[<] Études concrètes [>] Expression de fonctions intégrales
Soit une application continue de dans .
Expliquer pourquoi est uniformément continue sur pour tout segment de .
En déduire que est continue sur .
Pour , on pose .
À l’aide de la question précédente, étudier la continuité de . Retrouver le résultat en calculant directement .
Solution
est une partie compacte et toute fonction continue sur un compact y est uniformément continue.
Étudions la continuité de en et considérons .
Donc, pour ,
Ainsi, est continue en .
est continue par opérations et l’est donc aussi par intégration sur un segment. Pour , et .
Sans difficultés, on vérifie que est continue sur .
Soient et continues.
Montrer la continuité de la fonction
Solution
Réalisons le changement de variable
Considérons la fonction
Pour , la fonction est continue sur le compact et donc bornée. Par conséquent, il existe vérifiant
La fonction est intégrable sur et donc, par domination sur tout segment, on peut affirmer la continuité de la fonction
On en déduit la continuité de la fonction étudiée par produit.
Soit une fonction de classe sur vérifiant .
Pour réel non nul, calculer
En déduire que la fonction donnée par
se prolonge en une fonction de classe sur .
Exprimer les dérivées successives en du prolongement de en fonction des dérivées successives en de .
Solution
Pour ,
Pour ,
Posons définie sur .
Pour tout , la fonction est de classe avec pour tout
Soit . Puisque la fonction est continue sur le segment , elle y est bornée et donc il existe vérifiant
Puisque la fonction est intégrable, on peut affirmer par domination sur tout segment, que la fonction
est de classe sur avec
On en déduit que la fonction se prolonge en une fonction sur .
Par ce qui précède, on a aussi
Soient une fonction de classe et tels que
Montrer que l’on a pour tout
En déduire que l’on peut écrire avec de classe sur .
Solution
On applique la formule de Taylor reste-intégrale à en .
On réalise le changement de variable et l’on obtient
Posons
La fonction admet des dérivées partielles
Celles-ci sont continues en et continues par morceaux en .
Soit . La fonction est continue sur ce segment et y est donc bornée par un certain .
Puisque
on a
avec fonction intégrable sur .
Par domination sur tout segment, on peut affirmer que la fonction
est de classe .
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Édité le 08-12-2023
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