[<] Hyperplans en dimension finie [>] L'espace des polynômes de degrés inférieurs à n

 
Exercice 1  1650  Correction  

Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes de 4:

  • (a)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,1,1,1),x2=(1,-1,1,-1) et x3=(1,0,1,1).

  • (b)

    (x1,x2,x3,x4) avec x1=(1,1,0,1),x2=(1,-1,1,0),x3=(2,0,1,1) et x4=(0,2,-1,1).

Solution

  • (a)

    (x1,x2,x3) est libre donc rg(x1,x2,x3)=3.

  • (b)

    Comme x3=x1+x2 et x4=x1-x2, on a Vect(x1,x2,x3,x4)=Vect(x1,x2).
    Comme (x1,x2) est libre, on a rg(x1,x2,x3,x4)=rg(x1,x2)=2.

 
Exercice 2  1651   Correction  

Dans E=]-1;1[ on considère:

f1(x)=1+x1-x,f2(x)=1-x1+x,f3(x)=11-x2 et f4(x)=x1-x2.

Quel est le rang de la famille (f1,f2,f3,f4)?

Solution

On a

f1(x)=1+x1-x2=f3(x)+f4(x),f2(x)=1-x1-x2=f3(x)-f4(x)

donc

rg(f1,f2,f3,f4)=rg(f3,f4)=2

car (f3,f4) est libre.

 
Exercice 3  4519  

Soient a,b,c trois réels. Dans l’espace des fonctions de vers , déterminer le rang de la famille des fonctions fa:xsin(x+a), fb:xsin(x+b) et fc:xsin(x+c).

 
Exercice 4  1652   

Soit (x1,,xn) une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. Établir que, pour tout p0;n,

rg(x1,,xp)rg(x1,,xn)+p-n.

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Édité le 08-11-2019

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