(Formule de Parseval)
On suppose que est une famille orthonormale totale d’un espace préhilbertien . Montrer que pour tout ,
Solution
On sait déjà
en vertu de l’inégalité de Bessel.
Par totalité de la famille, pour tout , il existe tel que .
Le vecteur est une combinaison linéaire de la famille donc il existe tel que et donc
avec le projeté de sur c’est-à-dire
Par suite, donne
Ceci valant pour tout , on obtient et finalement
On munit l’espace du produit scalaire
Pour , on note la fonction de définie par et l’ensemble des fonctions polynomiales sur .
Justifier que la famille est totale.
Déterminer l’orthogonal de .
(Polynômes orthogonaux de Legendre)
Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur .
On munit l’espace du produit scalaire
Pour , on introduit le polynôme avec .
Montrer que est un polynôme de degré orthogonal à tout polynôme de degré au plus .
Établir que pour toute fonction de l’espace préhilbertien ,
(Polynômes orthogonaux de Tchebychev)
Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur .
On note l’espace des fonctions continues de vers et, pour , on pose
Montrer que définit un produit scalaire sur .
On considère la suite de polynômes déterminée par
Soit . Montrer pour tout réel .
Établir que les polynômes sont deux à deux orthogonaux. Quel est le degré de ?
Soient et la famille obtenue en appliquant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille .
Vérifier que pour tout , il est possible d’écrire avec un réel que l’on déterminera.
Soient un intervalle non vide de et une fonction continue à valeurs strictement positives telle que est intégrable sur pour tout .
On munit du produit scalaire11 1 On vérifie aisément que cette application définit un produit scalaire notamment parce que la fonction est à valeurs strictement positives sur ce qui entraîne pour .
Établir l’existence et l’unicité d’une suite formée de polynômes deux à deux orthogonaux et où chaque polynôme est de degré et de coefficient dominant .
Soit .
Montrer que le polynôme est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur à .
En déduire l’existence de réels et tels que .
Vérifier
Édité le 29-08-2023
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