Exercice 1 4195 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par

f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sin (x)}{x} & si x \neq 0 \\ 1 & si x = 0 . \end{matrix}

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ et vérifier

sup_{t \in ℝ} | f^{(n)} (t) | \leq \frac{1}{n + 1} .

Solution

Pour $x \neq 0$ , on écrit

f (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos (t) d t \underset{t = x s}{=} \int_{0}^{1} \cos (x s) d s .

La relation obtenue vaut aussi pour $x = 0$ .

Introduisons la fonction $u : ℝ \times [0; 1] \to ℝ$ définie par

u (x, s) = \cos (x s) .

Cette fonction est indéfiniment dérivable en $x$ avec

\frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n}} (x, s) = s^{n} \cos (x s + \frac{n π}{2}) .

Cette dérivée partielle est dominée par $s \mapsto 1$ qui est intégrable sur $[0; 1]$ .

Par théorème de domination, la fonction $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ avec

f^{(n)} (x) = \int_{0}^{1} s^{n} \cos (x s + \frac{n π}{2}) d s

et donc

| f^{(n)} (x) | \leq \int_{0}^{1} s^{n} d s = \frac{1}{n + 1} .

Exercice 2 6093 Correction

On note $E = 𝒞^{\infty} (ℝ, ℝ)$ et

F = {φ \in E^{*} | \forall (f, g) \in E^{2}, φ (f g) = f (0) φ (g) + φ (f) g (0)} .

Montrer que $F$ est une droite vectorielle.

Solution

On vérifie sans difficultés que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E^{*}$ .

On remarque que $θ : f \mapsto f^{'} (0)$ est un élément non nul de $F$ : l’espace $F$ contient au moins la droite vectorielle $Vect (θ)$ .

Soit $φ \in F$ .

Pour $f = g$ fonction constante égale à $1$ , on a

φ (f) = 1 \cdot φ (f) + φ (f) \cdot 1 = 2 φ (f)

donc $φ (f) = 0$ .

Pour $f : x \to x$ et $g : x \to x h (x)$ avec $h \in E$ ,

φ (x \mapsto x^{2} h (x)) = 0 \cdot φ (g) + φ (f) \cdot 0 = 0 .

Soit $f \in E$ . Par la formule de Taylor avec reste intégral, pour tout $x \in ℝ$

f (x) = f (0) + x f^{'} (0) + \int_{0}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t .

En effectuant le changement de variable $t = s x$ ,

\int_{0}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t = x^{2} \int_{0}^{1} (1 - s) f^{''} (s x) d s .

La fonction

h : x \mapsto \int_{0}^{1} (1 - s) f^{''} (s x) d s

est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ par application des théorèmes standards ’analyse intégrale.

Ainsi,

f (x) = f (0) + x f^{'} (0) + x^{2} h (x) .

Par linéarité de $φ$ et les calculs précédents,

φ (f) = 0 + f^{'} (0) φ (x \mapsto x) + 0 = λ f^{'} (0)

et donc $φ \in Vect (θ)$ .

Finalement, $F = Vect (θ)$ .

Exercice 3 1657 Correction

(Théorème de d’Alembert-Gauss)

On veut établir que tout polynôme complexe non constant possède au moins une racine dans $ℂ$ . On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe un polynôme complexe $P$ non constant n’ayant aucune racine complexe et l’on pose

F (r) = \int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{P (r e^{i θ})} pour r \in ℝ_{+} .

(a)

Montrer que la fonction $F$ est définie et de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}$ .
(b)

Établir que $F$ est constante.
(c)

Conclure en étudiant la limite de $F$ en $+ \infty$ .

Solution

(a)

On pose

$f (r, θ) = \frac{1}{P (r e^{i θ})} pour (r, θ) \in ℝ_{+} \times [0; 2 π] .$

Par l’hypothèse absurde, la fonction $f$ est correctement définie sur $ℝ_{+} \times [0; 2 π]$ et, pour tout $r \in ℝ_{+}$ , l’application partielle $θ \mapsto f (r, θ)$ est continue par morceaux sur $[0; 2 π]$ . La fonction $F$ est donc correctement définie sur $ℝ_{+}$ .

Pour tout $θ \in [0; 2 π]$ , la fonction $r \mapsto f (r, θ)$ est dérivable avec

$\frac{\partial f}{\partial r} (r, θ) = \frac{e^{i θ} P^{'} (r e^{i θ})}{P^{2} (r e^{i θ})} .$

Pour tout $θ \in [0; 2 π]$ , l’application $r \mapsto \frac{\partial f}{\partial r} (r, θ)$ est continue sur $ℝ_{+}$ .

Pour tout $r \in ℝ_{+}$ , l’application $θ \mapsto \frac{\partial f}{\partial r} (r, θ)$ est continue par morceaux sur $[0; 2 π]$ .

Soit $a \in ℝ_{+}^{*}$ . La fonction $(r, θ) \mapsto | P^{'} (r e^{i θ}) |$ est continue sur le compact $[0; a] \times [0; 2 π]$ . Cette fonction admet donc un maximum ce qui permet d’introduire un réel $M_{a}$ tel que

$\forall (r, θ) \in [0; a] \times [0; 2 π], | P^{'} (r e^{i θ}) | \leq M_{a} .$

Aussi, la fonction $(r, θ) \mapsto | P (r e^{i θ}) |$ est continue sur le compact $[0; a] \times [0; 2 π]$ . Cette fonction admet donc un minimum et, puisque celle-ci est positive et ne s’annule pas, il existe un réel $m_{a}$ tel que

$\forall (r, θ) \in [0; a] \times [0; 2 π], | P (r e^{i θ}) | \geq m_{a} .$

On a alors

$\forall (r, θ) \in [0; a] \times [0; 2 π], | \frac{\partial f}{\partial r} (r, θ) | \leq \frac{M_{a}}{m_{a}^{2}} = φ_{a} (θ) .$

La fonction constante $φ_{a} : [0; 2 π] \to ℝ_{+}$ est intégrable sur $[0; 2 π]$ .

Par domination, $F$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; a]$ . Or cela vaut pour tout $a > 0$ , on peut donc affirmer que $F$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}$ avec

$F^{'} (r) = \int_{0}^{2 π} \frac{e^{i θ} P^{'} (r e^{i θ})}{P^{2} (r e^{i θ})} d θ .$
(b)

Par calcul de primitive,

$i r F^{'} (r) = \int_{0}^{2 π} \frac{i r e^{i θ} P^{'} (r e^{i θ})}{P^{2} (r e^{i θ})} d θ = {[\frac{1}{P (r e^{i θ})}]}_{0}^{2 π} = 0 .$

On en déduit que $F^{'} (r) = 0$ pour tout $r \in ℝ_{+}^{*}$ . Par continuité de $F^{'}$ , cela vaut aussi pour $r = 0$ . On en déduit que la fonction $F$ est constante.

(c)

On écrit

P = a_{N} X^{N} + \dots + a_{1} X + a_{0} avec a_{N} \neq 0 .

Pour $r$ assez grand,

| a_{N} | r^{N} \geq | a_{N - 1} | r^{N - 1} + \dots + | a_{1} | r + | a_{0} |

et alors

	$\forall θ \in [0; 2 π], \| P (r e^{i θ}) \|$	$= \| P (r e^{i θ}) - a_{N} r^{N} e^{i N θ} + a_{N} r^{N} e^{i N θ} \|$
		$\geq \| a_{N} r^{N} e^{i N θ} \| - \| P (r e^{i θ}) - a_{N} r^{N} e^{i N θ} \|$
		$\geq \| a_{N} \| r^{N} - (\| a_{N - 1} \| r^{N - 1} + \dots + \| a_{1} \| r + \| a_{0} \|)$

puis

\forall θ \in [0; 2 π], | \frac{1}{P (r e^{i θ})} | \leq \frac{1}{| a_{N} | r^{N} - (| a_{N - 1} | r^{N - 1} + \dots + | a_{1} | r + | a_{0} |)}

et enfin

| F (r) | \leq 2 π \cdot \frac{1}{| a_{N} | r^{N} - (| a_{N - 1} | r^{N - 1} + \dots + | a_{1} | r + | a_{0} |)} \to_{r \to + \infty}^{} 0 .

Or la fonction $F$ est constante, elle est donc constante égale à $0$ . Cela est absurde car

F (0) = \frac{2 π}{P (0)} \neq 0 .

Exercice 4 5963 Correction

(Théorème de d’Alembert-Gauss)

Soit $P \in ℂ [X]$ de degré $n$ , $n \geq 2$ . On veut établir que $P$ possède au moins une racine dans $ℂ$ et pour cela on raisonne par l’absurde en supposant $P (z) \neq 0$ pour tout $z \in ℂ$ . On peut alors introduire la fonction $F$ donnée par

\forall r \in [0; + \infty [, F (r) = \int_{0}^{2 π} \frac{r^{n} e^{i n t}}{P (r e^{i t})} d t .

(a)

Montrer qu’il existe $M \in ℝ_{+}$ tel que

$\forall z \in ℂ, \frac{1}{| P (z) |} \leq M .$
(b)

Justifier que $F$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ puis que $F$ est constante.
(c)

Conclure en étudiant la limite de $F$ en $+ \infty$ .

Solution

(a)

En notant $λ$ le coefficient dominant de $P$ , on a

$| \frac{P (z)}{z^{n}} | = | λ + \frac{*}{z} + \dots + \frac{*}{z^{n}} | \to_{| z | \to + \infty}^{} | λ | > 0$

et donc

$| P (z) | \to_{| z | \to + \infty}^{} + \infty .$

Pour $ε = 1$ , il existe $A \in ℝ_{+}$ tel que

$\forall z \in ℂ, | z | > A ⟹ | P (z) | \geq 1 .$

La fonction $z \mapsto | P (z) |$ est continue sur le compact ${z \in ℂ | | z | \leq A}$ et donc admet un minimum de valeur $m$ . En vertu de l’hypothèse absurde, ce minimum est non nul. On a alors l’inégalité voulue pour $M = \max {1, 1 / m}$ .
(b)

Posons

$f (r, t) = \frac{r^{n} e^{i n t}}{P (r e^{i t})} pour r \in [0; + \infty [et t \in [0; 2 π] .$

Pour tout $r \in ℝ_{+}$ , la fonction $t \mapsto f (r, t)$ est intégrable sur $[0; 2 π]$ .

Pour tout $t \in [0; 2 π]$ , la fonction $r \mapsto f (r, t)$ est de classe $𝒞^{1}$ avec

$\frac{\partial f}{\partial r} (r, t) = \frac{n r^{n - 1} e^{i n t}}{P (r e^{i t})} - \frac{r^{n} e^{i (n + 1) t} P^{'} (r e^{i t})}{{(P (r e^{i t}))}^{2}} .$

Soit $a > 0$ . Pour tout $(r, t) \in [0; a] \times [0; 2 π]$ ,

$| \frac{\partial f}{\partial r} (r, t) | \leq n a^{n - 1} M + a^{n} M sup_{| z | \leq a} | P^{'} (z) | = C .$

La fonction constante $t \mapsto C$ est intégrable sur $[0; 2 π]$ .

Par domination sur tout $[0; a] \subset [0; + \infty [$ , on obtient que $F$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ avec

$F^{'} (r) = \int_{0}^{2 π} (\frac{n r^{n - 1} e^{i n t}}{P (r e^{i t})} - \frac{r^{n} e^{i (n + 1) t} P^{'} (r e^{i t})}{{(P (r e^{i t}))}^{2}}) d t = {[\frac{1}{i} \cdot \frac{r^{n - 1} e^{i n t}}{P (r e^{i t})}]}_{0}^{2 π} = 0 .$

La fonction $F$ est donc constante sur $[0; + \infty [$ .
(c)

On a pu voir

$\frac{P (z)}{z^{n}} \to_{| z | \to + \infty}^{} λ$

et donc

$\forall t \in [0; 2 π], \frac{r^{n} e^{i n t}}{P (r e^{i t})} \to_{r \to + \infty}^{} \frac{1}{λ} .$

Aussi, il existe donc $A^{'} \in ℝ_{+}$ tel que

$\forall z \in ℂ, | z | \geq A^{'} ⟹ | \frac{P (z)}{z^{n}} | \geq \frac{λ}{2}$

et donc

$\forall r \geq A^{'}, \forall t \in [0; 2 π], | \frac{r^{n} e^{i n t}}{P (r e^{i t})} | \underset{z = r e^{i t}}{=} | \frac{z^{n}}{P (z)} | \leq \frac{2}{| λ |} .$

Par convergence dominée à paramètre continu,

$F (r) \to_{r \to + \infty}^{} \int_{0}^{2 π} \frac{d t}{λ} = \frac{2 π}{λ} \neq 0 .$

Parallèlement, $F (0) = 0$ . Cela est absurde puisque $F$ est constante.

	$\forall θ \in [0; 2 π], \| P (r e^{i θ}) \|$	$= \| P (r e^{i θ}) - a_{N} r^{N} e^{i N θ} + a_{N} r^{N} e^{i N θ} \|$
		$\geq \| a_{N} r^{N} e^{i N θ} \| - \| P (r e^{i θ}) - a_{N} r^{N} e^{i N θ} \|$
		$\geq \| a_{N} \| r^{N} - (\| a_{N - 1} \| r^{N - 1} + \dots + \| a_{1} \| r + \| a_{0} \|)$

Applications variées