Exercice 1 517 Correction

Soit $a$ un vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien $E$ . Pour tout $α \in ℝ$ , on considère l’endomorphisme

f_{α} : x \mapsto x + α (a ∣ x) a .

(a)

Préciser la composée $f_{α} \circ f_{β}$ . Quelles sont les endomorphismes $f_{α}$ bijectifs?
(b)

Déterminer les éléments propres de $f_{α}$ .

Solution

(a)

Pour $α, β \in ℝ$ ,

$f_{α} \circ f_{β} = f_{α + β + α β} .$

Si $α = - 1$ alors $a \in Ker (f_{α})$ et donc $f_{α}$ n’est pas bijective.
Si $α \neq - 1$ alors, pour $β = - \frac{α}{1 + α}$ ,

$f_{β} \circ f_{α} = f_{α} \circ f_{β} = f_{0} = Id$

d’où la bijectivité de $f_{α}$ .
(b)

Tout vecteur non nul orthogonal à $a$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1$ .

Tout vecteur non nul colinéaire à $a$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1 + α$ .

Pour une raison de dimension, il ne peut y avoir d’autres vecteurs propres.

Exercice 2 6004 Correction

Soit $a$ et $b$ deux vecteurs d’un espace euclidien $E$ de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ . On considère l’application $f : E \to E$ donnée par

\forall x \in E, f (x) = x + (a ∣ x) b .

(a)

Montrer que $f$ est linéaire.
(b)

Calculer $f^{2}$ et en déduire un polynôme annulateur de $f$ .
(c)

À quelle condition l’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?

Solution

(a)

Pour $λ, μ \in ℝ$ et $x, y \in E$ ,

$f (λ . x + μ . y)$ $= (λ . x + μ . y) + (a ∣ λ . x + μ . y) b$

$= (λ . x + μ . y) + λ (a ∣ x) b + μ (a ∣ y) b$

$= λ f (x) + μ f (y) .$
(b)

Pour $x \in ℝ$ ,

$f^{2} (x)$ $= f (f (x)) = f (x) + (a ∣ f (x)) b$

$= f (x) + (a ∣ x + (a ∣ x) b) b$

$= x + (a ∣ x) b + (a ∣ x) b + (a ∣ x) (a ∣ b) b$

$= x + (2 + (a ∣ b)) (a ∣ x) b .$

Aussi, $(a ∣ x) b = f (x) - x$ et donc

$f^{2} (x) = x + (2 + (a ∣ b)) (f (x) - x) = (2 + (a ∣ b)) f (x) - (1 + (a ∣ b)) x .$

On en déduit que le polynôme

$P = X^{2} - (2 + (a ∣ b)) X + 1 + (a ∣ b)$

est annulateur de $f$ .
(c)

Les racines de $P$ sont $1$ et $1 + (a ∣ b)$ .

Cas: $(a ∣ b) \neq 0$ . Le polynôme $P$ est simplement scindé sur $ℝ$ . L’endomorphisme $f$ est diagonalisable.

Cas: $(a ∣ b) = 0$ . Le polynôme $P$ possède une seule racine $1$ . L’endomorphisme $f$ n’a donc qu’une seule valeur propre possible $1$ . L’endomorphisme $f$ est diagonalisable si, et seulement si, $f = {Id}_{E}$ . Or

$f = {Id}_{E}$ $\Leftrightarrow \forall x \in E, f (x) = x$

$\Leftrightarrow \forall x \in E, (a ∣ x) b = 0_{E}$

$\Leftrightarrow a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

En bilan, $f$ est diagonalisable si, et seulement si,

$(a ∣ b) \neq 0 ou a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

Exercice 3 5141

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 2$ et de produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ . On étudie l’endomorphisme $f$ de $E$ donné par

f (x) = x - (a ∣ x) . b .

(a)

À quelle condition simple l’endomorphisme $f$ est-il bijectif?
(b)

À quelle condition l’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?

[<] Représentation d'une forme linéaire [>] Produit scalaire et transposition matricielle

Édité le 22-03-2025

	$f (λ . x + μ . y)$	$= (λ . x + μ . y) + (a ∣ λ . x + μ . y) b$
		$= (λ . x + μ . y) + λ (a ∣ x) b + μ (a ∣ y) b$
		$= λ f (x) + μ f (y) .$

	$f^{2} (x)$	$= f (f (x)) = f (x) + (a ∣ f (x)) b$
		$= f (x) + (a ∣ x + (a ∣ x) b) b$
		$= x + (a ∣ x) b + (a ∣ x) b + (a ∣ x) (a ∣ b) b$
		$= x + (2 + (a ∣ b)) (a ∣ x) b .$

	$f = {Id}_{E}$	$\Leftrightarrow \forall x \in E, f (x) = x$
		$\Leftrightarrow \forall x \in E, (a ∣ x) b = 0_{E}$
		$\Leftrightarrow a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien