[<] Représentation d'une forme linéaire [>] Produit scalaire et transposition matricielle

 
Exercice 1  517  Correction  

Soit a un vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien E. Pour tout α, on considère l’endomorphisme

fα:xx+α(ax)a.
  • (a)

    Préciser la composée fαfβ. Quelles sont les endomorphismes fα bijectifs?

  • (b)

    Déterminer les éléments propres de fα.

Solution

  • (a)

    Pour α,β,

    fαfβ=fα+β+αβ.

    Si α=-1 alors aKer(fα) et donc fα n’est pas bijective.
    Si α-1 alors, pour β=-α1+α,

    fβfα=fαfβ=f0=Id

    d’où la bijectivité de fα.

  • (b)

    Tout vecteur non nul orthogonal à a est vecteur propre associé à la valeur propre 1.

    Tout vecteur non nul colinéaire à a est vecteur propre associé à la valeur propre 1+α.

    Pour une raison de dimension, il ne peut y avoir d’autres vecteurs propres.

 
Exercice 2  5141   

Soient a et b deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien E de dimension n2 et de produit scalaire noté (). On étudie l’endomorphisme f de E donné par

f(x)=x-(ax).b.
  • (a)

    À quelle condition simple l’endomorphisme f est-il bijectif?

  • (b)

    À quelle condition l’endomorphisme f est-il diagonalisable?

[<] Représentation d'une forme linéaire [>] Produit scalaire et transposition matricielle



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax