[<] Supplémentarité [>] Rang d'une famille de vecteurs

 
Exercice 1  1678  Correction  

Dans 3, on considère le sous-espace vectoriel

H={(x,y,z)3|x-2y+3z=0}.

Soient u=(1,2,1) et v=(-1,1,1). Montrer que =(u,v) forme une base de H.

Solution

u,vH car ces vecteurs vérifient l’équation définissant H.
(u,v) est libre et dimH=2 car H est un hyperplan de 3.
On secoue, hop, hop, le résultat tombe.

 
Exercice 2  5187  

Soient n2, (a1,,an)𝕂n{(0,,0)} et

H={(x1,,xn)𝕂n|a1x1++anxn=0}.

Montrer que H est un sous-espace vectoriel de 𝕂n de dimension11 1 On dit qu’un tel espace est un hyperplan. n-1.

 
Exercice 3  1643  Correction  

Soient H1 et H2 deux hyperplans distincts d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie supérieure à 2.

Déterminer la dimension de H1H2.

Solution

H1+H2 est un sous-espace vectoriel de E qui contient H1 donc dim(H1+H2)=n-1 ou n.
Si dimH1+H2=n-1 alors par inclusion et égalité des dimensions: H2=H1+H2=H1.
C’est exclu, il reste dim(H1+H2)=n et alors dim(H1H2)=dimH1+dimH2-dim(H1+H2)=n-2.

 
Exercice 4  1644  Correction  

Soient H un hyperplan et F un sous-espace vectoriel non inclus dans H.
Montrer

dim(FH)=dimF-1.

Solution

On a FF+HE et FH donc F+H=E d’où dim(FH)=dimF-1 via le théorème des quatre dimensions.

 
Exercice 5  4517  

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n1 et H un sous-espace vectoriel de E de dimension11 1 Dans le sujet 5187 il est présenté un exemple général d’espace de ce type. n-1. Montrer que, si un vecteur a de E n’appartient pas à H, alors E=HVect(a).

 
Exercice 6  5123  

Soient H un hyperplan d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n1 et a un vecteur de E. À quelle condition les espaces H et Vect(a) sont-ils supplémentaires dans E?

 
Exercice 7  1645   

Soient E un espace de dimension finie n1 et F un sous-espace vectoriel distinct de E.

  • (a)

    Montrer que F peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.

  • (b)

    Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire?

 
Exercice 8  5124   
  • (a)

    Montrer que le sous-ensemble de l’espace n() constitué des matrices de trace nulle est un hyperplan.

  • (b)

    Soit H un hyperplan de n(). Montrer qu’il existe une matrice An() non nulle telle que

    MHtr(AtM)=0.

    Y a-t-il unicité d’une telle matrice A?

 
Exercice 9  5164   

(Formes linéaires)

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n2. On appelle forme linéaire sur E, toute application linéaire φ de E vers 𝕂.

  • (a)

    Montrer qu’une forme linéaire non nulle est surjective.

  • (b)

    En déduire que le noyau d’une forme linéaire non nulle est un sous-espace vectoriel de dimension11 1 On dit qu’un tel espace est un hyperplan. n-1.

Inversement, soit H un sous-espace vectoriel de E de dimension n-1.

  • (c)

    Montrer qu’il existe une forme linéaire non nulle φ dont H est le noyau.

  • (d)

    Montrer que les formes linéaires non nulles dont H est le noyau sont alors exactement les λφ avec λ𝕂*.

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Édité le 08-11-2019

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