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Exercice 1  3924   

Soit E un espace euclidien de produit scalaire ,.

Montrer que si p est une projection de E vérifiant p(x),x0 pour tout x de E, alors p est une projection orthogonale.

 
Exercice 2  1595      MINES (MP)

Soit p une projection vectorielle d’un espace euclidien E.

Montrer que la projection p est orthogonale si, et seulement si,

p(x)xpour tout xE.
 
Exercice 3  524   

Soient E un espace euclidien de dimension n1 muni d’une base orthonormale  et p la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F muni d’une base orthonormale (x1,,xr). Montrer que la matrice A de p dans la base est

A=k=1rXkXk

avec X1,,Xr les colonnes des coordonnées des vecteurs x1,,xr dans .

 
Exercice 4  5936   Correction  

Soient p1 et p2 deux projections orthogonales d’un espace euclidien E.

À quelle condition l’application p1+p2 est-elle encore une projection orthogonale?

Solution

Analyse: Supposons que p1+p2 soit une projection orthogonale.

En particulier p1+p2 est un projecteur ce qui donne

(p1+p2)2=p1+p2

En développant et en simplifiant, on obtient

p1p2+p2p1=0

D’une part, on compose par p1 à gauche

p1p2+p1p2p1=0

D’autre part, on compose par p1 à droite

p1p2p1+p2p1=0

On en déduit

p1p2=p2p1=0

et par conséquent

Im(p2)Ker(p1)etIm(p1)Ker(p2)

Sachant Ker(p1)=(Im(p1)) et Ker(p2)=(Im(p2)), les deux conditions précédentes se résument en Im(p1)Im(p2).

Synthèse: Supposons Im(p1)Im(p2)

Considérons une base orthonormée adaptée à l’écriture Im(p1)Im(p2) complétée en une base orthonormée de E. Les vecteurs complétant sont des vecteurs de l’espace (Im(p1)+Im(p2))=Ker(p1)Ker(p2).

Les matrices de p1 et p2 dans cette base sont de la forme

(Ir1(0)Or2(0)On-r1-r2)et(Or1(0)Ir2(0)On-r1-r2)

avec n=dimE, r1=rg(p1) et r2=rg(p2).

La matrice de p1+p2 dans cette base est alors

(Ir1(0)Ir2(0)On-r1-r2)

On reconnaît la matrice de la projection orthogonale sur l’espace Im(p1)Im(p2). Ainsi, p1+p2 est une projection orthogonale.

 
Exercice 5  529   Correction  

On considère une application φ:[X]×[X] par

φ(P,Q)=0+P(t)Q(t)e-tdt.
  • (a)

    Montrer que φ définit un produit scalaire sur [X].

  • (b)

    Déterminer

    inf(a,b)20+e-t(t2-(at+b))2dt.

Solution

  • (a)

    Symétrie, bilinéarité et positivité: ok

    Si φ(P,P)=0 alors 0+P2(t)e-tdt=0 donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

    t[0;+[,P(t)=0.

    Comme le polynôme P admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.

  • (b)

    On interprète

    inf(a,b)20+e-t(t2-(at+b))2dt=d(X2,1[X])2=X2-P2

    avec P=aX+b le projeté orthogonal de X2 sur 1[X]. Détermions ce polynôme.

    Les égalités (X2-P1)=(X2-PX)=0 donnent

    {a+b=22a+b=6.

    Après résolution, a=4, b=-2 puis

    inf(a,b)20+e-t(t2-(at+b))2dt=4.
 
Exercice 6  5456   Correction  

Calculer

m=inf(a,b)201(ln(t)-(at+b))2dt.

Solution

On considère l’espace préhilbertien L2(]0;1],) où le produit scalaire est défini par

(fg)=01f(t)g(t)dt.

On remarque que la fonction f=ln est élément de cet espace et il s’agit ici de calculer

m=(d(f,F))2 avec F=Vect(1,Id).

On sait

d(f,F)=f-pF(f)

avec pF la projection orthogonale sur F.

Par application du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on forme une base orthonormale (e1,e2) de F avec

e1(x)=1ete2(x)=23(x-1/2).

On peut alors déterminer le projeté de f

pF(f)=(fe1).e1+(fe2).e2

avec (après calcul par intégrations par parties)

(fe1)=-1et(fe2)=32.

On en déduit

pF(f)2=(fe1)2+(fe2)2=1+34=74

puis, par Pythagore,

m=f-pF(f)2=f2-pF(f)2=2-74=14.
 
Exercice 7  2735     MINES (MP)Correction  

Calculer

inf(a,b)201t2(ln(t)-at-b)2dt.

Solution

En introduisant l’espace E des fonctions réelles f continues sur ]0;1] telles que t(tf(t))2 soit intégrable et en munissant cet espace du produit scalaire

(fg)=01t2f(t)g(t)dt

la quantité cherchée est: m=d(f,F)2 avec f:tln(t) et F=Vect(f0,f1)f0(t)=1 et f1(t)=t.
m=f-p(f)2 avec p la projection orthogonale sur F.
p(f)(t)=a+bt avec (p(f)f0)=(ff0) et (p(f)f1)=(ff1).
La résolution du système ainsi obtenu donne a=5/3 et b=-19/12.
m=f-p(f)2=(f-p(f)f)=1/432.

 
Exercice 8  3766      KER LANN (MP)Correction  

On pose E=𝒞1([0;1],) et

f,gE,f,g=01f(t)g(t)dt+01f(t)g(t)dt.
  • (a)

    Montrer que , définit un produit scalaire sur E.

  • (b)

    On pose

    V={fE|f(0)=f(1)=0}etW={fE|f est de classe 𝒞2 et f′′=f}.

    Montrer que V et W sont supplémentaires et orthogonaux.

    Exprimer la projection orthogonale sur W.

  • (c)

    Soient α,β et

    Eα,β={fE|f(0)=α et f(1)=β}.

    Calculer

    inffEα,β01(f(t)2+f(t)2)dt.

Solution

  • (a)

    Vérification sans peine.

  • (b)

    Soit (f,g)V×W. On a

    f,g=01f(t)g′′(t)+f(t)g(t)dt=[f(t)g(t)]01=0

    et les espaces V et W sont donc en somme directe.

    Soit fE. Posons

    λ=f(0) et μ=f(1)-f(0)ch(1)sh(1).

    On a f=g+h avec h=λch+μshW et g=f-hV par construction.
    Les espaces V et W sont donc supplémentaires orthogonaux et l’on peut introduire la projection orthogonale p sur W. Par ce qui précède

    p(f)=f(0)ch+f(1)-f(0)ch(1)sh(1)sh.
  • (c)

    Soit g la fonction de Eα,β définie par

    g=αch+β-αch(1)sh(1)sh.

    Les fonctions de Eα,β sont alors de la forme f=g+h avec h parcourant V et par orthogonalité de g et h

    01(f(t)2+f(t)2)dt=f2=g2+h2.

    On en déduit

    inffEα,β01(f(t)2+f(t)2)dt=g2=(α2+β2)ch(1)-2αβsh(1).

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Édité le 23-02-2024

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