On introduit les matrices

On constate

Puisque $𝒟$ apparaît comme un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs, c’est en particulier un sous-espace vectoriel.

Soit $(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2$. Supposons $\lambda E_{1,1}+\mu E_{2,2}=0$. On a

Par identification des coefficients d’une matrice, $\lambda =\mu =0$. La famille $(E_{1,1},E_{2,2})$ est libre¹¹ 1 On aurait aussi pu observer que c’est une sous-famille de la famille libre qu’est la base canonique constituée des matrices élémentaires..

Soit $P$ un polynôme de ${ℝ}_2[X]$: $P=a{X}^2+bX+c$. On observe

L’ensemble $F$ est donc l’ensemble des polynômes de la forme $P=a{X}^2+bX+2a$ avec $a,b\in ℝ$. Ainsi,

L’ensemble $F$ apparaît comme le sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs, c’est donc un sous-espace vectoriel de ${ℝ}_2[X]$.

Soit $({\lambda }_1,{\lambda }_2)\in {ℝ}^2$. Supposons ${\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2=0$. On a

Par unicité des coefficients d’un polynôme, on identifie ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$. La famille $(P_1,P_2)$ est donc une base de $F$.

Puisque $U+V\subset E$, on a $dim(U+V)\le n$. La formule des quatre dimensions donne alors

L’hypothèse de travail fournit alors $dim(U\cap V)>0$.

Introduisons l’espace $W^{\prime }=U\cap V$. Par la formule des quatre dimensions,

On a donc

L’étude précédent assure alors que l’espace $U\cap V\cap W=W^{\prime }\cap W$ n’est pas réduit à l’espace nul.