Exercice 1 1634 Correction

Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f : ℝ \to ℝ$ telles qu’il existe $a, b, c \in ℝ$ pour lesquels:

\forall x \in ℝ, f (x) = (a x^{2} + b x + c) \cos (x) .

(a)

Montrer que $E$ est sous-espace vectoriel de $ℱ (ℝ, ℝ)$ .
(b)

Déterminer une base de $E$ et sa dimension.

Solution

(a)

On peut percevoir $E = Vect (f_{0}, f_{1}, f_{2})$ avec $f_{0} (x) = \cos (x)$ , $f_{1} (x) = x \cos (x)$ et $f_{2} (x) = x^{2} \cos (x)$ .

L’ensemble $E$ est donc un sous-espace vectoriel et $(f_{0}, f_{1}, f_{2})$ en est une famille génératrice.
(b)

Soit $(α, β, γ) \in ℝ^{3}$ . Supposons $α f_{0} + β f_{1} + γ f_{2} = 0$ . Pour tout $x \in ℝ$ ,

$(α + β x + γ x^{2}) \cos (x) = 0 .$

Pour $x = 2 n π$ , on obtient $α + 2 n π β + 4 n^{2} π^{2} γ = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .

Par l’absurde, si $γ \neq 0$ alors $α + 2 n π β + 4 n^{2} π^{2} γ \to_{n \to + \infty}^{} \pm \infty$ . C’est exclu. Nécessairement $γ = 0$ .

On a alors $α + 2 n π β = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .

Pour $n = 0$ , puis $n = 1$ , on obtient successivement $α = 0$ et $β = 0$ .

Finalement, $(f_{0}, f_{1}, f_{2})$ est une famille libre. C’est donc une base de $E$ et $dim E = 3$

Exercice 2 1636 Correction

Soit $E = ℱ (ℝ, ℝ)$ . Pour tout $n \in ℕ$ , on pose $f_{n} : x \mapsto x^{n}$ .

(a)

Montrer que la famille $(f_{0}, \dots, f_{n})$ est libre.
(b)

En déduire la dimension de $E$ .

Solution

(a)

Supposons $λ_{0} f_{0} + \dots + λ_{n} f_{n} = 0$ . Pour tout $x \in ℝ$ ,

$λ_{0} + λ_{1} x + \dots + λ_{n} x^{n} = 0 .$

Si $λ_{n} \neq 0$ alors

$λ_{0} + λ_{1} x + \dots + λ_{n} x^{n} \to_{x \to + \infty}^{} \pm \infty .$

C’est absurde.

Nécessairement, $λ_{n} = 0$ puis, de même, $λ_{n - 1} = \dots = λ_{0} = 0$ .

Finalement, la famille $(f_{0}, \dots, f_{n})$ est libre.
(b)

Par suite, $n + 1 \leq dim E$ pour tout $n \in ℕ$ . L’espace $E$ est de dimension infinie.

Exercice 3 3848

Soient $p \in ℕ^{*}$ et $E_{p}$ l’ensemble des suites complexes $p$ -périodiques, c’est-à-dire l’ensemble des suites¹¹ 1 Dans ce sujet, on adopte une notation fonctionnelle des termes de la suite en écrivant $u (n)$ au lieu de $u_{n}$ . $u = (u (n))$ vérifiant $u (n + p) = u (n)$ pour tout entier naturel $n$ .

(a)

Montrer que $E_{p}$ est un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie et préciser celle-ci.
(b)

Déterminer une base de $E_{p}$ formée uniquement de suites géométriques.

Exercice 4 5188

Soient $E$ l’espace réel des fonctions de $ℝ$ vers $ℝ$ et $F$ le sous-ensemble de $E$ constitué des fonctions de la forme

t \mapsto a \cos (t + b) avec a \in ℝ et b \in [0; π] .

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ et préciser sa dimension.

Exercice 5 4512

Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f : ℝ \to ℝ$ telles qu’il existe des réels $a, b, c, d$ pour lesquels:

f (x) = (a x + b) \cos (x) + (c x + d) \sin (x) pour tout x \in ℝ .

Montrer que $E$ est sous-espace vectoriel de l’espace $ℱ (ℝ, ℝ)$ et déterminer sa dimension.

Exercice 6 2150 Correction

Soit $E$ l’espace vectoriel des applications de $ℝ$ dans $ℝ$ .
On considère $F$ la partie de $E$ constituée des applications de la forme:

x \mapsto P (x) \sin (x) + Q (x) \cos (x) avec P, Q \in ℝ_{n} [X] .

(a)

Montrer que $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ .
(b)

Montrer que $F$ est de dimension finie et déterminer $dim F$ .

Solution

(a)

$F \subset E$ et la fonction nulle appartient à $F$ (en prenant $P = Q = 0 \in ℝ_{n} [X]$ )
Soient $f, g \in F$ et $λ, μ \in ℝ$ . On peut écrire $f (x) = P (x) \sin (x) + Q (x) \cos (x)$ et $g (x) = \hat{P} (x) \sin (x) + \hat{Q} (x) \cos (x)$ avec $P, Q, \hat{P}, \hat{Q} \in ℝ_{n} [X]$ .
On a alors $λ f + μ g = (λ P + μ \hat{P}) (x) \sin (x) + (λ Q + μ \hat{Q}) (x) \cos (x)$ avec $λ P + μ \hat{P}, λ Q + μ \hat{Q} \in ℝ_{n} [X]$ donc $λ f + μ g \in F$ et finalement $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
(b)

Posons $f_{k} (x) = x^{k} \sin (x)$ et $g_{k} (x) = x^{k} \cos (x)$ avec $k \in {0, \dots, n}$ .
Les fonctions $f_{0}, \dots, f_{n}, g_{0}, \dots, g_{n}$ sont des fonctions de $F$ formant clairement une famille génératrice.
Supposons

$λ_{0} f_{0} + \dots + λ_{n} f_{n} + μ_{0} g_{0} + \dots + μ_{n} g_{n} = 0 .$

Pour tout $x \in ℝ$ ,

$(λ_{0} + λ_{1} x + \dots + λ_{n} x^{n}) \sin (x) + (μ_{0} + μ_{1} x + \dots + μ_{n} x^{n}) \cos (x) = 0 .$

Pour $x = π / 2 + 2 k π$ avec $k \in ℤ$ , on obtient une infinité de racine au polynôme $λ_{0} + λ_{1} X + \dots + λ_{n} X^{n}$ .
Cela permet d’affirmer $λ_{0} = λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0$ .
Pour $x = 2 k π$ avec $k \in ℤ$ , on peut affirmer $μ_{0} = μ_{1} = \dots = μ_{n} = 0$ .
On peut conclure que $(f_{0}, \dots, f_{n}, g_{0}, \dots, g_{n})$ est libre et donc une base de $F$ puis $dim F = 2 (n + 1)$ .

Exercice 7 3638

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n \in ℕ^{*}$ . Déterminer les applications $d$ définies sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ et à valeurs dans $ℕ$ vérifiant, pour tous sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ en somme directe,

d (F \oplus G) = d (F) + d (G) .

(1)

[>] Bases en dimension finie

Édité le 03-06-2024

Dimension d'un espace