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Exercice 1  540  Correction  

Soit f une application continue de ×[a;b] dans .

  • (a)

    Expliquer pourquoi f est uniformément continue sur S×[a;b] pour tout segment S de .

  • (b)

    En déduire que F:xabf(x,t)dt est continue sur .

Pour x, on pose g(x)=01extdt.

  • (c)

    À l’aide de la question précédente, étudier la continuité de g. Retrouver le résultat en calculant directement g(x).

Solution

  • S×[a;b] est une partie compacte et toute fonction continue sur un compact y est uniformément continue.

  • (a)

    Étudions la continuité de F en α et considérons S=[α-1;α+1].

    ε>0,η>0,(x,t),(x,t)S×[a;b],(x,t)-(x,t)η|f(x,t)-f(x,t)|ε.

    Donc, pour |x-α|η,

    |F(x)-F(α)|abεdt=ε(b-a).

    Ainsi, F est continue en α.

  • (b)

    (x,t)ext est continue par opérations et g l’est donc aussi par intégration sur un segment. Pour x0, g(x)=ex-1x et g(0)=1.

    Sans difficultés, on vérifie que g est continue sur .

 
Exercice 2  544   Correction  

Soient f:I× et u,v:I continues.
Montrer la continuité de la fonction

xu(x)v(x)f(x,t)dt.

Solution

Réalisons le changement de variable t=u(x)+θ(v(x)-u(x))

u(x)v(x)f(x,t)dt=(v(x)-u(x))01f(x,u(x)+θ(v(x)-u(x)))dθ.

Considérons la fonction

g:(x,θ)f(x,u(x)+θ(v(x)-u(x)).

Pour [a;b]I, la fonction g est continue sur le compact [a;b]×[0;1] et donc bornée. Par conséquent, il existe M+ vérifiant

(x,θ)[a;b]×[0;1],|g(x,θ)|M=φ(θ).

La fonction φ est intégrable sur [0;1] et donc, par domination sur tout segment, on peut affirmer la continuité de la fonction

x01g(x,θ)dθ.

On en déduit la continuité de la fonction étudiée par produit.

 
Exercice 3  3756   Correction  

Soit f: de classe 𝒞 vérifiant f(0)=0.
Montrer que la fonction

g:xf(x)x

se prolonge en une fonction de classe 𝒞 sur et exprimer ses dérivées successives en 0 en fonction de celles de f.

Solution

Pour tout x, on peut écrire

f(x)=0xf(t)dt=t=xux01f(xu)du.

On a donc

x*,g(x)=01f(xu)du.

Posons h(x,u)=f(xu) définie sur ×[0;1].
La fonction h admet des dérivées partielles nhxn à tout ordre n avec

nhxn(x,u)=unf(n+1)(xu).

Celles-ci sont continues en x et continues par morceaux en u.
Soit [-a;a]. Puisque la fonction f(n+1) est continue sur le segment [-a;a], elle y est bornée et donc il existe M+ vérifiant

(x,u)[-a;a]×[0;1],|nhxn(x,u)|M=φ(u).

Puisque la fonction φ est intégrable, on peut affirmer par domination sur tout segment, que la fonction

x01f(xu)du

est de classe 𝒞 sur avec

dndxn(01f(xu)du)=01unf(n+1)(xu)du.

On en déduit que la fonction g se prolonge en une fonction 𝒞 sur avec

g(n)(0)=01unf(n+1)(0)du=f(n+1)(0)n+1pour tout n.
 
Exercice 4  294   Correction  

Soient f:I une fonction de classe 𝒞 et a tels que

f(a)=f(a)==f(α-1)(a)=0.
  • (a)

    Montrer que l’on a pour tout xI

    f(x)=ax(x-t)α-1(α-1)!f(α)(t)dt.
  • (b)

    En déduire que l’on peut écrire f(x)=(x-a)αg(x) avec g de classe 𝒞 sur .

Solution

  • (a)

    On applique la formule de Taylor reste-intégrale à f en a.

  • (b)

    On réalise le changement de variable t=a+θ(x-a) et l’on obtient

    f(x)=(x-a)α01(1-θ)α-1(α-1)!f(α)(a+θ(x-a))dθ.

    Posons

    h(x,θ)=(1-θ)α-1(α-1)!f(α)(a+θ(x-a)).

    La fonction h admet des dérivées partielles

    khxk(x,θ)=(1-θ)α-1(α-1)!(x-a)kf(α+k)(a+θ(x-a)).

    Celles-ci sont continues en x et continues par morceaux en θ.
    Soit [a-b;a+b]. La fonction f(α+k) est continue sur ce segment et y est donc bornée par un certain M.
    Puisque

    x[a-b;a+b],θ[0;1],a+θ(x-a)[a-b;a+b]

    on a

    (x,θ)[a-b;a+b]×[0;1],|khxk(x,θ)|M=φ(θ)

    avec φ fonction intégrable sur [0;1].
    Par domination sur tout segment, on peut affirmer que la fonction

    g:x01(1-θ)α-1(α-1)!f(α)(a+θ(x-a))dθ

    est de classe 𝒞.

 
Exercice 5  4195   Correction  

Soit f: définie par

f(x)={sin(x)x si x01 si x=0.

Montrer que f est de classe 𝒞 sur et vérifier

supt|f(n)(t)|1n+1.

Solution

Pour x0, on écrit

f(x)=1x0xcos(t)dt=t=xs01cos(xs)ds.

La relation obtenue vaut aussi pour x=0.

Introduisons la fonction u:×[0;1] définie par

u(x,s)=cos(xs).

Cette fonction est indéfiniment dérivable en x avec

nuxn(x,s)=sncos(xs+nπ2).

Cette dérivée partielle est dominée par s1 qui est intégrable sur [0;1].

Par théorème de domination, la fonction f est de classe 𝒞 sur avec

f(n)(x)=01sncos(xs+nπ2)ds

et donc

|f(n)(x)|01snds=1n+1.

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Édité le 08-11-2019

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