1}n,k=1nεkxk2+xn+12M2

donc

(ε1,,εn){1,-1}n,k=1nεkxkM2-xn+12.

Par hypothèse de récurrence

k=1nxk2M2-xn+12

et l’on peut conclure.
Récurrence établie.

Une variante probabiliste élégante: On introduit des variables r1,,rn indépendantes et uniformes sur {±1}. Par hypothèse

E(i=1nrixi2)M2.

Or en développant

E(i=1nrixi2)=i,j=1nE(rirj)(xixj)=i=1nxi2.

car E(rirj)=δi,j.

 
Exercice 9  351  Correction  

Soient e=(ei)1in et f=(fj)1jn deux bases orthonormales d’un espace euclidien E.
Soit u(E). On pose

A=i=1nj=1n(fiu(ej))2.

Montrer que A ne dépend pas des bases orthonormales choisies

Solution

Puisque la base f est orthonormale, on a

A=j=1nu(ej)2

et donc

A=i=1nj=1n(eiu(ej))2.

Notons M=(mi,j) la matrice de u dans la base orthonormale e. On a

mi,j=(eiu(ej))

et donc

A=tr(MtM).

Si e=(e1,,en) est une autre base orthonormale de E et si M est la matrice de u dans e, on peut écrire

M=PtMP avec POn()

et alors

tr(MtM)=tr(PtMtMP)=tr(MtMPPt)=tr(MtM).

Finalement, la quantité A ne dépend ni de choix de f ni de celui de e.

 
Exercice 10  5145   Correction  

(Endomorphisme adjoint)

Soit u un endomorphisme d’un espace euclidien E de produit scalaire noté ,.

  • (a)

    Montrer qu’il existe un unique endomorphisme11 1 Cet endomorphisme est appelé adjoint de u. v de E vérifiant

    u(x),y=x,v(y)pour tous x,yE.

    On pourra étudier la matrice de v dans une base orthonormée de E.

  • (b)

    Déterminer le noyau et l’image de v en fonction de ceux de u.

Solution

  • (a)

    Soit e=(e1,,en) une base orthonormée de E. Notons A=(ai,j) la matrice u dans e.

    Analyse: Soient v un endomorphisme solution et B=(bi,j) sa matrice dans e.

    Pour tous i,j1;n,

    bi,j=ei,v(ej)=u(ei),ej=aj,i.

    On en déduit B=At ce qui détermine B (et donc v de façon unique).

    Synthèse: Soit v l’endomorphisme de E dont At est la matrice dans la base e. Pour tous x,yE, en notant X,Y les colonnes des coordonnées dans e des vecteurs x,y,

    u(x),y=(AX)tY=XtAtY=x,v(y).

    Ainsi, l’endomorphisme v est solution.

  • (b)

    Vérifions Ker(v)=(Im(u)) en raisonnant par double inclusion.

    Soient x=u(a)Im(u) et yKer(v). On a

    x,y=u(a),y=a,v(y)=a,0E=0.

    Ainsi, Ker(v) et Im(u) orthogonaux ce qui donne Ker(v)(Im(u)).

    Inversement, soit y(Im(u)). Pour tout xE,

    u(x),y=0 donc x,v(y)=0.

    Le vecteur v(y) étant orthogonal à tout vecteur x, c’est le vecteur nul et donc yKer(v). Ainsi, (Im(u))Ker(v) et l’on peut conclure à l’égalité.

    Vérifions Im(v)=(Ker(u)) par inclusion et égalité des dimensions.

    Soient xKer(u) et y=v(a)Im(v). On a

    x,y=x,v(a)=u(x),a=0E,a=0.

    Ainsi, Ker(u) et Im(v) sont orthogonaux: Im(v)(Ker(u)). De plus,

    dimIm(v) =n-dimKer(v)=n-dim(Im(u))
    =rg(u)=n-dimKer(u)=dim(Ker(u)).

    On conclut Im(v)=(Ker(u)).

 
Exercice 11  3321   Correction  

On munit l’espace E=𝒞([0;1],) du produit scalaire

f,g=01f(x)g(x)dx.

Pour fE, on note F la primitive de f qui s’annule en 0

x[0;1],F(x)=0xf(t)dt

et l’on considère l’endomorphisme v de E déterminé par v(f)=F.

  • (a)

    Déterminer un endomorphisme v* vérifiant

    (f,g)E2,v(f),g=f,v*(g).
  • (b)

    Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme v*v.

Solution

  • (a)

    Par intégration par parties,

    01F(x)g(x)dx=F(1)G(1)-01f(x)G(x)dx

    ce qui se réécrit

    01F(x)g(x)dx=01f(x)(G(1)-G(x))dx.

    Ainsi, pour

    v*(g):xG(1)-G(x)=x1g(t)dt

    on vérifie que v* est un endomorphisme de E vérifiant

    (f,g)E2,v(f),g=f,v*(g).
  • (b)

    Soit λ et fE vérifiant (v*v)(f)=λf.
    La fonction f est nécessairement dérivable et vérifie

    {λf(1)=0v(f)(x)=-λf(x).

    La fonction f est donc nécessairement deux fois dérivable et vérifie

    {λf(1)=0λf(0)=0f(x)=-λf′′(x).

    Si λ=0 alors f=0 et donc λ n’est pas valeur propre.
    Si λ>0 alors en écrivant λ=1/ω, l’équation différentielle λy′′+y=0 donne la solution générale

    y(t)=αcos(ωt)+βsin(ωt).

    La condition f(0)=0 donne β=0 et la condition f(1)=0 donne αcos(ω)=0.
    Si ωπ/2+π alors f=0 et λ=1/ω n’est pas valeur propre.
    En revanche, si ωπ/2+π, alors par la reprise des calculs précédents donne λ=1/ω valeur propre associé au vecteur propre associé f(x)=cos(ωx).
    Si λ<0 alors la résolution de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants avec les conditions proposées donne f=0 et donc λ n’est pas valeur propre.

 
Exercice 12  5398   Correction  

Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien E de dimension n*.

On suppose que f est trigonalisable, montrer qu’il existe une base orthonormale trigonalisant f.

Solution

Soit e=(e1,,en) une base trigonalisant. La matrice de f dans e est

A=Mate(f)Tn+().

Par le procédé de Gram-Schmidt, on peut transformer e en une base orthonormale e=(e1,,en) de sorte que la matrice de passage de e à e soit triangulaire supérieure

P=MateeTn+()etP-1Tn+().

Par changement de base,

A=Mate(f)=P-1AP.

Or le produit de matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure: la base e est une base orthonormale trigonalisant f.

 
Exercice 13  3979      MINES (MP)

Soient a,b deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien E de dimension n2 dont le produit scalaire est noté ().

Montrer que la fonction f:x(ax)(bx) définie sur S={xE|x=1} présente un minimum et un maximum que l’on déterminera.

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Édité le 08-11-2019

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