Exercice 1 517 Correction

Soit $a$ un vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien $E$ . Pour tout $α \in ℝ$ , on considère l’endomorphisme

f_{α} : x \mapsto x + α (a ∣ x) a .

(a)

Préciser la composée $f_{α} \circ f_{β}$ . Quelles sont les endomorphismes $f_{α}$ bijectifs?
(b)

Déterminer les éléments propres de $f_{α}$ .

Solution

(a)

Pour $α, β \in ℝ$ ,

$f_{α} \circ f_{β} = f_{α + β + α β} .$

Si $α = - 1$ alors $a \in Ker (f_{α})$ et donc $f_{α}$ n’est pas bijective.
Si $α \neq - 1$ alors, pour $β = - \frac{α}{1 + α}$ ,

$f_{β} \circ f_{α} = f_{α} \circ f_{β} = f_{0} = Id$

d’où la bijectivité de $f_{α}$ .
(b)

Tout vecteur non nul orthogonal à $a$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1$ .

Tout vecteur non nul colinéaire à $a$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1 + α$ .

Pour une raison de dimension, il ne peut y avoir d’autres vecteurs propres.

Exercice 2 6062 ENSTIM (PC)Correction

Soient $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace euclidien et $a$ un vecteur unitaire de $E$ .

Pour tout $α \in ℝ$ , on considère la fonction $f_{α}$ définie sur $E$ par

f_{α} (x) = x - α ⟨ x, a ⟩ a

(a)

Montrer que $f_{α}$ est un endomorphisme de $E$ . Que dire de $f_{0}$ ?
(b)

Soient $α, β \in ℝ$ . Déterminer $γ \in ℝ$ tel que $f_{α} \circ f_{β} = f_{γ}$ .

En déduire les valeurs de $α \in ℝ$ pour lesquelles $f_{α}$ est un automorphisme et préciser alors $f_{α}^{- 1}$ .
(c)

Montrer que $f_{α}$ est diagonalisable et préciser ses éléments propres.

Solution

(a)

L’application $f_{α}$ est bien définie de $E$ vers $E$ . On vérifie qu’elle est linéaire à l’aide de la linéarité du produit scalaire en sa première variable. On remarque que $f_{0}$ est l’identité de $E$ .
(b)

Pour $x \in E$ ,

$(f_{α} \circ f_{β}) (x)$ $= f_{β} (x) - α ⟨ f_{β} (x), a ⟩ a$

$= x - β ⟨ x, a ⟩ a - α ⟨ x, a ⟩ a + α β ⟨ x, a ⟩ {∥ a ∥}^{2} a = f_{γ} (x)$

avec $γ = α + β - α β = 1 - (1 - α) (1 - β)$ .

Cas: $α \neq 1$ . On obtient $f_{α} \circ f_{β} = f_{0}$ avec $β = 1 / (1 - α)$ . Ainsi, $f_{α}$ est un automorphisme et $f_{α}^{- 1} = f_{1 / (1 - α)}$ .

Cas: $α = 1$ . $f_{α}$ est la projection sur l’hyperplan de vecteur normal $a$ , ce n’est pas un automorphisme ( $f_{α} (a) = 0_{E}$ ).
(c)

On peut remarquer que $f_{α}$ est autoadjoint mais, plus rapidement, on peut observer que la matrice de $f_{α}$ dans une base orthonormée dont $a$ est le premier vecteur est

$D = (\begin{matrix} 1 - α & (0) \\ 1 \\ ⋱ \\ (0) & 1 \end{matrix})$

L’endomorphisme $f_{α}$ est diagonalisable et les éléments propres se déduisent de cette représentation matricielle.

Exercice 3 6004 Correction

Soit $a$ et $b$ deux vecteurs d’un espace euclidien $E$ de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ . On considère l’application $f : E \to E$ donnée par

\forall x \in E, f (x) = x + (a ∣ x) b .

(a)

Montrer que $f$ est linéaire.
(b)

Calculer $f^{2}$ et en déduire un polynôme annulateur de $f$ .
(c)

À quelle condition l’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?

Solution

(a)

Pour $λ, μ \in ℝ$ et $x, y \in E$ ,

$f (λ . x + μ . y)$ $= (λ . x + μ . y) + (a ∣ λ . x + μ . y) b$

$= (λ . x + μ . y) + λ (a ∣ x) b + μ (a ∣ y) b$

$= λ f (x) + μ f (y) .$
(b)

Pour $x \in ℝ$ ,

$f^{2} (x)$ $= f (f (x)) = f (x) + (a ∣ f (x)) b$

$= f (x) + (a ∣ x + (a ∣ x) b) b$

$= x + (a ∣ x) b + (a ∣ x) b + (a ∣ x) (a ∣ b) b$

$= x + (2 + (a ∣ b)) (a ∣ x) b .$

Aussi, $(a ∣ x) b = f (x) - x$ et donc

$f^{2} (x) = x + (2 + (a ∣ b)) (f (x) - x) = (2 + (a ∣ b)) f (x) - (1 + (a ∣ b)) x .$

On en déduit que le polynôme

$P = X^{2} - (2 + (a ∣ b)) X + 1 + (a ∣ b)$

est annulateur de $f$ .
(c)

Les racines de $P$ sont $1$ et $1 + (a ∣ b)$ .

Cas: $(a ∣ b) \neq 0$ . Le polynôme $P$ est simplement scindé sur $ℝ$ . L’endomorphisme $f$ est diagonalisable.

Cas: $(a ∣ b) = 0$ . Le polynôme $P$ possède une seule racine $1$ . L’endomorphisme $f$ n’a donc qu’une seule valeur propre possible $1$ . L’endomorphisme $f$ est diagonalisable si, et seulement si, $f = {Id}_{E}$ . Or

$f = {Id}_{E}$ $\Leftrightarrow \forall x \in E, f (x) = x$

$\Leftrightarrow \forall x \in E, (a ∣ x) b = 0_{E}$

$\Leftrightarrow a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

En bilan, $f$ est diagonalisable si, et seulement si,

$(a ∣ b) \neq 0 ou a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

Exercice 4 5141

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 2$ et de produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ . On étudie l’endomorphisme $f$ de $E$ donné par

f (x) = x - (a ∣ x) . b .

(a)

À quelle condition simple l’endomorphisme $f$ est-il bijectif?
(b)

À quelle condition l’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?

[<] Représentation d'une forme linéaire [>] Produit scalaire et transposition matricielle

Édité le 20-09-2025

	$(f_{α} \circ f_{β}) (x)$	$= f_{β} (x) - α ⟨ f_{β} (x), a ⟩ a$
		$= x - β ⟨ x, a ⟩ a - α ⟨ x, a ⟩ a + α β ⟨ x, a ⟩ {∥ a ∥}^{2} a = f_{γ} (x)$

	$f (λ . x + μ . y)$	$= (λ . x + μ . y) + (a ∣ λ . x + μ . y) b$
		$= (λ . x + μ . y) + λ (a ∣ x) b + μ (a ∣ y) b$
		$= λ f (x) + μ f (y) .$

	$f^{2} (x)$	$= f (f (x)) = f (x) + (a ∣ f (x)) b$
		$= f (x) + (a ∣ x + (a ∣ x) b) b$
		$= x + (a ∣ x) b + (a ∣ x) b + (a ∣ x) (a ∣ b) b$
		$= x + (2 + (a ∣ b)) (a ∣ x) b .$

	$f = {Id}_{E}$	$\Leftrightarrow \forall x \in E, f (x) = x$
		$\Leftrightarrow \forall x \in E, (a ∣ x) b = 0_{E}$
		$\Leftrightarrow a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien