[<] Sous-espaces vectoriels de dimension finie [>] Hyperplans en dimension finie
Dans , déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants:
où
où
.
Solution
est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et génératrice de . C’est donc une base de .
avec est un supplémentaire de car la famille est une base de .
donc . est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et génératrice de . C’est donc une base de .
avec est un supplémentaire de car la famille est une base de .
avec et . est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et génératrice de . C’est donc une base de .
avec est un supplémentaire de car la famille est une base de .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie, un sous-espace vectoriel de distinct de et un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans .
On introduit une base de et, pour une famille de vecteurs de , on note
Montrer que les espaces déterminent tous les sous-espaces supplémentaires de dans .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et des sous-espaces vectoriels de vérifiant .
Montrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels tels que:
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle.
Soient et deux hyperplans de . Montrer que ceux-ci possèdent un sous-espace vectoriel supplémentaire commun.
Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que .
Montrer que et ont un sous-espace vectoriel supplémentaire en commun.
Solution
Si alors n’importe quel supplémentaire de est convenable et il en existe.
Sinon, on a et donc il existe et tels que et .
On a alors . L’espace est alors un supplémentaire commun à et .
Raisonnons par récurrence décroissante sur
Si et : ok
Supposons la propriété établie au rang .
Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension .
Si alors n’importe quel supplémentaire de est convenable.
Sinon, on a et . Il existe donc et tels que et . On a alors .
Posons et .
Comme , par hypothèse de récurrence, et possède un supplémentaire commun et, par suite, est une supplémentaire commun à et .
La récurrence est établie.
Soient un sous-corps de , un -espace vectoriel de dimension finie, et deux sous-espaces vectoriels de .
On suppose . Montrer qu’il existe sous-espace vectoriel de tel que .
On suppose que . Montrer qu’il existe et sous-espaces vectoriels de tels que et .
Solution
Par récurrence sur .
Si alors convient.
Supposons la propriété établie au rang .
Soient et de même dimension tels que .
Si l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en dimension finie permet de conclure.
Sinon, on a et ce qui assure l’existence de et de .
Le vecteur n’appartient ni à , ni à . On pose alors et . On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à et : on obtient l’existence d’un supplémentaire commun à et . est alors supplémentaire commun à et . Récurrence établie.
Soit un sous-espace vectoriel contenant et de même dimension que . et possèdent un supplémentaire commun . Considérons un supplémentaire de dans . En posant et on conclut.
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Édité le 29-08-2023
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