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Exercice 1  4514  

On considère l’espace réel 3.

  • (a)

    Déterminer une base du sous-espace vectoriel F={(x,y,z)3|x-z=0}.

  • (b)

    Compléter en une base la famille (u,v) avec u=(1,1,1) et v=(0,1,1).

  • (c)

    Déterminer un sous-espace supplémentaire de G=Vect{(1,1,0),(0,1,-1)}.

 
Exercice 2  1642  Correction  

Dans 4, on considère les vecteurs u=(1,0,1,0), v=(0,1,-1,0), w=(1,1,1,1), x=(0,0,1,0) et y=(1,1,0,-1) puis on pose

F=Vect(u,v,w)etG=Vect(x,y).

Quelles sont les dimensions de F,G,F+G et FG?

Solution

(u,v,w) forme une famille libre donc une base de F. Ainsi, dimF=3.

(x,y) forme une famille libre donc une base de G. Ainsi, dimG=2.

(u,v,w,x) forme une famille libre donc une base de 4. Ainsi, F+G=E et dimF+G=4.

Enfin,

dim(FG)=dimF+dimG-dim(F+G)=1.
 
Exercice 3  4134   Correction  

Soient U, V et W trois sous-espaces vectoriels d’un -espace vectoriel de dimension finie n.

  • (a)

    On suppose dimU+dimV>n. Montrer que UV n’est pas réduit au vecteur nul.

  • (b)

    On suppose dimU+dimV+dimW>2n. Que dire de l’espace UVW?

Solution

  • (a)

    Puisque U+VE, on a dim(U+V)n. La formule des quatre dimensions donne alors

    dimU+dimV-dim(UV)=dim(U+V)n.

    L’hypothèse de travail fournit alors dim(UV)>0.

  • (b)

    Introduisons l’espace W=UV. Par la fomule des quatre dimensions

    dimW=dimU+dimV-dim(U+V)dimU+dimV-n.

    On a donc

    dimW+dimWdimU+dimV+dimW-n>n.

    L’étude précédent assure alors que l’espace UVW=WW n’est pas réduit à l’espace nul.

 
Exercice 4  4515    

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n*.

  • (a)

    Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E vérifiant dimF+dimG>n. Montrer que FG n’est pas réduit au vecteur nul.

  • (b)

    Généraliser ce résultat à plusieurs sous-espaces vectoriels F1,,Fp de E.

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Édité le 08-11-2019

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