Exercice 1 530 Correction

(Formule de Parseval)

On suppose que ${(e_{n})}_{n \in ℕ}$ est une famille orthonormale totale d’un espace préhilbertien $E$ . Montrer que pour tout $x \in E$ ,

{∥ x ∥}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {| (e_{n} ∣ x) |}^{2} .

Solution

On sait déjà

\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(e_{n} ∣ x)}^{2} \leq {∥ x ∥}^{2}

en vertu de l’inégalité de Bessel.
Par totalité de la famille, pour tout $ε > 0$ , il existe $y \in Vect {(e_{n})}_{n \in ℕ}$ tel que $∥ x - y ∥ \leq ε$ .
Le vecteur $y$ est une combinaison linéaire de la famille ${(e_{n})}_{n \in ℕ}$ donc il existe $N \in ℕ$ tel que $y \in Vect (e_{0}, \dots, e_{N})$ et donc

ε \geq ∥ x - y ∥ \geq ∥ x - p (x) ∥

avec $p (x)$ le projeté de $x$ sur $Vect (e_{0}, \dots, e_{N})$ c’est-à-dire

p (x) = \sum_{n = 0}^{N} (e_{n} ∣ x) e_{n} .

Par suite, $| ∥ x ∥ - ∥ p (x) ∥ | \leq ∥ x - p (x) ∥ \leq ε$ donne

∥ x ∥ \leq ∥ p (x) ∥ + ε = \sqrt{\sum_{n = 0}^{N} {(e_{n} ∣ x)}^{2}} + ε \leq \sqrt{\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(e_{n} ∣ x)}^{2}} + ε .

Ceci valant pour tout $ε > 0$ , on obtient $∥ x ∥ \leq \sqrt{\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(e_{n} ∣ x)}^{2}}$ et finalement

{∥ x ∥}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(e_{n} ∣ x)}^{2} .

Exercice 2 4249

On munit l’espace $E = 𝒞 ([a; b], ℝ)$ du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Pour $n \in ℕ$ , on note $f_{n}$ la fonction de $E$ définie par $f_{n} (t) = t^{n}$ et $𝒫$ l’ensemble des fonctions polynomiales sur $[a; b]$ .

(a)

Justifier que la famille ${(p_{n})}_{n \in ℕ}$ est totale.
(b)

Déterminer l’orthogonal de $𝒫$ .

Exercice 3 4259

(Polynômes orthogonaux de Legendre)

Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur $[- 1; 1]$ .

On munit l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

Pour $n \in ℕ$ , on introduit le polynôme $P_{n} = U_{n}^{(n)}$ avec $U_{n} = {(X - 1)}^{n} {(X + 1)}^{n}$ .

(a)

Montrer que $P_{n}$ est un polynôme de degré $n$ orthogonal à tout polynôme de degré au plus $n - 1$ .
(b)

Établir que pour toute fonction $f$ de l’espace préhilbertien $E$ ,

$∥ \sum_{k = 0}^{n} \frac{(P_{k} ∣ f)}{{∥ P_{k} ∥}^{2}} P_{k} - f ∥ \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Exercice 4 4260

(Polynômes orthogonaux de Tchebychev)

Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur $[- 1; 1]$ .

On note $E$ l’espace des fonctions continues de $[- 1; 1]$ vers $ℝ$ et, pour $f, g \in E$ , on pose

⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} \frac{f (t) g (t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t .

(a)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $E$ .

On considère la suite de polynômes ${(T_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminée par

T_{0} = 1, T_{1} = X et T_{n + 1} = 2 X T_{n} - T_{n - 1} pour tout n \geq 1 .

(b)

Soit $n \in ℕ$ . Montrer $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ pour tout réel $θ$ .
(c)

Établir que les polynômes $T_{n}$ sont deux à deux orthogonaux. Quel est le degré de $T_{n}$ ?

Soient $n \in ℕ$ et $(P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n})$ la famille obtenue en appliquant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille $(1, X, \dots, X^{n})$ .

(d)

Vérifier que pour tout $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , il est possible d’écrire $T_{k} = λ_{k} P_{k}$ avec $λ_{k}$ un réel que l’on déterminera.

Exercice 5 4261

Soient $I$ un intervalle non vide de $ℝ$ et $ω : I \to ℝ$ une fonction continue à valeurs strictement positives telle que $t \mapsto t^{n} ω (t)$ est intégrable sur $I$ pour tout $n \in ℕ$ .

On munit $ℝ [X]$ du produit scalaire¹¹ 1 On vérifie aisément que cette application définit un produit scalaire notamment parce que la fonction $ω$ est à valeurs strictement positives sur $I$ ce qui entraîne $⟨ P, P ⟩ > 0$ pour $P \neq 0$ .

⟨ P, Q ⟩ = \int_{I} P (t) Q (t) ω (t) d t .

(a)

Établir l’existence et l’unicité d’une suite ${(P_{n})}_{n \in ℕ}$ formée de polynômes deux à deux orthogonaux et où chaque polynôme $P_{n}$ est de degré $n$ et de coefficient dominant $1$ .

Soit $n \geq 1$ .

(b)

Montrer que le polynôme $P_{n + 1} - X P_{n}$ est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur à $n - 2$ .
(c)

En déduire l’existence de réels $a_{n}$ et $b_{n}$ tels que $P_{n + 1} = (X - a_{n}) P_{n} - b_{n} P_{n - 1}$ .
(d)

Vérifier

$a_{n} = \frac{⟨ X P_{n}, P_{n} ⟩}{{∥ P_{n} ∥}^{2}} et b_{n} = \frac{⟨ X P_{n}, P_{n - 1} ⟩}{{∥ P_{n - 1} ∥}^{2}} .$

[<] Polynômes orthogonaux

Édité le 29-08-2023

Familles totales