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Exercice 1  1646  Correction  

Dans 3, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants:

  • (a)

    F=Vect(u,v)u=(1,1,0) et v=(2,1,1)

  • (b)

    F=Vect(u,v,w)u=(-1,1,0),v=(2,0,1) et w=(1,1,1)

  • (c)

    F={(x,y,z)3|x-2y+3z=0}.

Solution

  • (a)

    (u,v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u,v) génératrice de F. C’est donc une base de F.
    D=Vect(w) avec w=(1,0,0) est un supplémentaire de F car la famille (u,v,w) est une base de 3.

  • (b)

    w=u+v donc F=Vect(u,v). (u,v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u,v) génératrice de F. C’est donc une base de F.
    D=Vect(t) avec t=(1,0,0) est un supplémentaire de F car la famille (u,v,t) est une base de 3.

  • (c)

    F={(2y-3z,y,z)|y,z}=Vect(u,v) avec u=(2,1,0) et v=(-3,0,1). (u,v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u,v) génératrice de F. C’est donc une base de F.
    D=Vect(w) avec w=(1,0,0) est un supplémentaire de F car la famille (u,v,w) est une base de 3.

 
Exercice 2  4518   

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E distinct de E et G un sous-espace vectoriel supplémentaire de F.

On introduit =(e1,,ep) une base de G et, pour a=(a1,,ap) une famille de vecteurs de F, on note

Ga=Vect(ej+aj)1jp.

Montrer que les espaces Ga déterminent tous les sous-espaces supplémentaires de F dans E.

 
Exercice 3  221   

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie et F1,,Fn des sous-espaces vectoriels de E vérifiant F1++Fn=E.

Montrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels G1,,Gn tels que:

1in,GiFietE=G1Gn.
 
Exercice 4  182   Correction  

Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

  • (a)

    Soient H et H deux hyperplans de E. Montrer que ceux-ci possèdent un supplémentaire commun.

  • (b)

    Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que dimF=dimG.
    Montrer que F et G ont un supplémentaire commun.

Solution

  • (a)

    Si H=H alors n’importe quel supplémentaire de H est convenable et il en existe.
    Sinon, on a HH et HH donc il existe xH et xH tels que xH et xH.
    On a alors x+xHH et par suite Vect(x+x) est supplémentaire commun à H et H.

  • (b)

    Raisonnons par récurrence décroissante sur n=dimF=dimG{0| 1,,dimE}.
    Si n=dimE et n=dimE-1: ok
    Supposons la propriété établie au rang n+1{1,,dimE}.
    Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension n.
    Si F=G alors n’importe quel supplémentaire de F est convenable.
    Sinon, on a FG et GF donc il existe xF et xG tels que xG et xF.
    On a alors x+xFG.
    Posons F=FVect(x+x) et G=GVect(x+x).
    Comme dimF=dimG=n+1, par hypothèse de récurrence, F et G possède un supplémentaire commun H et par suite HVect(x+x) est supplémentaire commun à F et G.
    Récurrence établie.

 
Exercice 5  181      CENTRALE (MP)Correction  

Soient 𝕂 un sous-corps de , E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E.

  • (a)

    On suppose dimF1=dimF2. Montrer qu’il existe G sous-espace vectoriel de E tel que F1G=F2G=E.

  • (b)

    On suppose que dimF1dimF2. Montrer qu’il existe G1 et G2 sous-espaces vectoriels de E tels que F1G1=F2G2=E et G2G1.

Solution

  • (a)

    Par récurrence sur p=dimE-dimF1.
    Si dimE-dimF1=0 alors G={0E} convient.
    Supposons la propriété établie au rang p0.
    Soient F1 et F2 de même dimension tels que dimE-dimF1=p+1.
    Si F1=F2 l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en dimension finie permet de conclure.
    Sinon, on a F1F2 et F2F1 ce qui assure l’existence de x1F1F2 et de x2F2F1.
    Le vecteur x=x1+x2 n’appartient ni à F1, ni à F2. On pose alors F1=F1Vect(x) et F2=F2Vect(x). On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à F1 et F2: on obtient l’existence d’un supplémentaire commun G à F1 et F2. G=GVect(x) est alors supplémentaire commun à F1 et F2. Récurrence établie.

  • (b)

    Soit F1 un sous-espace vectoriel contenant F1 et de même dimension que F2. F1 et F2 possèdent un supplémentaire commun G. Considérons H un supplémentaire de F1 dans F1. En posant G1=HG et G2=G on conclut.

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Édité le 08-11-2019

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