[<] Calcul d'intégrales [>] Transformée de Laplace et intégrales apparentées
(Transformation de Fourier)
Soit une fonction continue par morceaux intégrable. On appelle transformée de Fourier de , l’application définie par
Montrer que la fonction est définie et continue sur .
Soit . On suppose l’application intégrable sur .
Soit . Montrer que la fonction est intégrable sur .
Établir que la transformée de Fourier est de classe .
(Transformée de Fourier d’une fonction gaussienne)
Pour réel, exprimer simplement
Pour , on pose
Justifier l’existence de l’intégrale définissant .
Justifier que est de classe sur et former une équation différentielle linéaire d’ordre dont est solution.
Sachant , exprimer pour tout .
Retrouver le résultat précédent à l’aide d’un changement de variable.
Solution
On introduit
Pour tout , la fonction est continue par morceaux et intégrable sur car
L’intégrale définissant est donc correctement définie.
Pour tout , la fonction est dérivable et
Pour tout , la fonction est continue par morceaux sur .
Pour tout , la fonction est continue sur .
Soit . Pour ,
avec continue par morceaux et intégrable sur .
Par domination sur tout segment, on peut affirmer que est de classe sur .
Par une intégration par parties généralisée correctement justifiée
On en déduit que est solution de l’équation différentielle
La solution générale de cette équation différentielle s’exprime
Sachant , on obtient
Pour ,
On étudie
Donner le domaine de définition de .
Calculer en formant une équation différentielle.
Calculer en exploitant le développement en série entière de la fonction cosinus.
Solution
Posons .
Pour chaque , la fonction est continue par morceaux sur et négligeable devant en donc intégrable sur . La fonction est définie sur .
La fonction est continue par morceaux sur et est continue sur .
Pour ,
avec intégrable sur , la fonction est de classe et
Par intégration par parties généralisée justifiée par deux convergences,
est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 et on conclut
On peut écrire
Posons .
Les fonctions sont continues par morceaux sur .
La série converge simplement sur vers la fonction elle aussi continue par morceaux.
Les fonctions sont intégrables sur et
Par intégration par parties généralisée justifiée par deux convergences
et donc
Ainsi,
Cette quantité étant sommable, on peut intégrer terme à terme et l’on retrouve
Existence de
Calculer en introduisant une équation différentielle vérifiée par .
Calculer directement par une intégration terme à terme.
Solution
Posons
La fonction est continue par morceaux et intégrable sur car
et donc la fonction est définie sur .
La fonction est dérivable et
La fonction est continue par morceaux, la fonction est continue.
Soit .
avec intégrable sur indépendant de .
On en déduit que la fonction est de classe et par une intégration par parties
On en déduit que est solution de l’équation différentielle
Après résolution de cette équation différentielle
avec .
On sait
Posons
Les fonctions sont continues par morceaux et la série de fonctions converge simplement sur vers la fonction elle-même continue par morceaux.
Chaque fonction est intégrable et
Par intégration par parties
et donc
puis
Il y a alors convergence de la série et donc on peut intégrer terme à terme ce qui fournit
Pour tout réel, on pose
Existence et calcul de ces deux intégrales.
Solution
La fonction définie sur .
est continue par morceaux sur pour chaque et
On en déduit que la fonction donnée par
est définie sur .
La fonction est dérivable sur pour chaque et
est continue sur pour chaque ,
est continue par morceaux sur pour chaque et
avec intégrable sur car prolongeable par continuité en 0 et vérifiant .
Par domination, on peut affirmer que est de classe sur et
À l’aide d’une intégration par parties, on obtient
La résolution de cette équation différentielle donne
Enfin, sachant
on parvient à
d’où les expressions de et de .
On peut encore éventuellement « simplifier » en exploitant
ce qui donne
et aussi
On pose
Montrer que est définie, de classe sur et vérifie
En déduire l’expression de sachant .
Solution
est définie et continue par morceaux sur .
Puisque est intégrable sur , la fonction est bien définie.
est définie et continue par morceaux sur ,
est continue sur ,
avec intégrable sur .
La fonction est donc définie et de classe sur avec
En multipliant par la quantité conjuguée
donc
Puisque , on conclut
Soient deux réels strictement positifs.
Justifier l’existence pour tout de
Justifier que est de classe sur et calculer .
Exprimer
Solution
On définit par
Soit . La fonction est définie et continue par morceaux sur : l’intégrale est généralisée aux deux bornes.
D’une part,
donc
La fonction est intégrable en .
D’autre part,
La fonction peut être prolongée par continuité en .
Finalement, la fonction est intégrable sur .
Soit . La fonction est de classe sur avec
Pour ,
avec fonction continue par morceaux et intégrable sur .
On en déduit que est de classe sur avec
Or, pour ,
et
donc
puis
On en déduit
Pour déterminer la constante, on étudie la limite de en . Posons
La fonction est intégrable sur (cf. étude initiale, cas ).
Par intégration par parties généralisée correctement justifiée,
Or
(en justifiant que est intégrable sur car négligeable devant en et prolongeable par continuité en ).
On a donc
On peut conclure
On considère
Montrer la définie et la continuité de sur .
Montrer que est de classe sur et montrer que
Montrer que pour ,
et déterminer un équivalent de quand .
La fonction est-elle dérivable en ?
Solution
Posons définie par
La fonction est définie et continue sur .
Pour tout , on a
avec intégrable sur .
On en déduit que est définie et continue sur .
Par intégration par parties,
La fonction
est de classe sur en vertu de la domination
On en déduit que est de classe sur avec
Or, par intégration par parties,
donc
Enfin, une dernière intégration par parties donne
et la relation voulue…
Par le changement de variable , on obtient l’expression proposée.
On peut décomposer
D’une part, par intégration par parties
avec
et
D’autre part,
avec
et
Au final,
En vertu de ce qui précède
On en déduit que la fonction réelle n’est pas dérivable en 0, il en est a fortiori de même de .
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Édité le 08-12-2023
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