[>] Bases en dimension finie

 
Exercice 1  1634  Correction  

Soit E l’ensemble des fonctions f: telles qu’il existe a,b,c pour lesquels:

x,f(x)=(ax2+bx+c)cos(x).
  • (a)

    Montrer que E est sous-espace vectoriel de (,).

  • (b)

    Déterminer une base de E et sa dimension.

Solution

  • (a)

    E=Vect(f0,f1,f2) avec f0(x)=cos(x), f1(x)=xcos(x) et f2(x)=x2cos(x).
    E est donc un sous-espace vectoriel et (f0,f1,f2) en est une famille génératrice.

  • (b)

    Supposons αf0+βf1+γf2=0. Pour tout x, (α+βx+γx2)cos(x)=0.
    Pour x=2nπ, on obtient α+2nπβ+4n2π2γ=0 pour tout n.
    Si γ0 alors α+2nπβ+4n2π2γ±. C’est exclu. Nécessairement γ=0.
    On a alors α+2nπβ=0 pour tout n.
    Pour n=0, puis n=1 on obtient successivement α=β=0.

    Finalement, (f0,f1,f2) est une famille libre. C’est donc une base de E et dimE=3

 
Exercice 2  1636  Correction  

Soit E=(,). Pour tout n, on pose fn:xxn.

  • (a)

    Montrer que la famille (f0,,fn) est libre.

  • (b)

    En déduire la dimension de E.

Solution

  • (a)

    Supposons λ0f0++λnfn=0. Pour tout x,

    λ0+λ1x++λnxn=0.

    Si λn0 alors

    λ0+λ1x++λnxnx+±

    C’est absurde.

    Nécessairement, λn=0 puis, de même, λn-1==λ0=0.

    Finalement, la famille (f0,,fn) est libre.

  • (b)

    Par suite, n+1dimE pour tout n. L’espace E est de dimension infinie.

 
Exercice 3  3848   

Soient p* et Ep l’ensemble des suites complexes p-périodiques, c’est-à-dire l’ensemble des suites11 1 Dans ce sujet, on adopte une notation fonctionnelle des termes de la suite en écrivant u(n) au lieu de un. u=(u(n)) vérifiant u(n+p)=u(n) pour tout entier naturel n.

  • (a)

    Montrer que Ep est un -espace vectoriel de dimension finie et calculer celle-ci.

  • (b)

    Déterminer une base de Ep formée uniquement de suites géométriques.

 
Exercice 4  5188   

Soient E l’espace réel des fonctions de vers et F le sous-ensemble de E constitué des fonctions de la forme

tacos(t+b) avec a et b[0;π].

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et préciser sa dimension.

 
Exercice 5  4512  

Soit E l’ensemble des fonctions f: telles qu’il existe des réels a,b,c,d pour lesquels:

f(x)=(ax+b)cos(x)+(cx+d)sin(x)pour tout x.

Montrer que E est sous-espace vectoriel de l’espace (,) et déterminer sa dimension.

 
Exercice 6  2150   Correction  

Soit E l’espace vectoriel des applications de dans .
On considère F la partie de E constituée des applications de la forme:

xP(x)sin(x)+Q(x)cos(x) avec P,Qn[X].
  • (a)

    Montrer que F un sous-espace vectoriel de E.

  • (b)

    Montrer que F est de dimension finie et déterminer dimF.

Solution

  • (a)

    FE et la fonction nulle appartient à F (en prenant P=Q=0n[X])
    Soient f,gF et λ,μ. On peut écrire f(x)=P(x)sin(x)+Q(x)cos(x) et g(x)=P^(x)sin(x)+Q^(x)cos(x) avec P,Q,P^,Q^n[X].
    On a alors λf+μg=(λP+μP^)(x)sin(x)+(λQ+μQ^)(x)cos(x) avec λP+μP^,λQ+μQ^n[X] donc λf+μgF et finalement F est un sous-espace vectoriel de E.

  • (b)

    Posons fk(x)=xksin(x) et gk(x)=xkcos(x) avec k{0,,n}.
    Les fonctions f0,,fn,g0,,gn sont des fonctions de F formant clairement une famille génératrice.
    Supposons

    λ0f0++λnfn+μ0g0++μngn=0

    Pour tout x,

    (λ0+λ1x++λnxn)sin(x)+(μ0+μ1x++μnxn)cos(x)=0.

    Pour x=π/2+2kπ avec k, on obtient une infinité de racine au polynôme λ0+λ1X++λnXn.
    Cela permet d’affirmer λ0=λ1==λn=0.
    Pour x=2kπ avec k, on peut affirmer μ0=μ1==μn=0.
    On peut conclure que (f0,,fn,g0,,gn) est libre et donc une base de F puis dimF=2(n+1).

 
Exercice 7  3638   

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n*. Déterminer les applications d définies sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E et à valeurs dans vérifiant, pour tous sous-espaces vectoriels F et G en somme directe,

d(FG)=d(F)+d(G). (1)

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Édité le 08-11-2019

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