[<] Dimension d'un espace [>] Sous-espaces vectoriels de dimension finie
On pose , et .
Montrer que est une base de .
Solution
Supposons .
On a
qui donne .
La famille est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
Soient un espace vectoriel réel de dimension et une base de . On pose
Montrer que la famille est une base de .
Déterminer les coordonnées du vecteur dans les bases et .
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de .
On pose
Montrer que est une base de .
Solution
Supposons . On a
Or est libre donc
puis .
La famille est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
Soit un -espace vectoriel muni d’une base .
Pour tout , on pose .
Montrer que est une base de .
Exprimer les composantes dans d’un vecteur en fonction de ses composantes dans .
Solution
Supposons . On a donc
qui donne .
La famille est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
donne
puis
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de .
Soit
Montrer que la famille est libre et compléter celle-ci en une base de .
Solution
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre.
Pour (ou encore par exemple mais surtout pas ), on montre que la famille est libre et donc une base de .
(Lemme d’échange)
Soient et deux bases d’un -espace vectoriel .
Montrer qu’il existe tel que la famille soit encore une base de .
Solution
Par l’absurde, supposons la famille liée pour chaque .
Puisque la sous-famille est libre, le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs et donc
Cela entraîne
ce qui est absurde.
(Polynômes de degrés étagés)
Soit une famille de polynômes de vérifiant pour tout naturel .
Soit . Montrer que est une base de .
Établir que est une base de .
(Suites récurrentes linéaires doubles11 1 L’enjeu de cet exercice est de produire une démonstration algébrique du théorème des suites récurrentes linéaire double donnant l’expression du terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre .)
Soient et l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire double
Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace .
Justifier qu’une suite géométrique de raison appartient à si, et seulement si, est racine de l’équation .
Pour , on pose .
Montrer que est un isomorphisme de vers . En déduire la dimension de .
On suppose que l’équation possède deux racines distinctes et . Déterminer une base de l’espace formé de suites géométriques.
On suppose que l’équation possède une racine double non nulle22 2 0 est racine double de l’équation si, et seulement si, . Dans ce cas, une suite est élément de si, et seulement si, tous ses termes sont nuls au delà du rang .. Montrer que les suites et forment une base .
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Édité le 29-08-2023
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