Exercice 1 3657 Correction

On munit $ℝ [X]$ du produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .

(a)

Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes $(P_{n})$ formée de polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque $P_{n}$ de degré $n$ et de coefficient dominant 1.
(b)

Étudier la parité des polynômes $P_{n}$ .
(c)

Prouver que pour chaque $n \geq 1$ , le polynôme $P_{n + 1} - X P_{n}$ est élément de l’orthogonal à $ℝ_{n - 2} [X]$ .
(d)

En déduire alors qu’il existe $λ_{n} \in ℝ$ tel que

$P_{n + 1} = X P_{n} + λ_{n} P_{n - 1} .$

Solution

(a)

Par récurrence sur $n \geq 0$ , établissons l’existence et l’unicité de la sous-famille ${(P_{k})}_{0 \leq k \leq n}$ telle que voulue.
Cas: $n = 0$ . Le polynôme $P_{0}$ vaut 1.
Supposons la propriété vraie au rang $n \geq 0$ .
Les polynômes $P_{0}, \dots, P_{n}$ sont alors déterminés de façon unique par l’hypothèse de récurrence et il reste seulement à former $P_{n + 1}$ . Celui-ci peut s’écrire

$P_{n + 1} = X^{n + 1} + Q (X) avec Q (X) \in ℝ_{n} [X] .$

On veut $⟨ P_{n + 1}, P_{k} ⟩ = 0$ pour tout $k \in {0, \dots, n}$ . Le polynôme $Q$ doit donc vérifier

$\forall k \in {0, \dots, n}, ⟨ Q (X), P_{k} ⟩ = - ⟨ X^{n + 1}, P_{k} ⟩ .$

Ces relations détermine entièrement le polynôme $Q$ puisque $(P_{0}, \dots, P_{n})$ est une base orthogonale de $ℝ_{n} [X]$ :

$Q = - \sum_{k = 0}^{n} \frac{⟨ X^{n + 1}, P_{k} ⟩}{{∥ P_{k} ∥}^{2}} P_{k} .$

Le polynôme $P_{n + 1}$ existe donc et est unique.
Récurrence établie.
(b)

La famille $({(- 1)}^{n} P_{n} (- X))$ vérifie les mêmes conditions que celles ayant défini la suite $(P_{n})$ . On en déduit

$\forall n \in ℕ, P_{n} (- X) = {(- 1)}^{n} P_{n} (X) .$
(c)

Soit $Q \in ℝ_{n - 2} [X]$ .
On peut écrire $Q = \sum_{k = 0}^{n - 2} a_{k} P_{k}$ et donc

$⟨ P_{n + 1}, Q ⟩ = 0 .$

On peut aussi écrire $X Q = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k}^{'} P_{k}$ et donc

$⟨ X P_{n}, Q ⟩ = ⟨ P_{n}, X Q ⟩ = 0 .$

On en déduit

$\forall Q \in ℝ_{n - 2} [X], ⟨ P_{n + 1} - X P_{n}, Q ⟩ = 0 .$
(d)

Par simplification des termes de plus haut degré

$P_{n + 1} - X P_{n} \in ℝ_{n} [X] .$

On peut donc écrire

$P_{n + 1} - X P_{n} = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} P_{k} .$

Or $P_{n + 1} - X P_{n}$ est orthogonal à $P_{0}, \dots, P_{n - 2}$ donc

$P_{n + 1} - X P_{n} = α_{n} P_{n} + α_{n - 1} P_{n - 1} .$

Enfin, par parité, $α_{n} = 0$ et donc

$P_{n + 1} - X P_{n} = α_{n - 1} P_{n - 1} .$

Exercice 2 4994

(Polynômes orthogonaux de Legendre)

Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur $[- 1; 1]$ .

On munit l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

Pour tout $n \in ℕ$ , on introduit le polynôme $P_{n}$ défini par

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \cdot \frac{d^{n}}{d x^{n}} ({(x^{2} - 1)}^{n}) .

(a)

Calculer $P_{n} (1)$ et $P_{n} (- 1)$ .
(b)

Montrer que $P_{n}$ est de degré $n$ et est orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur à $n$ .
(c)

En commençant par dériver deux fois ${(x^{2} - 1)}^{n + 1}$ , établir

$P_{n + 1}^{'} = (2 n + 1) P_{n} + P_{n - 1}^{'} pour tout n \geq 1 .$
(d)

En déduire

$∥ P_{n} ∥ = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}} .$

Exercice 3 3079 X (MP)Correction

On définit

Q_{n} (X) = \frac{1}{2^{n} n!} {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)} .

(a)

Soit $n \geq 1$ . Montrer que $Q_{n}$ possède $n$ racines simples dans $] - 1; 1 [$ .
(b)

Montrer que

$Q_{n} = X^{n} + (X^{2} - 1) R_{n} (X)$

avec $R_{n} \in ℝ [X]$ . En déduire $Q_{n} (1)$ et $Q_{n} (- 1)$ .
(c)

On pose, pour $(P, Q) \in ℝ {[X]}^{2}$ ,

$⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .$

Montrer que $Q_{n}$ est orthogonal à $ℝ_{n - 1} [X]$ .
(d)

Calculer ${∥ Q_{n} ∥}^{2}$ .

Solution

(a)

1 et $- 1$ sont racines de multiplicité $n$ du polynôme ${(X^{2} - 1)}^{n}$ .
1 et $- 1$ sont donc racines des polynômes

${(X^{2} - 1)}^{n}, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{'}, …, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)} .$

En appliquant le théorème de Rolle, on peut alors montrer par récurrence sur $k \in {0, \dots, n}$ que ${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(k)}$ possède au moins $k$ racines dans l’intervalle $] - 1; 1 [$ .
En particulier $Q_{n}$ possède au moins $n$ racines dans $] - 1; 1 [$ , or $\deg (Q_{n}) = n$ donc il n’y a pas d’autres racines que celles-ci et elles sont simples.
(b)

Raisonnons par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ , c’est immédiat.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

$Q_{n + 1} (X) = \frac{1}{2^{n + 1} (n + 1)!} {(2 (n + 1) X {(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)} .$

Par la formule de Leibniz

$Q_{n + 1} (X) = \frac{1}{2^{n} n!} (X {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)} + n X {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)})$

1 et $- 1$ sont racines du polynôme ${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)}$ et donc celui-ci peut s’écrire $(X^{2} - 1) S (X)$ .
En exploitant l’hypothèse de récurrence, on obtient

$Q_{n + 1} (X) = X^{n + 1} + X (X^{2} - 1) R_{n} (X) + 2 n X (X^{2} - 1) S (X) = X^{n + 1} + (X^{2} - 1) R_{n + 1} (X) .$

Récurrence établie
(c)

Par intégration par parties successives et en exploitant l’annulation en 1 et $- 1$ des polynômes

${(X^{2} - 1)}^{n}, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{'}, …, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)}$

on obtient

$\int_{- 1}^{1} P (t) Q_{n} (t) d t = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n} n!} \int_{- 1}^{1} P^{(n)} (t) {(t^{2} - 1)}^{n} d t .$

En particulier, si $P \in ℝ_{n - 1} [X]$ ,

$\int_{- 1}^{1} P (t) Q_{n} (t) d t = 0 .$
(d)

Par la relation qui précède

$\int_{- 1}^{1} {(Q_{n} (t))}^{2} d t = \frac{1}{2^{n} n!} \int_{- 1}^{1} Q_{n}^{(n)} (t) {(1 - t^{2})}^{n} d t .$

Puisque le polynôme ${(X^{2} - 1)}^{n}$ est unitaire et de degré $2 n$

${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(2 n)} = (2 n)! et Q_{n}^{(n)} = \frac{(2 n)!}{2^{n} n!} .$

De plus, par intégration par parties successives

$\int_{- 1}^{1} {(1 - t^{2})}^{n} d t = \int_{0}^{1} {(1 - t)}^{n} {(1 + t)}^{n} d t = \frac{2^{2 n + 1} {(n!)}^{2}}{(2 n + 1)!} .$

Au final

${∥ Q_{n} ∥}^{2} = \frac{2}{(2 n + 1)} .$

Exercice 4 1332 MINES (MP)Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $E = ℝ_{n} [X]$ et

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : (P, Q) \in E^{2} \mapsto ⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t .

(a)

Justifier la définition de $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ et montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
On pose $F = {P \in E, P (0) = 0}$ . On cherche à déterminer $d (1, F)$ . On note $(P_{0}, \dots, P_{n})$ l’orthonormalisée de Schmidt de $(1, X, \dots, X^{n})$ .
(b)

Calculer $P_{k} {(0)}^{2}$ .
(c)

Déterminer une base de $F^{⊥}$ que l’on exprimera dans la base $(P_{0}, \dots, P_{n})$ . En déduire $d (1, F^{⊥})$ et $d (1, F)$ .

Solution

(a)

Pour $P, Q \in E$ , la fonction $t \mapsto P (t) Q (t) e^{- t}$ est définie et continue par morceaux sur $[0; + \infty [$ et vérifie

$t^{2} P (t) Q (t) e^{- t} \to_{t \to + \infty}^{} 0 .$

On peut donc affirmer que cette fonction est intégrable sur $[0; + \infty [$ ce qui assure la bonne définition de $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .
On vérifie aisément que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est une forme bilinéaire symétrique positive.
Si $⟨ P, P ⟩ = 0$ alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive

$\forall t \in [0; + \infty [, P {(t)}^{2} e^{- t} = 0 .$

On en déduit que le polynôme $P$ admet une infinité de racines et donc $P = 0$ .
(b)

Pour $k \geq 1$ ou $k = 0$ , on peut affirmer que les polynômes $P_{k}$ et $P_{k}^{'}$ sont orthogonaux car

$P_{k}^{'} \in Vect (P_{1}, \dots, P_{k - 1}) .$

Par une intégration par parties

$0 = \int_{0}^{+ \infty} P_{k}^{'} (t) P_{k} (t) e^{- t} d t = \frac{1}{2} {[P_{k} {(t)}^{2} e^{- t}]}_{0}^{+ \infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} P_{k} {(t)}^{2} e^{- t} d t .$

On en déduit

$P_{k} {(0)}^{2} = {∥ P_{k} ∥}^{2} = 1 .$
(c)

$F$ est un hyperplan (car noyau de la forme linéaire non nulle $P \mapsto P (0)$ ). Son orthogonal est donc une droite vectorielle. Soit $Q$ un vecteur directeur de celle-ci. On peut écrire

$Q = \sum_{k = 0}^{n} ⟨ P_{k}, Q ⟩ P_{k} .$

Or

$⟨ P_{k}, Q ⟩ = ⟨ P_{k} - P_{k} (0), Q ⟩ + P_{k} (0) ⟨ 1, Q ⟩ .$

Puisque le polynôme $P_{k} - P_{k} (0)$ est élément de $F$ , il est orthogonal à $Q$ et l’on obtient

$⟨ P_{k}, Q ⟩ = P_{k} (0) ⟨ 1, Q ⟩$

ce qui permet d’écrire

$Q = λ \sum_{k = 0}^{n} P_{k} (0) P_{k} avec λ = ⟨ 1, Q ⟩ \neq 0 .$

On en déduit

$d (1, F) = \frac{| ⟨ 1, Q ⟩ |}{∥ Q ∥} = \frac{1}{\sqrt{\sum_{k = 0}^{n} P_{k} {(0)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} .$

Enfin par Pythagore

${∥ 1 ∥}^{2} = d {(1, F)}^{2} + d {(1, F^{⊥})}^{2}$

et l’on obtient

$d (1, F^{⊥}) = \sqrt{\frac{n}{n + 1}} .$

Exercice 5 4133 KER LANN (MP)

(Quadrature par la méthode de Gauss)

Soient $a < b$ deux réels. Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur $[a; b]$ . On munit l’espace $E = 𝒞 ([a; b], ℝ)$ du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Soit $n$ un entier naturel.

(a)

Montrer qu’il existe un polynôme $G$ de degré $n + 1$ orthogonal à tout polynôme de $ℝ_{n} [X]$ .
(b)

Montrer que le polynôme $G$ admet exactement $n + 1$ racines distinctes toutes dans l’intervalle $] a; b [$ .

On note $x_{0}, \dots, x_{n}$ les racines de $G$ , $ω_{0}, \dots, ω_{n}$ des réels et l’on pose, pour toute fonction $f$ de $E$ ,

ℰ (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t - \sum_{k = 0}^{n} ω_{k} f (x_{k}) .

(c)

Montrer qu’il est possible de choisir les réels $ω_{0}, \dots, ω_{n}$ de sorte que $ℰ (P) = 0$ pour tout polynôme $P$ de $ℝ_{n} [X]$ .
(d)

Vérifier alors que $ℰ (P)$ est aussi nul pour tout polynôme $P$ de degré inférieur à $2 n + 1$ .
(e)

Justifier que les $ω_{k}$ sont tous strictement positifs.

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Édité le 29-08-2023