[<] Dimension d'un espace [>] Sous-espaces vectoriels de dimension finie

 
Exercice 1  1637  Correction  

On pose e1=(1,1,1), e2=(1,1,0) et e3=(0,1,1).
Montrer que =(e1,e2,e3) est une base de 3.

Solution

Supposons λ1e1+λ2e2+λ3e3=0.
On a

{λ1+λ2=0λ1+λ2+λ3=0λ1+λ3=0

qui donne λ1=λ2=λ3=0.
La famille est une famille libre formée de 3=dim3 vecteurs de 3, c’est donc une base de 3.

 
Exercice 2  4511  

Soient E un espace vectoriel réel de dimension 3 et =(e1,e2,e3) une base de E. On pose

e1=e2+2.e3,e2=e1+e3ete3=e1+2.e2.
  • (a)

    Montrer que la famille =(e1,e2,e3) est une base de E.

  • (b)

    Déterminer les coordonnées du vecteur x=e1+e2+e3 dans les bases et .

 
Exercice 3  1638  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et e=(e1,e2,e3) une base de E.
On pose

ε1=e2+2e3,ε2=e3-e1etε3=e1+2e2.

Montrer que ε=(ε1,ε2,ε3) est une base de E.

Solution

Supposons λ1ε1+λ2ε2+λ3ε3=0E. On a

(λ3-λ2)e1+(λ1+2λ3)e2+(2λ1+λ2)e3=0E.

Or (e1,e2,e3) est libre donc

{λ3-λ2=0λ1+2λ3=02λ1+λ2=0

puis λ1=λ2=λ3=0.
La famille ε est une famille libre formée de 3=dimE vecteurs de E, c’est donc une base de E.

 
Exercice 4  1640  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base e=(e1,,en).
Pour tout i{1,,n}, on pose εi=e1++ei.

  • (a)

    Montrer que ε=(ε1,,εn) est une base de E.

  • (b)

    Exprimer les composantes dans ε d’un vecteur en fonction de ses composantes dans e.

Solution

  • (a)

    Supposons λ1ε1++λnεn=0E. On a (λ1++λn)e1++λnen=0E donc

    {λ1+λ2++λn=0λ2++λn=0λn=0

    qui donne λ1==λn=0.
    La famille ε est une famille libre formée de n=dimE vecteurs de E, c’est donc une base de E.

  • (b)

    λ1ε1++λnεn=μ1e1++μnen donne

    {λ1+λ2++λn=μ1λ2++λn=μ2λn=μn

    puis

    {λ1=μ1-μ2λn-1=μn-1-μnλn=μn.
 
Exercice 5  1639  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et e=(e1,e2,e3) une base de E.
Soit

ε1=e1+2e2+2e3etε2=e2+e3.

Montrer que la famille (ε1,ε2) est libre et compléter celle-ci en une base de E.

Solution

Les vecteurs ε1 et ε2 ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre.
Pour ε3=e2 (ou encore par exemple ε3=e3 mais surtout pas ε3=e1), on montre que la famille (ε1,ε2,ε3) est libre et donc une base de E.

 
Exercice 6  3724   Correction  

(Lemme d’échange)

Soient (e1,,en) et (e1,,en) deux bases d’un -espace vectoriel E.
Montrer qu’il existe j{1,,n} tel que la famille (e1,,en-1,ej) soit encore une base de E.

Solution

Par l’absurde, supposons la famille (e1,,en-1,ej) liée pour chaque j{1,,n}.
Puisque la sous-famille (e1,,en-1) est libre, le vecteur ej est combinaison linéaire des vecteurs e1,,en-1 et donc

j{1,,n},ejVect(e1,,en-1).

Cela entraîne

enE=Vect(e1,,en)Vect(e1,,en-1)

ce qui est absurde.

 
Exercice 7  4520   

(Polynômes de degrés étagés)

Soit (Pn)n une famille de polynômes de 𝕂[X] vérifiant deg(Pn)=n pour tout naturel n. Montrer que (Pn)n est une base de 𝕂[X].

 
Exercice 8  5165   

(Suites récurrentes linéaires doubles11 1 L’enjeu de cet exercice est de produire une démonstration algébrique du donnant l’expression du terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2.)

Soient (a,b)2 et 𝒮 l’ensemble des suites u=(un) vérifiant la relation de récurrence linéaire double

un+2+aun+1+bun=0pour tout n.
  • (a)

    Montrer que 𝒮 est un sous-espace vectoriel de l’espace .

  • (b)

    Justifier qu’une suite géométrique de raison q appartient à 𝒮 si, et seulement si, q est racine de l’équation (E):r2+ar+b=0.

Pour u𝒮, on pose φ(u)=(u0,u1).

  • (c)

    Montrer que φ est un isomorphisme de 𝒮 vers 2. En déduire la dimension de 𝒮.

  • (d)

    On suppose que l’équation (E) possède deux racines distinctes r1 et r2. Déterminer une base de l’espace 𝒮 formé de suites géométriques.

  • (e)

    On suppose que l’équation (E) possède une racine double r non nulle22 2 0 est racine double de l’équation (E) si, et seulement si, (a,b)=(0,0). Dans ce cas, une suite est élément de 𝒮 si, et seulement si, tous ses termes sont nuls au delà du rang 2.. Montrer que les suites (rn) et (nrn) forment une base 𝒮.

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Édité le 08-11-2019

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