[<] Dimension d'un espace [>] Sous-espaces vectoriels de dimension finie

 
Exercice 1  1637  Correction  

On pose e1=(1,1,1), e2=(1,1,0) et e3=(0,1,1).
Montrer que =(e1,e2,e3) est une base de 3.

Solution

Supposons λ1e1+λ2e2+λ3e3=0.
On a

{λ1+λ2=0λ1+λ2+λ3=0λ1+λ3=0

qui donne λ1=λ2=λ3=0.
La famille est une famille libre formée de 3=dim3 vecteurs de 3, c’est donc une base de 3.

 
Exercice 2  4511  

Soient E un espace vectoriel réel de dimension 3 et =(e1,e2,e3) une base de E. On pose

e1=e2+2.e3,e2=e1+e3ete3=e1+2.e2.
  • (a)

    Montrer que la famille =(e1,e2,e3) est une base de E.

  • (b)

    Déterminer les coordonnées du vecteur x=e1+e2+e3 dans les bases et .

 
Exercice 3  1638  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et e=(e1,e2,e3) une base de E.
On pose

ε1=e2+2e3,ε2=e3-e1etε3=e1+2e2.

Montrer que ε=(ε1,ε2,ε3) est une base de E.

Solution

Supposons λ1ε1+λ2ε2+λ3ε3=0E. On a

(λ3-λ2)e1+(λ1+2λ3)e2+(2λ1+λ2)e3=0E.

Or (e1,e2,e3) est libre donc

{λ3-λ2=0λ1+2λ3=02λ1+λ2=0

puis λ1=λ2=λ3=0.
La famille ε est une famille libre formée de 3=dimE vecteurs de E, c’est donc une base de E.

 
Exercice 4  1640  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base e=(e1,,en).
Pour tout i{1,,n}, on pose εi=e1++ei.

  • (a)

    Montrer que ε=(ε1,,εn) est une base de E.

  • (b)

    Exprimer les composantes dans ε d’un vecteur en fonction de ses composantes dans e.

Solution

  • (a)

    Supposons λ1ε1++λnεn=0E. On a (λ1++λn)e1++λnen=0E donc

    {λ1+λ2++λn=0λ2++λn=0λn=0

    qui donne λ1==λn=0.
    La famille ε est une famille libre formée de n=dimE vecteurs de E, c’est donc une base de E.

  • (b)

    λ1ε1++λnεn=μ1e1++μnen donne

    {λ1+λ2++λn=μ1λ2++λn=μ2λn=μn

    puis

    {λ1=μ1-μ2λn-1=μn-1-μnλn=μn.
 
Exercice 5  1639  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et e=(e1,e2,e3) une base de E.
Soit

ε1=e1+2e2+2e3etε2=e2+e3.

Montrer que la famille (ε1,ε2) est libre et compléter celle-ci en une base de E.

Solution

Les vecteurs ε1 et ε2 ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre.
Pour ε3=e2 (ou encore par exemple ε3=e3 mais surtout pas ε3=e1), on montre que la famille (ε1,ε2,ε3) est libre et donc une base de E.

 
Exercice 6  3724   Correction  

(Lemme d’échange)

Soient (e1,,en) et (e1,,en) deux bases d’un -espace vectoriel E.
Montrer qu’il existe j{1,,n} tel que la famille (e1,,en-1,ej) soit encore une base de E.

Solution

Par l’absurde, supposons la famille (e1,,en-1,ej) liée pour chaque j{1,,n}.
Puisque la sous-famille (e1,,en-1) est libre, le vecteur ej est combinaison linéaire des vecteurs e1,,en-1 et donc

j{1,,n},ejVect(e1,,en-1).

Cela entraîne

enE=Vect(e1,,en)Vect(e1,,en-1)

ce qui est absurde.

 
Exercice 7  4520   

(Polynômes de degrés étagés)

Soit (Pn)n une famille de polynômes de 𝕂[X] vérifiant deg(Pn)=n pour tout naturel n.

  • (a)

    Soit n. Montrer que (Pk)0kn est une base de 𝕂n[X].

  • (b)

    Établir que (Pn)n est une base de 𝕂[X].

 
Exercice 8  5165   

(Suites récurrentes linéaires doubles11 1 L’enjeu de cet exercice est de produire une démonstration algébrique du théorème des suites récurrentes linéaire double donnant l’expression du terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2.)

Soient (a,b)2 et 𝒮 l’ensemble des suites u=(un) vérifiant la relation de récurrence linéaire double

un+2+aun+1+bun=0pour tout n.
  • (a)

    Montrer que 𝒮 est un sous-espace vectoriel de l’espace .

  • (b)

    Justifier qu’une suite géométrique de raison q appartient à 𝒮 si, et seulement si, q est racine de l’équation (E):r2+ar+b=0.

Pour u𝒮, on pose φ(u)=(u0,u1).

  • (c)

    Montrer que φ est un isomorphisme de 𝒮 vers 2. En déduire la dimension de 𝒮.

  • (d)

    On suppose que l’équation (E) possède deux racines distinctes r1 et r2. Déterminer une base de l’espace 𝒮 formé de suites géométriques.

  • (e)

    On suppose que l’équation (E) possède une racine double r non nulle22 2 0 est racine double de l’équation (E) si, et seulement si, (a,b)=(0,0). Dans ce cas, une suite est élément de 𝒮 si, et seulement si, tous ses termes sont nuls au delà du rang 2.. Montrer que les suites (rn) et (nrn) forment une base 𝒮.

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Édité le 29-08-2023

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