[>] Convergence dominée sur intervalle variable
Étudier les limites suivantes:
.
Étudier la limite quand tend vers l’infini de
Solution
Pour ,
Aussi,
avec intégrable.
Par convergence dominée,
Étudier la limite quand tend vers l’infini de
Solution
L’intégrale définissant existe pour (cf. domination à suivre).
Pour ,
Aussi,
En effet, pour , on a pour tout .
La fonction est intégrable sur car négligeable devant en .
Par convergence dominée,
Étudier la limite quand tend vers l’infini de
Solution
Pour ,
Aussi,
avec intégrable (fonction de référence).
Par convergence dominée,
Calculer
Solution
La fonction intégrée ne converge pas simplement en les . Pour contourner cette difficulté on raisonne à l’aide de valeurs absolues.
On a
avec
Les fonctions et sont continues par morceaux et
avec continue par morceaux intégrable sur .
Par convergence dominée,
Établir que
Soit . Vérifier
Pour , établir
En déduire une expression de à l’aide de nombres factoriels.
En employant la formule de Stirling, donner la valeur de .
Solution
Les fonctions données par
sont définies et continues par morceaux sur .
La suite de fonctions converge simplement vers avec définie et continue par morceaux sur .
Soit fixé. Pour , en développant par la formule du binôme de Newton
car les points de suspensions sont formés de termes tous positifs.
Ainsi,
La fonction est continue et intégrable sur .
Par convergence dominée,
Il suffit de réaliser le changement de variable .
On remarque
À l’aide d’une intégration par parties correctement justifiée,
et donc
On obtient la relation de récurrence
Sachant , on obtient
On a
car, par la formule de Stirling et de multiples simplifications,
Vérifier que la suite de terme général
est bien définie et étudier sa convergence.
Solution
Posons
La fonction est définie et continue par morceaux sur et intégrable sur cet intervalle car Quand ,
Soit . Quand , et la suite converge simplement vers la fonction nulle.
De plus, pour , on a, sachant ,
et pour ,
Ainsi, avec
La fonction étant intégrable sur , on peut appliquer le théorème de convergence dominée et affirmer
Étudier la limite éventuelle, quand tend vers , de la suite
Solution
En découpant l’intégrale,
D’une part,
D’autre part, par convergence dominée (fonction de domination intégrable sur ),
On en déduit
Étudier la limite quand tend vers l’infini de
Solution
Notons que l’intégrale définissant existe pour car la fonction intégrée est dominée par en et est prolongeable par continuité en .
Dans cette étude, on ne peut appliquer le théorème de convergence dominée sur après une majoration de par car la fonction dominante n’est pas intégrable sur . Une solution pour contourner cette difficulté est de découper l’intégrale
On a
Par le théorème de convergence dominée (fonction de domination ),
et donc
Aussi,
Pour ,
avec pour tout .
De plus,
avec intégrable. Par convergence dominée,
Finalement,
Étudier la limite quand tend vers l’infini de
Solution
En découpant l’intégrale,
D’une part,
D’autre part,
On conclut
On peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée mais c’est un peu moins efficace.
Montrer
Calculer
Solution
On a
La fonction est intégrable sur .
Aussi,
car est terme général d’une série à termes positifs divergente.
Par suite,
Par convergence dominée,
Soit une fonction continue. Étudier la limite quand tend vers de
Soit continue et bornée. On pose, pour ,
Déterminer la limite de quand .
Solution
Par le changement de variable (avec ),
Par convergence dominée, sachant
avec intégrable, on obtient
Soit continue et bornée.
Déterminer la limite quand de
Solution
Par le changement de variable (pour ),
Posons alors définie sur .
La suite de fonctions converge simplement vers
Les fonctions et sont continues par morceaux sur .
Pour ,
avec intégrable.
Par convergence dominée,
Soit de classe intégrable ainsi que sa dérivée.
Déterminer pour
Préciser le mode de convergence.
Solution
Pour , posons
L’intégrabilité de assure que est bien définie.
Puisque est intégrable, la fonction admet une limite finie en et, puisque est aussi intégrable, tend vers en . Par intégration par parties, on obtient alors
Posons .
Chaque fonction est continue par morceaux.
La suite de fonctions converge simplement vers une fonction continue par morceaux, nulle en chaque .
La fonction limite simple est continue par morceaux.
Enfin, on a la domination
avec la fonction intégrable.
Par convergence dominée,
et, par comparaison,
On vient déjà d’obtenir une convergence simple de la suite de fonctions vers la fonction nulle. Montrons qu’il s’agit en fait d’une convergence uniforme.
Par changement de variable,
Soit . Puisque la fonction est intégrable, il existe tel que
et alors
Pour ,
et donc
Pour , on a par changement de variable
Pour entier tel que .
Or et donc
Finalement, pour tout ,
et donc pour assez grand, on a pour tout .
Il y a donc convergence uniforme vers la fonction nulle.
Soit une fonction continue et intégrable. On suppose qu’il existe un réel positif vérifiant
Montrer que la fonction est intégrable sur .
Calculer
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Édité le 08-12-2023
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