[<] Rang d'une famille de vecteurs

 
Exercice 1  2146  Correction  

Soient P1=X2+1, P2=X2+X-1 et P3=X2+X.
Montrer que la famille (P1,P2,P3) est une base de 𝕂2[X].

Solution

Supposons λ1P1+λ2P2+λ3P3=0. Par égalité de coefficients de polynômes:

{λ1-λ2=0λ2+λ3=0λ1+λ2+λ3=0.

Après résolution λ1=λ2=λ3=0.
La famille (P1,P2,P3) est une famille libre formée de 3=dim𝕂2[X] polynômes de 𝕂2[X], c’est donc une base de 𝕂2[X].

 
Exercice 2  2148  

(Polynômes de Bernstein)

Soit n. Pour tout k0;n, on pose Pk=Xk(1-X)n-k.

Montrer que la famille (P0,,Pn) est une base de n[X].

 
Exercice 3  2147  Correction  

Pour k{0,,n}, on pose Pk=(X+1)k+1-Xk+1.
Montrer que la famille (P0,,Pn) est une base de 𝕂n[X].

Solution

On remarque que deg(Pk)=k donc Pk𝕂n[X].
Supposons λ0P0++λnPn=0.
Si λn0 alors deg(λ0P0++λnPn)=n car deg(λ0P0++λn-1Pn-1)n-1 et deg(λnPn)=n
Ceci est exclu, donc λn=0.
Sachant λn=0, le même raisonnement donne λn-1=0 et ainsi de suite λn-2==λ0=0.
La famille (P0,,Pn) est une famille libre de n+1=dim𝕂n[X] éléments de 𝕂n[X], c’est donc une base de 𝕂n[X].

 
Exercice 4  2149   

(Polynômes de Newton)

Soit n. On pose

P0=1etPk=X(X-1)(X-k+1)k!pour k1;n.
  • (a)

    Soit n. Montrer que la famille (Pk)0kn est une base de n[X].

  • (b)

    Vérifier que Pk(m) est un nombre entier pour tout m et tout k.

  • (c)

    Trouver tous les polynômes P prenant des valeurs entières sur chaque entier.

 
Exercice 5  5186   

On dit qu’une famille (P0,,Pn) de polynômes non nuls de 𝕂[X] est une famille de polynômes de degrés échelonnés lorsque

deg(P0)<<deg(Pn).
  • (a)

    Montrer qu’une telle famille est libre.

  • (b)

    À quelle condition celle-ci constitue-t-elle une base de 𝕂n[X]?

 
Exercice 6  2151   Correction  

Soient n et A𝕂n[X] un polynôme non nul.
Montrer que F={P𝕂n[X]|AP} est un sous-espace vectoriel de 𝕂n[X] et en déterminer la dimension et un supplémentaire.

Solution

F𝕂n[X], 0F car A0.
Soient λ,μ𝕂 et P,QF.
AP et AQ donc A(λP+μQ) puis λP+μQF.
Ainsi, F est un sous-espace vectoriel de 𝕂n[X].
Notons p=deg(A). On a

F𝕂p-1[X]=𝕂n[X]

ce qui détermine un supplémentaire de F et donne dimF=n+1-p.

 
Exercice 7  1761     Ker LannCorrection  
  • (a)

    Montrer que la famille (X+k)n pour k{0,,n} constitue une base de n[X].

  • (b)

    Redémontrer la formule donnant l’expression du déterminant de Vandermonde

Solution

  • (a)

    La matrice de la famille étudiée dans la base canonique de n[X] a pour coefficient général

    ai,j=(ni)ji avec 0i,jn.

    En factorisant par ligne le déterminant de cette matrice est

    i=0n(ni)Vn+1(0,1,,n)0

    avec Vn+1(a0,,an) déterminant de Vandermonde.

  • (b)

    cf. cours.

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Édité le 08-11-2019

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