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Exercice 1  3924   

Soit E un espace euclidien de produit scalaire ,.

Montrer que si p est une projection de E vérifiant p(x),x0 pour tout x de E, alors p est une projection orthogonale.

 
Exercice 2  1595      MINES (MP)

Soit p une projection vectorielle d’un espace euclidien E.

Montrer que la projection p est orthogonale si, et seulement si,

p(x)xpour tout xE.
 
Exercice 3  524   

Soient E un espace euclidien de dimension n1 muni d’une base orthonormale  et p la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F muni d’une base orthonormale (x1,,xr). Montrer que la matrice A de p dans la base est

A=k=1rXkXkt

avec X1,,Xr les colonnes des coordonnées des vecteurs x1,,xr dans .

 
Exercice 4  529   Correction  

On définit une application φ:[X]×[X] par

φ(P,Q)=0+P(t)Q(t)e-tdt.
  • (a)

    Montrer que φ définit un produit scalaire sur [X].

  • (b)

    Calculer φ(Xp,Xq).

  • (c)

    Déterminer

    inf(a,b)20+e-t(t2-(at+b))2dt.

Solution

  • (a)

    Symétrie, bilinéarité et positivité: ok

    Si φ(P,P)=0 alors 0+P2(t)e-tdt=0 donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

    t+,P(t)=0.

    Comme le polynôme P admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.

  • (b)

    Par intégration par parties successives, 0+tne-tdt=n! donc

    φ(Xp,Xq)=(p+q)!
  • (c)

    On interprète

    inf(a,b)20+e-t(t2-(at+b))2dt=d(X2,1[X])2=X2-π2

    avec π=aX+b le projeté orthogonal de X2 sur 1[X]
    (X2-π1)=(X2-πX)=0 donne

    {a+b=22a+b=6.

    Après résolution, a=4, b=-2 et

    inf(a,b)20+e-t(t2-(at+b))2dt=4.
 
Exercice 5  2735     MINES (MP)Correction  

Calculer

inf{01t2(ln(t)-at-b)2dt,(a,b)2}.

Solution

En introduisant l’espace E des fonctions réelles f continues sur ]0;1] telles que t(tf(t))2 soit intégrable et en munissant cet espace du produit scalaire

(fg)=01t2f(t)g(t)dt

la quantité cherchée est: m=d(f,F)2 avec f:tln(t) et F=Vect(f0,f1)f0(t)=1 et f1(t)=t.
m=f-p(f)2 avec p la projection orthogonale sur F.
p(f)(t)=a+bt avec (p(f)f0)=(ff0) et (p(f)f1)=(ff1).
La résolution du système ainsi obtenu donne a=5/3 et b=-19/12.
m=f-p(f)2=(f-p(f)f)=1/432.

 
Exercice 6  3766      Ker LannCorrection  

On pose E=𝒞1([0;1],) et

f,gE,f,g=01f(t)g(t)dt+01f(t)g(t)dt.
  • (a)

    Montrer que , définit un produit scalaire sur E.

  • (b)

    On pose

    V={fE|f(0)=f(1)=0}etW={fE|f est 𝒞2 et f′′=f}.

    Montrer que V et W sont supplémentaires et orthogonaux.

    Exprimer la projection orthogonale sur W.

  • (c)

    Soient α,β et

    Eα,β={fE|f(0)=α et f(1)=β}.

    Calculer

    inffEα,β01(f(t)2+f(t)2)dt.

Solution

  • (a)

    Vérification sans peine.

  • (b)

    Soit (f,g)V×W. On a

    f,g=01f(t)g′′(t)+f(t)g(t)dt=[f(t)g(t)]01=0

    et les espaces V et W sont donc en somme directe.
    Soit fE. Posons

    λ=f(0) et μ=f(1)-f(0)ch(1)sh(1).

    On a f=g+h avec h=λch+μshW et g=f-hV par construction.
    Les espaces V et W sont donc supplémentaires orthogonaux et l’on peut introduire la projection orthogonale p sur W. Par ce qui précède

    p(f)=f(0)ch+f(1)-f(0)ch(1)sh(1)sh.
  • (c)

    Soit g la fonction de Eα,β définie par

    g=αch+β-αch(1)sh(1)sh.

    Les fonctions de Eα,β sont alors de la forme f=g+h avec h parcourant V et par orthogonalité de g et h

    01(f(t)2+f(t)2)dt=f2=g2+h2.

    On en déduit

    inffEα,β01(f(t)2+f(t)2)dt=g2=(α2+β2)ch(1)-2αβsh(1).

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Édité le 08-11-2019

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