Exercice 1 1646 Correction

Dans $ℝ^{3}$ , déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants:

(a)

$F = Vect (u, v)$ où $u = (1,1,0) et v = (2,1,1)$
(b)

$F = Vect (u, v, w)$ où $u = (- 1,1,0), v = (2,0,1) et w = (1,1,1)$
(c)

$F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - 2 y + 3 z = 0}$ .

Solution

(a)

$(u, v)$ est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et $(u, v)$ génératrice de $F$ . C’est donc une base de $F$ .
$D = Vect (w)$ avec $w = (1,0,0)$ est un supplémentaire de $F$ car la famille $(u, v, w)$ est une base de $ℝ^{3}$ .
(b)

$w = u + v$ donc $F = Vect (u, v)$ . $(u, v)$ est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et $(u, v)$ génératrice de $F$ . C’est donc une base de $F$ .
$D = Vect (t)$ avec $t = (1,0,0)$ est un supplémentaire de $F$ car la famille $(u, v, t)$ est une base de $ℝ^{3}$ .
(c)

$F = {(2 y - 3 z, y, z) | y, z \in ℝ} = Vect (u, v)$ avec $u = (2,1,0)$ et $v = (- 3,0,1)$ . $(u, v)$ est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et $(u, v)$ génératrice de $F$ . C’est donc une base de $F$ .
$D = Vect (w)$ avec $w = (1,0,0)$ est un supplémentaire de $F$ car la famille $(u, v, w)$ est une base de $ℝ^{3}$ .

Exercice 2 4518

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ distinct de $E$ et $G$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $F$ .

On introduit $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $G$ et, pour $a = (a_{1}, \dots, a_{p})$ une famille de vecteurs de $F$ , on note

G_{a} = Vect {(e_{j} + a_{j})}_{1 \leq j \leq p} .

Montrer que les espaces $G_{a}$ déterminent tous les sous-espaces supplémentaires de $F$ dans $E$ .

Exercice 3 221

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie et $F_{1}, \dots, F_{n}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant $F_{1} + \dots + F_{n} = E$ .

Montrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels $G_{1}, \dots, G_{n}$ tels que:

\forall 1 \leq i \leq n, G_{i} \subset F_{i} et E = G_{1} \oplus \dots \oplus G_{n} .

Exercice 4 182 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.

(a)

Soient $H$ et $H^{'}$ deux hyperplans de $E$ . Montrer que ceux-ci possèdent un supplémentaire commun.
(b)

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $dim F = dim G$ .
Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun.

Solution

(a)

Si $H = H^{'}$ alors n’importe quel supplémentaire de $H$ est convenable et il en existe.
Sinon, on a $H ⊄ H^{'}$ et $H^{'} ⊄ H$ donc il existe $x \in H$ et $x^{'} \in H^{'}$ tels que $x \notin H^{'}$ et $x^{'} \notin H$ .
On a alors $x + x^{'} \notin H \cup H^{'}$ et par suite $Vect (x + x^{'})$ est supplémentaire commun à $H$ et $H^{'}$ .
(b)

Raisonnons par récurrence décroissante sur $n = dim F = dim G \in {0 | 1, \dots, dim E}$ .
Si $n = dim E$ et $n = dim E - 1$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n + 1 \in {1, \dots, dim E}$ .
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension $n$ .
Si $F = G$ alors n’importe quel supplémentaire de $F$ est convenable.
Sinon, on a $F ⊄ G$ et $G ⊄ F$ donc il existe $x \in F$ et $x^{'} \in G$ tels que $x \notin G$ et $x^{'} \notin F$ .
On a alors $x + x^{'} \notin F \cup G$ .
Posons $F^{'} = F \oplus Vect (x + x^{'})$ et $G^{'} = G \oplus Vect (x + x^{'})$ .
Comme $dim F^{'} = dim G^{'} = n + 1$ , par hypothèse de récurrence, $F^{'}$ et $G^{'}$ possède un supplémentaire commun $H$ et par suite $H \oplus Vect (x + x^{'})$ est supplémentaire commun à $F$ et $G$ .
Récurrence établie.

Exercice 5 181 CENTRALE (MP)Correction

Soient $𝕂$ un sous-corps de $ℂ$ , $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie, $F_{1}$ et $F_{2}$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

(a)

On suppose $dim F_{1} = dim F_{2}$ . Montrer qu’il existe $G$ sous-espace vectoriel de $E$ tel que $F_{1} \oplus G = F_{2} \oplus G = E$ .
(b)

On suppose que $dim F_{1} \leq dim F_{2}$ . Montrer qu’il existe $G_{1}$ et $G_{2}$ sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F_{1} \oplus G_{1} = F_{2} \oplus G_{2} = E$ et $G_{2} \subset G_{1}$ .

Solution

(a)

Par récurrence sur $p = dim E - dim F_{1}$ .
Si $dim E - dim F_{1} = 0$ alors $G = {0_{E}}$ convient.
Supposons la propriété établie au rang $p \geq 0$ .
Soient $F_{1}$ et $F_{2}$ de même dimension tels que $dim E - dim F_{1} = p + 1$ .
Si $F_{1} = F_{2}$ l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en dimension finie permet de conclure.
Sinon, on a $F_{1} ⊄ F_{2}$ et $F_{2} ⊄ F_{1}$ ce qui assure l’existence de $x_{1} \in F_{1} ∖ F_{2}$ et de $x_{2} \in F_{2} ∖ F_{1}$ .
Le vecteur $x = x_{1} + x_{2}$ n’appartient ni à $F_{1}$ , ni à $F_{2}$ . On pose alors $F_{1}^{'} = F_{1} \oplus Vect (x)$ et $F_{2}^{'} = F_{2} \oplus Vect (x)$ . On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à $F_{1}^{'}$ et $F_{2}^{'}$ : on obtient l’existence d’un supplémentaire commun $G^{'}$ à $F_{1}^{'}$ et $F_{2}^{'}$ . $G = G^{'} \oplus Vect (x)$ est alors supplémentaire commun à $F_{1}$ et $F_{2}$ . Récurrence établie.
(b)

Soit $F_{1}^{'}$ un sous-espace vectoriel contenant $F_{1}$ et de même dimension que $F_{2}$ . $F_{1}^{'}$ et $F_{2}$ possèdent un supplémentaire commun $G$ . Considérons $H$ un supplémentaire de $F_{1}$ dans $F_{1}^{'}$ . En posant $G_{1} = H \oplus G$ et $G_{2} = G$ on conclut.

Supplémentarité