[<] Transformée de Fourier et intégrales apparentées [>] Fonction d'Euler

 
Exercice 1  4721   

(Transformation de Laplace)

Soit f:[0;+[ une fonction continue et bornée. On appelle transformée de Laplace de f, l’application L(f) définie sur ]0;+[ par

L(f)(x)=0+f(t)e-xtdt.
  • (a)

    Montrer que la fonction L(f) est bien définie et continue sur ]0;+[.

  • (b)

    Déterminer la limite de xL(f)(x) quand x tend vers +.

  • (c)

    On suppose que la fonction f admet une limite finie λ en +. Déterminer la limite de xL(f)(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures.

 
Exercice 2  4944     CCP (MP)Correction  

Soit

F:x0+e-xtsin(t)tdt.
  • (a)

    Justifier que F est définie et de classe 𝒞1 sur +*.

  • (b)

    Calculer F(x).

  • (c)

    En déduire une expression simplifiée de F(x) pour tout x>0.

Solution

  • (a)

    Posons

    f(x,t)=e-xtsin(t)t

    définie sur ]0;+[×]0;+[.

    Pour tout x>0, la fonction tf(x,t) est continue par morceaux sur ]0;+[ et intégrable car

    f(x,t)t0+1ett2f(x,t)t+0.

    La fonction f admet une dérivée partielle

    fx(x,t)=-e-xtsin(t).

    Celle-ci est continue en x et continue par morceaux en t.

    Soit [a;b]]0;+[. On a

    (x,t)[a;b]×]0;+[,|fx(x,t)|e-at=φ(t).

    La fonction φ est intégrable sur ]0;+[. Par domination sur tout segment, on obtient F de classe 𝒞1 sur ]0;+[ et

    F(x)=-0+e-txsin(t)dt.
  • (b)

    En employant

    0+e-txsin(t)dt=Im(0+e-txeitdt)

    on obtient

    F(x)=-11+x2.
  • (c)

    On en déduit

    F(x)=-arctan(x)+Cte sur ]0;+[.

    Montrons limx+F(x)=0. On a |sin(t)|t pour tout t>0 et donc

    |F(x)|0+e-xtdt=1xx+0.

    On conclut

    F(x)=π2-arctan(x).
  • (d)
 
Exercice 3  3889   Correction  

Soit

g:x0+e-xt1+tdt.

Montrons que g est solution sur +* de l’équation différentielle

-y+y=1x.

Solution

Considérons f:(x,t)e-xt1+t définie sur ]0;+[×[0;+[
Pour t[0;+[, la fonction xf(x,t) est fois dérivable sur ]0;+[ f admet une dérivée partielle

fx(x,t)=-te-xt1+t.

Pour tout x]0;+[, tf(x,t) est continue par morceaux et intégrable sur [0;+[ car

t2f(x,t)t+0.

De plus,
x]0;+[,tfx(x,t) est continue par morceaux.
t[0;+[,xfx(x,t) est continue.
Enfin, pour [a;b][0;+[. On a

(x,t)[a;b]×[0;+[,|fx(x,t)|e-at

avec φ:te-at continue par morceaux et intégrable sur [0;+[.
Par domination sur tout segment, la fonction g est de classe 𝒞1 sur +* et

-g(x)+g(x)=0+te-xt1+tdt+0+e-xt1+tdt=0+e-xtdt=1x.

On peut aussi constater le résultat plus directement en procédant aux changements de variable u=1+t puis v=ux ce qui ramène l’expression étudiée à une primitive

g(x)=exx+e-vvdv

et on peut alors vérifier la satisfaction de l’équation différentielle.

 
Exercice 4  538   Correction  

Soit

F:x0+e-xt1+t2dt.

Montrer que F est solution sur +* de limite nulle en + de l’équation différentielle

y′′+y=1x.

Solution

Considérons f:(x,t)e-xt1+t2 définie sur ]0;+[×[0;+[
Pour tout x]0;+[, tf(x,t) est continue par morceaux sur [0;+[ et intégrable car

|f(x,t)|11+t2.

Pourt[0;+[, la fonction xf(x,t) est de classe 𝒞2 sur ]0;+[ et

fx(x,y)=-te-xt1+t2 et 2fx2(x,t)=t2e-xt1+t2.

Pour tout x]0;+[, la fonctions tfx(x,t) est continue par morceaux et intégrable.
La fonction 2fx2 est continue en x, continue par morceaux en t.
Soit [a;b]]0;+[. Sur[a;+[×[0;+[, on a

|2fx2(x,t)|e-at

avec φ:te-at continue par morceaux et intégrable sur [0;+[.
Par domination sur tout compact, la fonction F est de classe 𝒞2 sur +* et

F′′(x)+F(x)=0+t2e-xt1+t2dt+0+e-xt1+t2dt=0+e-xtdt=1x.

Enfin F+0 car

|f(x)|0+e-xt1+t2dt0+e-xtdt=1xx+0.
 
Exercice 5  4716  

Pour x0, on pose

f(x)=0+e-xt1+t3dt.
  • (a)

    Montrer que f est définie et continue sur +.

  • (b)

    Déterminer la limite de f en +.

 
Exercice 6  537   Correction  

Soit

f:x0+e-xt21+t2dt.
  • (a)

    Montrer que f est définie et continue sur +.

  • (b)

    Montrer que f est dérivable sur +* et solution de l’équation différentielle

    y-y=π2x.

Solution

  • (a)

    g:(x,t)e-xt21+t2 est définie continue en x et continue par morceaux en t sur +×[0;+[ avec

    |g(x,t)|11+t2=φ(t)

    et φ intégrable sur [0;+[.
    Par domination, on peut affirmer que f est définie et continue sur +.

  • (b)

    gx existe et est continue en x et continue par morceaux en t sur +*×[0;+[.
    Pour x[a;b]+* on a

    |gx(x,t)|=|-t21+t2e-xt2|e-at2=ψ(t)

    avec ψ intégrable sur +.
    Par domination sur tout segment de +*, on peut affirmer que f est de classe 𝒞1 sur ]0;+[ avec

    f(x)=-0+t2e-xt21+t2dt.

    Enfin,

    f(x)-f(x)=0+e-xt2dt=u=xt1x0+e-u2du=π2x.
 
Exercice 7  532   Correction  

Soit

g(x)=0+e-tx2dt1+t3.
  • (a)

    Calculer g(0) en réalisant le changement de variable t=1/u.

  • (b)

    Étudier les variations de g sur son domaine de définition.

  • (c)

    Étudier la limite de g en +.

Solution

  • (a)

    t11+t3 est intégrable sur + car équivaut à t1t3 en +. On en déduit que l’intégrale définissant g(0) existe. La fonction u1/u est une bijection de classe 𝒞1 entre +* et +*: on peut réaliser le changement de variable t=1/u. Celui-ci donne

    0+dt1+t3=0+udu1+u3.

    En sommant ces deux expressions de g(0),

    2g(0)=0+dtt2-t+1=[23arctan(2t-13)]0+=4π33

    puis

    g(0)=2π33.
  • (b)

    La fonction g est paire. Pour 0xy, on a pour tout t0, e-tx2e-ty2 et par intégration g(x)g(y). On en déduit que g est décroissante sur +.

  • (c)

    Pour x>0,

    0g(x)0+e-tx2dt=1x2x+0

    Par encadrement,

    limx+g(x)=0.

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Édité le 08-11-2019

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