[<] Polynômes orthogonaux

 
Exercice 1  530   Correction  

(Formule de Parseval)

On suppose que (en)n est une famille orthonormale totale d’un espace préhilbertien E. Montrer que pour tout xE,

x2=n=0+|(enx)|2.

Solution

On sait déjà

n=0+(enx)2x2

en vertu de l’inégalité de Bessel.
Par totalité de la famille, pour tout ε>0, il existe yVect(en)n tel que x-yε.
Le vecteur y est une combinaison linéaire de la famille (en)n donc il existe N tel que yVect(e0,,eN) et donc

εx-yx-p(x)

avec p(x) le projeté de x sur Vect(e0,,eN) c’est-à-dire

p(x)=n=0N(enx)en.

Par suite, |x-p(x)|x-p(x)ε donne

xp(x)+ε=n=0N(enx)2+εn=0+(enx)2+ε.

Ceci valant pour tout ε>0, on obtient xn=0+(enx)2 et finalement

x2=n=0+(enx)2.
 
Exercice 2  4249   

On munit l’espace E=𝒞([a;b],) du produit scalaire

f,g=abf(t)g(t)dt.

Pour n, on note fn la fonction de E définie par fn(t)=tn et 𝒫 l’ensemble des fonctions polynomiales sur [a;b].

  • (a)

    Justifier que la famille (pn)n est totale.

  • (b)

    Déterminer l’orthogonal de 𝒫.

 
Exercice 3  4259   

(Polynômes orthogonaux de Legendre)

Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur [-1;1].

On munit l’espace E=𝒞([-1;1],) du produit scalaire

(fg)=-11f(t)g(t)dt.

Pour n, on introduit le polynôme Pn=Un(n) avec Un=(X-1)n(X+1)n.

  • (a)

    Montrer que Pn est un polynôme de degré n orthogonal à tout polynôme de degré inférieur à n-1.

  • (b)

    Établir que, pour toute fonction f de l’espace préhilbertien E,

    k=0n(Pkf)Pk2Pk-fn+0.
 
Exercice 4  4260    

(Polynômes orthogonaux de Tchebychev)

Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur [-1;1].

On note E l’espace des fonctions continues de [-1;1] vers et, pour f,gE, on pose

f,g=-11f(t)g(t)1-t2dt.
  • (a)

    Montrer que , définit un produit scalaire sur E.

On considère la suite de polynômes (Tn)n déterminée par

T0=1,T1=XetTn+1=2XTn-Tn-1pour tout n1.
  • (b)

    Soit n. Montrer Tn(cos(θ))=cos(nθ) pour tout réel θ.

  • (c)

    Établir que les polynômes Tn sont deux à deux orthogonaux. Quel est le degré de Tn?

Soient n et (P0,P1,,Pn) la famille obtenue en appliquant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille (1,X,,Xn).

  • (d)

    Vérifier que pour tout k0;n, il est possible d’écrire Tk=λkPk avec λk un réel que l’on déterminera.

 
Exercice 5  4261    

Soient I un intervalle non vide de et ω:I une fonction continue à valeurs strictement positives telle que ttnω(t) est intégrable sur I pour tout n.

On munit [X] du produit scalaire11 1 On vérifie aisément que cette application définit un produit scalaire notamment parce que la fonction ω est à valeurs strictement positives sur I ce qui entraîne P,P>0 pour P0.

P,Q=IP(t)Q(t)ω(t)dt.
  • (a)

    Établir l’existence et l’unicité d’une suite (Pn)n formée de polynômes deux à deux orthogonaux et où chaque polynôme Pn est de degré n et de coefficient dominant 1.

Soit n1.

  • (b)

    Montrer que le polynôme Pn+1-XPn est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur à n-2.

  • (c)

    En déduire l’existence de réels an et bn tels que Pn+1=(X-an)Pn-bnPn-1.

  • (d)

    Vérifier

    an=XPn,PnPn2etbn=XPn,Pn-1Pn-12.

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Édité le 08-11-2019

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