[<] Produit scalaire et transposition matricielle [>] Familles totales
On munit du produit scalaire
Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes formée de polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque de degré et de coefficient dominant 1.
Étudier la parité des polynômes .
Prouver que pour chaque , le polynôme est élément de l’orthogonal à .
En déduire alors qu’il existe tel que
Solution
Par récurrence sur , établissons l’existence et l’unicité de la sous-famille telle que voulue.
Cas: . Le polynôme vaut 1.
Supposons la propriété vraie au rang .
Les polynômes sont alors déterminés de façon unique par l’hypothèse de récurrence et il reste seulement à former . Celui-ci peut s’écrire
On veut pour tout . Le polynôme doit donc vérifier
Ces relations détermine entièrement le polynôme puisque est une base orthogonale de :
Le polynôme existe donc et est unique.
Récurrence établie.
La famille vérifie les mêmes conditions que celles ayant défini la suite . On en déduit
Soit .
On peut écrire et donc
On peut aussi écrire et donc
On en déduit
Par simplification des termes de plus haut degré
On peut donc écrire
Or est orthogonal à donc
Enfin, par parité, et donc
(Polynômes orthogonaux de Legendre)
Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur .
On munit l’espace du produit scalaire
Pour tout , on introduit le polynôme défini par
Calculer et .
Montrer que est de degré et est orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur à .
En commençant par dériver deux fois , établir
En déduire
On définit
Soit . Montrer que possède racines simples dans .
Montrer que
avec . En déduire et .
On pose, pour ,
Montrer que est orthogonal à .
Calculer .
Solution
1 et sont racines de multiplicité du polynôme .
1 et sont donc racines des polynômes
En appliquant le théorème de Rolle, on peut alors montrer par récurrence sur que possède au moins racines dans l’intervalle .
En particulier possède au moins racines dans , or donc il n’y a pas d’autres racines que celles-ci et elles sont simples.
Raisonnons par récurrence sur .
Pour , c’est immédiat.
Supposons la propriété établie au rang .
Par la formule de Leibniz
1 et sont racines du polynôme et donc celui-ci peut s’écrire .
En exploitant l’hypothèse de récurrence, on obtient
Récurrence établie
Par intégration par parties successives et en exploitant l’annulation en 1 et des polynômes
on obtient
En particulier, si ,
Par la relation qui précède
Puisque le polynôme est unitaire et de degré
De plus, par intégration par parties successives
Au final
Soient , et
Justifier la définition de et montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
On pose . On cherche à déterminer . On note l’orthonormalisée de Schmidt de .
Calculer .
Déterminer une base de que l’on exprimera dans la base . En déduire et .
Solution
Pour , la fonction est définie et continue par morceaux sur et vérifie
On peut donc affirmer que cette fonction est intégrable sur ce qui assure la bonne définition de .
On vérifie aisément que est une forme bilinéaire symétrique positive.
Si alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive
On en déduit que le polynôme admet une infinité de racines et donc .
Pour ou , on peut affirmer que les polynômes et sont orthogonaux car
Par une intégration par parties
On en déduit
est un hyperplan (car noyau de la forme linéaire non nulle ). Son orthogonal est donc une droite vectorielle. Soit un vecteur directeur de celle-ci. On peut écrire
Or
Puisque le polynôme est élément de , il est orthogonal à et l’on obtient
ce qui permet d’écrire
On en déduit
Enfin par Pythagore
et l’on obtient
(Quadrature par la méthode de Gauss)
Soient deux réels. Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur . On munit l’espace du produit scalaire
Soit un entier naturel.
Montrer qu’il existe un polynôme de degré orthogonal à tout polynôme de .
Montrer que le polynôme admet exactement racines distinctes toutes dans l’intervalle .
On note les racines de , des réels et l’on pose, pour toute fonction de ,
Montrer qu’il est possible de choisir les réels de sorte que pour tout polynôme de .
Vérifier alors que est aussi nul pour tout polynôme de degré inférieur à .
Justifier que les sont tous strictement positifs.
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Édité le 29-08-2023
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