En étudiant l’égalité $AM=MA$, on justifie $C(A)=D_n(ℂ)$. $C(A)$ est donc un sous-espace vectoriel de dimension $n$. De plus, il contient évidemment les éléments $A^k$ pour $k\in \{0,\mathrm{\dots },n-1\}$ (et, plus généralement, tout polynôme en $A$).

Supposons

Pour tout $i=1,\mathrm{\dots },n$, on a

Le polynôme $P={\lambda }_0+{\lambda }_{1}X+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-1}{X}^{n-1}$ s’annule en chaque ${\alpha }_i$ et possède donc plus de racines que son degré. On peut alors affirmer $P=0$ puis ${\lambda }_0=\mathrm{\dots }={\lambda }_{n-1}=0$.

La famille ${(A^k)}_{0\le k\le n-1}$ est une famille libre à $n$ éléments de $C(A)$, c’en est donc une base

• (a)

  ${ℳ}_2(ℂ)$ est un espace vectoriel complexe de dimension $4$ donc aussi un espace vectoriel réel de dimension $8$, c’est cette dernière structure qui est considérée ici: les scalaires sont les nombres réels, les vecteurs les matrices carrées complexes de taille 2.

  L’ensemble $ℍ$ est une partie non vide de ${ℳ}_2(ℂ)$ stable par combinaison linéaire car, pour $a,b,c,d\in ℂ$ et $\lambda ,\mu \in ℝ$, on vérifie

  $$\lambda M(a,b)+\mu M(c,d)=M(\lambda a+\mu c,\lambda b+\mu d)\in ℍ\text{.}$$

  Ainsi, $ℍ$ est un sous-espace vectoriel l’espace réel ${ℳ}_2(ℂ)$.

  Au surplus, $ℍ$ est stable par produit car, avec les mêmes notations qu’au-dessus,

  $$M(a,b)M(c,d)=M(ac-b\overline{d},ad+b\overline{c})\in ℍ\text{.}$$

• (b)

  et c’est donc une $ℝ$-algèbre. Enfin, en introduisant les parties réelles et imaginaires des nombres complexes $a$ et $b$, on peut écrire

  $$M(a,b)=t{\mathrm{I}}_2+xJ+yK+zL$$

  avec $t=\mathrm{Re}(a)$, $x=\mathrm{Im}(a)$, $y=\mathrm{Re}(b)$, $z=\mathrm{Im}(b)$ et

  $$J=\left(\begin{array}{cc}\hfill \mathrm{i}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -\mathrm{i}\hfill \end{array}\right),K=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}L=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{i}\hfill \\ \hfill \mathrm{i}\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)$$

  $ℍ$ est l’ensemble des combinaisons linéaires réelles des quatre matrices¹¹ 1 On a les relations remarquables $J^2=K^2=L^2=-{\mathrm{I}}_2$, $JK=L$, $KL=J$ et $LJ=K$. ${\mathrm{I}}_2$, $J$, $K$ et $L$. Ces dernières étant linéairement indépendantes, $ℍ$ est un espace réel de dimension $4$.

• (c)

  Soit $(a,b)\in {ℂ}^2$. Étudions l’inversibilité de $M(a,b)$ dans $ℍ$.

  Si $M(a,b)\ne {\mathrm{O}}_2$, on a $(a,b)\ne (\mathrm{0,0})$ et $\det \left(M(a,b)\right)={|a|}^2+{|b|}^2\ne 0$. On en déduit que la matrice $M(a,b)$ est inversible dans ${ℳ}_2(ℂ)$. De plus, en introduisant sa comatrice, on peut exprimer l’inverse de $M(a,b)$ puis vérifier son appartenance à $ℍ$:

  	${\left(M(a,b)\right)}^{-1}$	$={\displaystyle \frac{1}{\det \left(M(a,b)\right)}}{\left(\mathrm{Com}\left(M(a,b)\right)\right)}^{\top }={\displaystyle \frac{1}{{|a|}^2+{|b|}^2}}\left(\begin{array}{cc}\hfill \overline{a}\hfill & \hfill -b\hfill \\ \hfill \overline{b}\hfill & \hfill a\hfill \end{array}\right)$
  		$=M({\displaystyle \frac{\overline{a}}{{|a|}^2+{|b|}^2}},{\displaystyle \frac{-b}{{|a|}^2+{|b|}^2}})\in ℍ\text{.}$

  Finalement, tout élément non nul de l’algèbre $ℍ$ est inversible²² 2 La multiplication sur $ℍ$ n’est pas commutative et $ℍ$ n’est donc pas un corps dans le sens où ce concept est défini dans le cours..