Raisonnons par récurrence sur $n\ge 2$.
Pour $n=2$ la propriété est immédiate car aucun vecteur ne peut être nul.
Supposons la propriété établie au rang $n\ge 2$.
Soit $(x_1,\mathrm{\dots },x_{n+1})$ une famille de vecteurs vérifiant

$$\forall 1\le i\ne j\le n+1,(x_i\mid x_j)<0\text{.}$$

Par projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel de dimension finie $D=\mathrm{Vect}(x_{n+1})$, on peut écrire pour tout $i\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$

$$x_i=y_i+{\lambda }_i{x}_{n+1}$$

avec $y_i$ un vecteur orthogonal à $x_{n+1}$ et ${\lambda }_i<0$ puisque $(x_i\mid x_{n+1})<0$.
On remarque alors

$$(x_i\mid x_j)=(y_i\mid y_j)+{\lambda }_i{\lambda }_j{\parallel x_{n+1}\parallel }^2$$

et on en déduit

$$\forall 1\le i\ne j\le n,(y_i\mid y_j)<0\text{.}$$

Par hypothèse de récurrence, on peut affirmer que la famille $(y_2,\mathrm{\dots },y_n)$ est libre et puisque ses vecteurs sont orthogonaux au vecteur $x_{n+1}$ non nul, on peut aussi dire que la famille $(y_2,\mathrm{\dots },y_n,x_{n+1})$ est libre. Enfin, on en déduit que la famille $(x_2,\mathrm{\dots },x_n,x_{n+1})$ car cette dernière engendre le même espace que la précédente et est formée du même nombre de vecteurs.

Par permutation des indices, ce qui précède vaut pour toute sous-famille formée de $n$ vecteurs de la famille initiale $(x_1,\mathrm{\dots },x_n,x_{n+1})$.

Récurrence établie.