Exercice 1 1678 Correction

Dans $ℝ^{3}$ , on considère le sous-espace vectoriel

H = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - 2 y + 3 z = 0} .

Soient $u = (1,2,1) et v = (- 1,1,1)$ . Montrer que $ℬ = (u, v)$ forme une base de $H$ .

Solution

$u, v \in H$ car ces vecteurs vérifient l’équation définissant $H$ .
$(u, v)$ est libre et $dim H = 2$ car $H$ est un hyperplan de $ℝ^{3}$ .
On secoue, hop, hop, le résultat tombe.

Exercice 2 5187

Soient $n \geq 2$ , $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in 𝕂^{n} ∖ {(0, \dots,0)}$ et

H = {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in 𝕂^{n} | a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0} .

Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $𝕂^{n}$ de dimension¹¹ 1 On dit qu’un tel espace est un hyperplan. $n - 1$ .

Exercice 3 1643 Correction

Soient $H_{1}$ et $H_{2}$ deux hyperplans distincts d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie supérieure à $2$ .

Déterminer la dimension de $H_{1} \cap H_{2}$ .

Solution

$H_{1} + H_{2}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $H_{1}$ donc $dim (H_{1} + H_{2}) = n - 1$ ou $n$ .
Si $dim H_{1} + H_{2} = n - 1$ alors par inclusion et égalité des dimensions: $H_{2} = H_{1} + H_{2} = H_{1}$ .
C’est exclu, il reste $dim (H_{1} + H_{2}) = n$ et alors $dim (H_{1} \cap H_{2}) = dim H_{1} + dim H_{2} - dim (H_{1} + H_{2}) = n - 2$ .

Exercice 4 1644 Correction

Soient $H$ un hyperplan et $F$ un sous-espace vectoriel non inclus dans $H$ .
Montrer

dim (F \cap H) = dim F - 1 .

Solution

On a $F \subset F + H \subset E$ et $F ⊄ H$ donc $F + H = E$ d’où $dim (F \cap H) = dim F - 1$ via le théorème des quatre dimensions.

Exercice 5 4517

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ et $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension¹¹ 1 Dans le sujet 5187 il est présenté un exemple général d’espace de ce type. $n - 1$ . Montrer que, si un vecteur $a$ de $E$ n’appartient pas à $H$ , alors $E = H \oplus Vect (a)$ .

Exercice 6 5123

Soient $H$ un hyperplan d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \geq 1$ et $a$ un vecteur de $E$ . À quelle condition les espaces $H$ et $Vect (a)$ sont-ils supplémentaires dans $E$ ?

Exercice 7 1645

Soient $E$ un espace de dimension finie $n \geq 1$ et $F$ un sous-espace vectoriel distinct de $E$ .

(a)

Montrer que $F$ peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.
(b)

Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire?

Exercice 8 5124

(a)

Montrer que le sous-ensemble de l’espace $ℳ_{n} (ℝ)$ constitué des matrices de trace nulle est un hyperplan.
(b)

Soit $H$ un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe une matrice $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ non nulle telle que

$M \in H \Leftrightarrow tr (A^{⊤} M) = 0 .$

Y a-t-il unicité d’une telle matrice $A$ ?

Exercice 9 5164

(Formes linéaires)

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geq 2$ . On appelle forme linéaire sur $E$ , toute application linéaire $φ$ de $E$ vers $𝕂$ .

(a)

Montrer qu’une forme linéaire non nulle est surjective.
(b)

En déduire que le noyau d’une forme linéaire non nulle est un sous-espace vectoriel de dimension¹¹ 1 On dit qu’un tel espace est un hyperplan. $n - 1$ .

Inversement, soit $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n - 1$ .

(c)

Montrer qu’il existe une forme linéaire non nulle $φ$ dont $H$ est le noyau.
(d)

Montrer que les formes linéaires non nulles dont $H$ est le noyau sont alors exactement les $λ φ$ avec $λ \in 𝕂^{*}$ .

Exercice 10 5636 Correction

Soit $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie. On se propose d’établir que si une réunion de sous-espaces vectoriels $F_{1}, \dots, F_{p}$ est égale à $E$ alors¹¹ 1 Une conséquence est que si une réunion finie de sous-espaces vectoriels de dimensions finies est un sous-espace vectoriel alors l’un des espaces contient tous les autres. l’un des espaces qui constitue cette réunion est égal à $E$ . On raisonne par récurrence sur $n = dim E$ .

(a)

Établir la propriété lorsque $n = 0$ .

On suppose la propriété vraie au rang $n - 1 \geq 0$ et l’on considère $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels d’un espace $E$ de dimension $n$ tels que $E = F_{1} \cup \dots \cup F_{p}$ .

(b)

Soit $H$ un hyperplan de $E$ .

Que dire de la réunion des sous-espaces vectoriels $F_{1} \cap H, \dots, F_{p} \cap H$ ?
(c)

Conclure

Solution

(a)

Lorsque $n = 0$ , tous les sous-espaces vectoriels $F_{1}, \dots, F_{p}$ sont réduits au vecteur nul donc tous égaux à $E$ .
(b)

Par distributivité,

$⋃_{j = 1}^{p} (F_{j} \cap H) = (⋃_{j = 1}^{p} F_{j}) \cap H = E \cap H = H .$

Cela détermine une réunion finie de sous-espaces vectoriels de $H$ qui est égale à l’espace $H$ lui-même de dimension $n - 1$ .
(c)

Soit $H$ un hyperplan de $E$ arbitraire. Par l’hypothèse de récurrence, puisque les $F_{k} \cap H$ sont des sous-espaces vectoriels de $H$ dont la réunion vaut $H$ , il existe $j \in ⟦ 1; p ⟧$ tel que $F_{j} \cap H = H$ et donc $H \subset F_{j}$ . Par l’absurde, si aucun des espaces $F_{k}$ ne vaut $E$ , ce qui précède donne que, pour tout hyperplan $H$ de $E$ , il existe $j \in ⟦ 1; p ⟧$ tel que $H = F_{j}$ . Cela est absurde car signifie que l’espace $E$ ne possède qu’un nombre fini d’hyperplans. La récurrence est établie.

[<] Supplémentarité [>] Rang d'une famille de vecteurs

Édité le 29-08-2023

Hyperplans en dimension finie