[<] Études théoriques [>] Calcul d'intégrales
Soit
Justifier que est définie et de classe sur .
Calculer .
En déduire une expression simplifiée de .
Solution
Posons
Pour tout , est intégrable sur car elle se prolonge par continuité en et est négligeable devant en . La fonction est bien définie sur .
Pour tout , la fonction est de classe sur avec
Pour tout et tout ,
avec intégrable sur .
Par domination est de classe sur avec
On remarque donc
Sachant , on obtient .
Pour un réel , on pose
Montrer que la fonction est bien définie sur l’intervalle .
Justifier que la fonction est de classe et calculer .
En déduire une expression de à l’aide des fonctions usuelles.
Pour un réel , on pose
Montrer que la fonction est bien définie sur l’intervalle .
Justifier que la fonction est de classe et calculer puis pour .
Pour réel convenable, on pose
Donner le domaine de définition de .
La fonction est-elle de classe sur ?
Exprimer
en fonction de
En déduire la valeur de en .
Exprimer pour .
Solution
Posons
Soit .
La fonction est définie, continue par morceaux et intégrable sur car négligeable devant en et devant en : l’intégrale définissant existe.
Pour , les arguments sont identiques et l’on remarque .
Pour , la fonction n’est pas intégrable en car
et, par constance de signe, on peut affirmer que l’intégrale introduisant n’existe pas.
Finalement, est définie sur et c’est une fonction paire.
La fonction admet une dérivée partielle
Celle-ci est continue en , continue par morceaux en et, pour tout ,
La fonction est intégrable et, par domination, on peut affirmer que est de classe sur (et sur par parité).
Par le changement de variable , on observe
On en déduit que car est la somme de deux intégrales opposées.
Pour ,
Au numérateur, on écrit
Par intégration par parties généralisée,
et l’on obtient
Après résolution de l’équation différentielle avec la condition initiale , on conclut
(et une relation semblable pour par parité).
Pour réel, on pose
Montrer que est définie et continue sur .
Montrer que est continûment dérivable.
En déduire une expression de à l’aide des fonctions usuelles.
Solution
Posons
est définie sur , continue par morceaux en et continue en . Soit . Sachant , on obtient pour tout et tout
La fonction est intégrable et, par domination, est définie et continue sur .
admet une dérivée partielle en qui est
Celle-ci est continue en , continue par morceaux en et, pour tout et tout ,
avec et intégrable sur . De plus, pour tout ,
Par décomposition en éléments simples, on écrit pour
On peut alors calculer l’intégrale définissant pour et
Par continuité, cette identité est aussi valable pour et . Par suite,
La valeur donne . Enfin, la fonction est impaire et l’on obtient
Ensemble de définition, dérivée et valeur de
Solution
Posons
est continue sur et est continue par morceaux sur .
Soit . Pour
avec intégrable.
Par domination sur tout segment, on peut donc affirmer que est définie et continue sur .
Il est évident que la fonction est paire. Nous poursuivons son étude sur .
La fonction admet une dérivée partielle en
est continue sur et est continue par morceaux sur .
Soit . Pour ,
avec intégrable.
Par domination sur tout segment de , on peut affirmer que est de classe sur et
En réalisant la décomposition en éléments simples (pour ),
et cette relation est aussi valable pour par continuité.
Sachant que et que est paire, on obtient
Existence et calcul de
Solution
est continue par morceaux sur ,
est continue sur et pour
avec intégrable. Par suite, est définie et continue sur .
Il est immédiat que est paire. Poursuivons, en étudiant sur
est continue par morceaux sur ,
est continue sur et pour ,
avec intégrable. Par suite, est de classe sur .
Pour ,
donc
et cette relation vaut aussi pour par continuité.
En procédant au changement de variable , on obtient et donc on peut conclure
pour en exploitant un argument de continuité.
Soit
Justifier que est bien définie et continue.
Étudier la dérivabilité sur .
Calculer pour .
On pourra employer le changement de variable .
Établir que
Solution
Pour , posons
La fonction est parfaitement définie car
Pour tout , la fonction est continue par morceaux sur le segment donc intégrable. La fonction est parfaitement définie sur .
Pour tout , est continue sur .
Soit .
Il existe donc une constante11 1 On peut aussi justifier l’existence de cette constante par continuité de sur le compact . telle que
La fonction est intégrable sur le segment .
Par domination sur tout segment, est continue sur .
Pour tout , est de classe sur avec
Soit .
donc
La fonction est intégrable sur et donc, par domination sur tout segment, est de classe sur avec
Par le changement de variable , où est de classe strictement croissant
Pour , une décomposition en éléments simples en la variable donne
On peut alors calculer l’intégrale
On remarque que
On en déduit qu’il existe deux constantes et réelles telles que
Par continuité en et sachant , on obtient et donc
on parvient à conclure.
Pour , on pose
Justifier que est définie et de classe sur .
Calculer et en déduire un expression de .
Application : Calculer
Solution
Posons définie sur .
Par intégration sur un segment d’une fonction continue, est correctement définie pour chaque .
Pour chaque , la fonction est de classe et
Soit .
avec la fonction continue par morceaux et intégrable.
Par domination sur tout segment, est de classe sur et
Par le changement de variable strictement croissant
Par décomposition en éléments simples (si )
et donc
et la relation vaut aussi pour par argument de continuité. On en déduit
Sachant , on conclut
Étudions la limite de en .
Pour tout ,
Aussi, pour tout ,
La fonction est intégrable sur car
et donc est intégrable en .
Par domination,
On en déduit
Montrer que, pour tout réel positif,
Solution
Étudions la fonction donnée par
Notons définie sur
est continue par morceaux sur pour chaque
est continue sur pour chaque et
avec fonction intégrable sur .
On en déduit que la fonction est définie et continue sur .
est dérivable sur pour chaque et
est continue sur pour chaque
est continue par morceaux sur pour chaque et
car .
Soit
avec fonction intégrable.
Par domination sur tout segment, on obtient de classe sur avec
Pour , on peut décomposer la fraction rationnelle définissant l’intégrande
et on obtient alors
Cette identité se prolonge en par un argument de continuité.
On a alors
Or et par continuité on parvient à
Existence et calcul de
Solution
Posons
Pour , l’intégrale ne peut pas être définie.
On suppose désormais .
En et , il est possible de prolonger par continuité la fonction intégrée par la valeur .
Pour , l’intégrale est généralisée en et . Cependant,
Pour , l’intégrale est généralisée en . Cependant,
Finalement, peut être définie sur .
Pour des raisons de symétrie,
Par domination sur avec , est de classe sur et
Par le changement de variable ,
Puisque , on en déduit
Pour et , on pose
Justifier l’existence de l’intégrale définissant .
Calculer .
Justifier que est de classe et exprimer en fonction de .
Calculer pour tout et tout .
Solution
Posons
La fonction est définie, continue par morceaux et intégrable sur car
L’intégrale définissant existe.
Directement ou après le changement de variable ,
Pour tout , la fonction est dérivable avec
Pour tout , la fonction est continue sur .
Pour tout , la fonction est continue par morceaux sur .
Soit .
La fonction est intégrable sur .
Par domination sur tout segment, est de classe sur et
Par intégrations successives, on obtient
avec et d’où
Pour , on pose
Vérifier que est bien définie sur puis qu’elle est de classe sur .
Calculer pour tout .
On donne .
Exprimer pour tout .
Solution
Posons
Pour , la fonction est continue par morceaux sur . Par développement limité,
L’intégrale définissant est donc faussement généralisée en .
De plus,
La fonction est donc intégrable en .
La fonction est donc correctement définie sur .
Pour tout , la fonction est de classe avec
Soit . Pour ,
La fonction est continue par morceaux et intégrable sur car prolongeable par continuité en et négligeable devant en .
Par domination sur tout segment, on peut affirmer que est de classe sur avec
Par le changement de variable ,
Par la relation qui précède,
Pour déterminer la valeur de la constante introduite, montrons la continuité de en .
Pour , est continue sur et, pour avec ;
La fonction est intégrable sur .
Par domination sur tout segment, est continue sur .
On en déduit puis
Pour , on pose
Soit . Montrer que est de classe sur et calculer
En déduire la valeur de .
Solution
et sont définies et continues sur .
est intégrable sur car prolongeable par continuité en et négligeable devant en .
Pour ,
avec intégrable sur .
Par domination, est de classe et
En intégrant par rapport à ,
et, puisque , on obtient
On pose
Montrer que est définie et continue sur .
Montrer que est de classe sur .
Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre vérifiée par sur l’intervalle .
En déduire une expression simple de sur sachant .
Pour , on pose
Justifier que est définie et de classe sur
Calculer sur
Donner la valeur de puis celle de sachant
Solution
Posons
Puisque ,
donc est définie et continue sur .
De plus,
on peut donc prolonger par continuité en . Par suite, est bien définie.
Pour tout , est de classe sur avec
Aussi,
avec est intégrable. Par domination est de classe sur .
Pour , .
Pour ,
Or
avec donc
et
Finalement,
or la série de fonctions converge uniformément sur puisque la série numérique satisfait au critère spécial ce qui permet d’écrire
d’où .
Par suite,
puis
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Édité le 08-12-2023
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