[<] Calculs dans un espace préhilbertien réel [>] Familles obtusangles
Soit un espace euclidien de produit scalaire .
Montrer que si est une projection de vérifiant pour tout de , alors est une projection orthogonale.
Soit une projection vectorielle d’un espace euclidien .
Montrer que la projection est orthogonale si, et seulement si,
Soient un espace euclidien de dimension muni d’une base orthonormale et la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel muni d’une base orthonormale . Montrer que la matrice de dans la base est
avec les colonnes des coordonnées des vecteurs dans .
Soient et deux projections orthogonales d’un espace euclidien .
À quelle condition l’application est-elle encore une projection orthogonale?
Solution
Analyse: Supposons que soit une projection orthogonale.
En particulier est un projecteur ce qui donne
En développant et en simplifiant, on obtient
D’une part, on compose par à gauche
D’autre part, on compose par à droite
On en déduit
et par conséquent
Sachant et , les deux conditions précédentes se résument en .
Synthèse: Supposons
Considérons une base orthonormée adaptée à l’écriture complétée en une base orthonormée de . Les vecteurs complétant sont des vecteurs de l’espace .
Les matrices de et dans cette base sont de la forme
avec , et .
La matrice de dans cette base est alors
On reconnaît la matrice de la projection orthogonale sur l’espace . Ainsi, est une projection orthogonale.
On considère une application par
Montrer que définit un produit scalaire sur .
Déterminer
Solution
Symétrie, bilinéarité et positivité: ok
Si alors donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)
Comme le polynôme admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
On interprète
avec le projeté orthogonal de sur . Détermions ce polynôme.
Les égalités donnent
Après résolution, , puis
Calculer
Solution
On considère l’espace préhilbertien où le produit scalaire est défini par
On remarque que la fonction est élément de cet espace et il s’agit ici de calculer
On sait
avec la projection orthogonale sur .
Par application du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on forme une base orthonormale de avec
On peut alors déterminer le projeté de
avec (après calcul par intégrations par parties)
On en déduit
puis, par Pythagore,
Calculer
Solution
En introduisant l’espace des fonctions réelles continues sur telles que soit intégrable et en munissant cet espace du produit scalaire
la quantité cherchée est: avec et où et .
avec la projection orthogonale sur .
avec et .
La résolution du système ainsi obtenu donne et .
.
On pose et
Montrer que définit un produit scalaire sur .
On pose
Montrer que et sont supplémentaires et orthogonaux.
Exprimer la projection orthogonale sur .
Soient et
Calculer
Solution
Vérification sans peine.
Soit . On a
et les espaces et sont donc en somme directe.
Soit . Posons
On a avec et par construction.
Les espaces et sont donc supplémentaires orthogonaux et l’on peut introduire la projection orthogonale sur . Par ce qui précède
Soit la fonction de définie par
Les fonctions de sont alors de la forme avec parcourant et par orthogonalité de et
On en déduit
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Édité le 23-02-2024
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