Exercice 1 2567 ENSTIM (MP)Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℂ$ continue.

On suppose que la fonction $f$ admet une limite finie en $+ \infty$ vers une limite finie $ℓ$ .

Déterminer la limite quand $n \to + \infty$ de

μ_{n} = \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f (t) d t .

Solution

Par changement de variable,

μ_{n} = \int_{0}^{1} f (n s) d s .

La fonction $f$ est continue sur $[0; + \infty [$ et admet une limite finie en $+ \infty$ , c’est donc une fonction bornée par un certain $M \in ℝ_{+}$ .

Par convergence dominée (domination par la fonction consante $t \mapsto M$ intégrable sur $[0; 1]$ ),

μ_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{1} ℓ d t = ℓ .

Exercice 2 922 Correction

Étudier

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} e^{- 2 x} d x .

Solution

Posons

f_{n} (x) = {\begin{matrix} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} & si x \in [0; n] \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Pour $x \in [0; + \infty [$ , à partir d’un certain rang $x \geq n$ et

f_{n} (x) = {(1 + \frac{x}{n})}^{n} e^{- 2 x} = \exp (n \ln (1 + \frac{x}{n}) - 2 x) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x} .

Ainsi, la suite $(f_{n})$ converge simplement vers $f : x \mapsto e^{- x}$ .

En vertu de l’inégalité $\ln (1 + u) \leq u$ , on obtient

| f_{n} (x) | \leq e^{- x} = φ (x)

et ce que $x \in [0; n]$ ou non.

La fonction $φ$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ .

Par application du théorème de convergence dominée,

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} e^{- 2 x} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x = 1 .

Exercice 3 4079 Correction

Étudier

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} d t .

Solution

Posons

f_{n} (t) = {\begin{matrix} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} & si t \in [0; \sqrt{n} [ \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Pour $t \in [0; + \infty [$ , à partir d’un certain rang $t < \sqrt{n}$ et

f_{n} (t) = {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} = \exp [n \ln (1 - \frac{t^{2}}{n}]) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- t^{2}} .

Ainsi, la suite $(f_{n})$ converge simplement vers $f : t \mapsto e^{- t^{2}}$ .

En vertu de l’inégalité $\ln (1 + u) \leq u$ , on obtient

| f_{n} (t) | \leq e^{- t^{2}} = φ (t)

et ce que $t \in [0; \sqrt{n}]$ ou non.

La fonction $φ$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ .

Par application du théorème de convergence dominée,

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} d t = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t .

Exercice 4 2982 X (MP)Correction

Déterminer

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} d x .

Solution

Posons

f_{n} (x) = {\begin{matrix} {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} & si x \in [0; n [ \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Soit $x \in ℝ_{+}$ . Pour $n$ assez grand,

f_{n} (x) = {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} \underset{n \to + \infty}{=} \exp (n^{2} \ln (1 - \frac{x^{2}}{2 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}))) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x^{2} / 2} .

Ainsi, la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers $f : x \mapsto e^{- x^{2} / 2}$ sur $[0; + \infty [$ .

Soit $ψ : [0; 1] \to ℝ$ définie par $ψ (t) = 1 - t^{2} / 4 - \cos (t)$ . La fonction $ψ$ est de classe $𝒞^{\infty}$ avec

ψ^{'} (t) = \sin (t) - t / 2 et ψ^{''} (t) = \cos (t) - 1 / 2

Pour $t \in [0; 1] \subset [0; π / 3]$ , $ψ^{''} (t) \geq 0$ .

Par ce tableau de variation,

\forall x \in [0; 1], ψ (x) \geq 0 .

On en déduit que, pour $x \in [0; n]$ ,

\ln (\cos (\frac{x}{n})) \leq \ln (1 - \frac{x^{2}}{4 n^{2}}) \leq - \frac{x^{2}}{4 n^{2}}

puis

f_{n} (x) \leq e^{- x^{2} / 4} .

Cette inégalité vaut aussi pour $x \in] n; + \infty [$ et puisque la fonction $x \mapsto e^{- x^{2} / 4}$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ , on peut appliquer le théorème de convergence dominée et affirmer

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \sqrt{\frac{π}{2}}

(la dernière intégrale est une valeur « connue »).

Exercice 5 5796 Correction

(a)

Justifier

$\forall t \in [0; π / 2], \cos (t) \leq 1 - \frac{t^{2}}{π} .$
(b)

En exprimant un développement de la fonction $\cos$ en $0$ , déterminer un changement de variable judicieux pour établir

$\int_{0}^{π / 2} \cos^{n} (t) \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}} .$

On donne

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \sqrt{\frac{π}{2}} .$

Solution

(a)

Considérons la fonction $f : [0; π / 2] \to ℝ$ définie par

$f (t) = 1 - \frac{t^{2}}{π} - \cos (t) .$

La fonction $f$ est dérivable (et même de classe $𝒞^{\infty}$ ) sur $[0; π / 2]$ avec

$f^{'} (t) = \sin (t) - \frac{2}{π} t .$

Or la fonction $\sin$ est concave sur $[0; π / 2]$ et son graphe est donc au-dessus de la corde joignant les points d’abscisses $0$ et $π / 2$ . On a donc

$\forall t \in [0; π / 2], \sin (t) \geq \frac{2}{π} t .$

La fonction $f$ est croissante sur $[0; π / 2]$ . Or $f (0) = 0$ et donc $f$ est positive sur $[0; π / 2]$ . On en déduit l’inégalité demandée.
(b)

On peut écrire

$\cos {(t)}^{n} = {(1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2}))}^{n} = \exp [n \ln (1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2}))] .$

Pour parvenir à une limite finie non nulle quand $n \to + \infty$ , il serait pertinent que la variable $t$ s’exprime $x / \sqrt{n}$ . On réalise donc le changement de variable $t = x / \sqrt{n}$ . Pour celui-ci,

$\int_{0}^{π / 2} {(\cos (t))}^{n} d t = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n} π / 2} {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} d x .$

Introduisons $f_{n} : [0; + \infty [\to ℝ$ donnée par

$f_{n} (x) = {\begin{matrix} {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} & si x \in [0; \sqrt{n} π / 2 [ \\ 0 & si x \in [\sqrt{n} π / 2; + \infty [. \end{matrix}$

Soit $x \in [0; + \infty [$ . Lorsque $n$ tend vers l’infini, pour $n$ assez grand, $\sqrt{n} π / 2 \geq x$ et alors

$f_{n} (x) = {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x^{2} / 2} .$

La suite de fonctions $(f_{n})$ converge donc simplement vers $f : x \mapsto e^{- x^{2} / 2}$ sur $[0; + \infty [$ .

Aussi, par l’inégalité établie en première question, on a pour tout $x \in [0; \sqrt{n} π / 2 [$

$| f_{n} (x) | \leq {(1 - \frac{x^{2}}{n π})}^{n} = e^{n \ln (1 - \frac{x^{2}}{n π})} .$

Par l’inégalité classique $\ln (1 + u) \leq u$ , on poursuit

$| f_{n} (x) | \leq e^{- x^{2} / π} = φ (x) .$

Cette inégalité est aussi vraie pour $x \in [\sqrt{n} π / 2; + \infty [$ et la fonction $φ$ est assurément intégrable sur $[0; + \infty [$ . Par convergence dominée,

$\int_{0}^{\sqrt{n} π / 2} {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} d x \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \sqrt{\frac{π}{2}} .$

On en déduit

$\int_{0}^{π / 2} {(\cos (t))}^{n} d t \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}} .$

Exercice 6 925

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ continue et intégrable.

Déterminer la limite quand $n$ tend vers $+ \infty$ de

n \int_{0}^{1} \frac{f (n t)}{1 + t} d t .

Exercice 7 3013 KER LANN (MP)

On introduit la constante d’Euler

γ = lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln (n) .

En utilisant une suite de fonctions judicieuse, exprimer à l’aide du réel $γ$ l’intégrale suivante

I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} \ln (t) d t .

Exercice 8 4726

(Formule de Stirling)

On donne¹¹ 1 La première intégrale se déduit de l’intégrale de Gauss calculée dans le sujet 545 par parité et le changement de variable $u = t / \sqrt{2}$ . La seconde intégrale s’obtient par intégrations par parties successives comme détaillé dans le sujet 678.

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2} / 2} d t = \sqrt{2 π} et \forall n \in ℕ, \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t = n! .

(a)

Calculer

$\int_{- n}^{+ \infty} {(1 + \frac{t}{n})}^{n} e^{- t} d t .$
(b)

Déterminer

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{n}^{+ \infty} {(1 + \frac{t}{n})}^{n} e^{- t} d t .$
(c)

Calculer

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{- n}^{n} {(1 + \frac{t}{n})}^{n} e^{- t} d t .$
(d)

Retrouver ainsi la formule de Stirling.

Exercice 9 6089 Correction

(Méthode de Laplace)

On admet l’identité

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π} .

Soient $a < b$ deux réels et $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction indéfiniment dérivable vérifiant

•

il existe un unique point $x_{0} \in [a; b]$ où $f$ atteint son maximum;
•

on a $a < x_{0} < b$ et $f^{''} (x_{0}) \neq 0$ .

(a)

Montrer que $f^{''} (x_{0}) < 0$ .
(b)

Montrer que pour tout $η > 0$ tel que $η < \min (x_{0} - a, b - x_{0})$ , on a

$\int_{a}^{b} e^{t f (x)} d x \underset{t \to + \infty}{\sim} \int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x .$
(c)

Conclure

$\int_{a}^{b} e^{t f (x)} d x \underset{t \to + \infty}{\sim} e^{t f (x_{0})} \sqrt{\frac{2 π}{t | f^{''} (x_{0}) |}} .$
(d)

Application: Retrouver la formule de Stirling en commençant par observer que, pour tout entier $n \in ℕ$

$n! = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{n} d t .$

Solution

(a)

Par la formule de Taylor-Young,

$f (x) \underset{x \to x_{0}}{=} f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) {(x - x_{0})}^{2} + o ({(x - x_{0})}^{2}) .$

Puisque $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ et est définie de part et d’autre de $x_{0}$ , on a $f^{'} (x_{0}) = 0$ . L’égalité asymptotique qui précède donne alors

$f (x) - f (x_{0}) \underset{x \to x_{0}}{\sim} \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) {(x - x_{0})}^{2} car f^{''} (x_{0}) \neq 0 .$

Sachant $f (x) - f (x_{0}) ⩽ 0$ au voisinage de $x_{0}$ , on obtient $f^{''} (x_{0}) < 0$ .
(b)

Soit $η > 0$ tel que proposé. Par la relation de Chasles,

$\int_{a}^{b} e^{t f (x)} d x = \int_{a}^{x_{0} - η} e^{t f (x)} d x + \int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x + \int_{x_{0} + η}^{b} e^{t f (x)} d x .$

La fonction $f$ est continue sur le segment $[a; x_{0} - η]$ dont admet un maximum en un certain $x_{1} \in [a; x_{0} - η]$ . On a alors

$0 ⩽ \int_{a}^{x_{0} - η} e^{t f (x)} d x ⩽ (x_{0} - η - a) e^{t f (x_{1})} .$

De même, il existe $x_{2} \in [x_{0} + η; b]$ tel que

$0 ⩽ \int_{x_{0} + η}^{b} e^{t f (x)} d x ⩽ (b - x_{0} - η) e^{t f (x_{2})} .$

Puisque $f$ présente un maximum strict en $x_{0}$ , il existe $δ > 0$ tel que

$\forall x \in [x_{0} - δ; x_{0} + δ], f (x) > \max {f (x_{1}), f (x_{2})} .$

Nécessairement $δ < η$ et, en considérant $x_{3} \in [x_{0} - δ; x_{0} + δ]$ , où $f$ admet un minimum, on obtient

$\int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x ⩾ \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} e^{t f (x)} d x ⩾ 2 δ e^{t f (x_{3})} .$

Puisque $f (x_{3}) > \max {f (x_{1}), f (x_{2})}$ , il vient

$(x_{0} - η - a) e^{t f (x_{1})} \underset{t \to + \infty}{=} o (e^{t f (x_{3})}) et (b - x_{0} - η) e^{t f (x_{2})} \underset{t \to + \infty}{=} o (e^{t f (x_{3})}) .$

On en déduit

$\int_{a}^{b} e^{t f (x)} d x \underset{t \to + \infty}{=} \int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x + o (\int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x) \underset{t \to + \infty}{\sim} \int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x .$
(c)

On choisit $η > 0$ assez petit pour que $f (x) ⩽ f (x_{0})$ sur $[x_{0} - η; x_{0} + η]$ .

On écrit par la formule de Taylor-Young

$f (x) = f (x_{0}) + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) {(x - x_{0})}^{2} + {(x - x_{0})}^{2} ε (x - x_{0}) avec ε (h) \to_{h}^{} 0 .$

Au surplus, le choix de $η$ oblige que $ε$ est à valeurs négatives sur $[- η; η]$ .

On a

$\int_{x_{0} - η}^{x_{0} + η} e^{t f (x)} d x = e^{t f (x_{0})} \int_{- η}^{η} e^{\frac{1}{2} t f^{''} (x_{0}) h^{2} + t h^{2} ε (h)} d h .$

Par le changement de variable $s = \sqrt{t} h$ ,

$\int_{- η}^{η} e^{\frac{1}{2} t f^{''} (x_{0}) h^{2} + t h^{2} ε (h)} d h = \frac{1}{\sqrt{t}} \int_{- η \sqrt{t}}^{η \sqrt{t}} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} e^{- s^{2} ε (- s^{2} / t)} d s .$

Appliquons le théorème de convergence dominée à paramètre continu à l’étude de

$lim_{t \to + \infty} \int_{- η \sqrt{t}}^{η \sqrt{t}} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} e^{- s^{2} ε (- s^{2} / t)} d s .$

On introduit $f_{t} : ℝ \to ℝ$ donnée par

$f_{t} (s) = {\begin{matrix} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} e^{- s^{2} ε (- s^{2} / t)} & si s \in [- η \sqrt{t}; η \sqrt{t}] \\ 0 & sinon. \end{matrix}$

On observe

$\forall s \in ℝ, f_{t} (s) \to_{t \to + \infty}^{} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}}$

et

$\forall s \in ℝ, | f_{t} (s) | ⩽ e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} = φ (s)$

car $ε$ est une fonction à valeurs négatives sur $[- η; η]$ .

La fonction $φ : ℝ \to ℝ_{+}$ introduite est intégrable sur $ℝ$ car $f^{''} (x_{0}) < 0$ .

Le théorème de convergence dominée à paramètre continu s’applique et donne

$lim_{t \to + \infty} \int_{- η \sqrt{t}}^{η \sqrt{t}} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} e^{- s^{2} / t} ε (- s^{2} / t) d s = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} d s .$

Un ultime changement de variable donne

$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{\frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) s^{2}} d s = \sqrt{\frac{2}{| f^{''} (x_{0}) |}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{\frac{2 π}{| f^{''} (x_{0}) |}} .$

En regroupant l’ensemble de ces résultats, on obtient

$\int_{a}^{b} e^{t f (x)} d x \underset{t \to + \infty}{\sim} e^{t f (x_{0})} \sqrt{\frac{2 π}{t | f^{''} (x_{0}) |}} .$
(d)

On établit $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{n} d t = n!$ par intégrations par parties successives.

Par le changement de variable $t = n u$ ,

$n! = \int_{0}^{+ \infty} e^{- n u} {(n u)}^{n} n d u = n^{n + 1} \int_{0}^{+ \infty} e^{n (\ln (u) - u)} d u .$

On considère $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ donnée par $f (u) = \ln (u) - u$ . La fonction $f$ est de classe $𝒞^{2}$ sur $] 0; + \infty [$ , strictement croissante sur $] 0; 1]$ et strictement décroissante sur $[1; + \infty [$ . La fonction $f$ atteint un maximum unique en $u_{0} = 1$ avec $f (1) = - 1$ et $f^{''} (1) = - 1$ .

À l’aide de ce qui précède, on peut affirmer

$\forall [a; b] \subset] 0; + \infty [, \int_{a}^{b} e^{n (\ln (u) - u)} d u \underset{n \to + \infty}{\sim} e^{- n} \sqrt{\frac{2 π}{n}} .$

On choisit $[a; b]$ tel que $a < 1$ et tel que $f (u) ⩽ - u / 2$ pour tout $u ⩾ b$ . Cela est possible car $f (u)$ équivaut à $- u$ lorsque $u$ tend vers $+ \infty$ .

On remarque

$\int_{0}^{a} e^{n (\ln (u) - u)} d u ⩽ a e^{n f (a)} avec f (a) < 1$

et

$\int_{b}^{+ \infty} e^{n (\ln (u) - u)} d u ⩽ \int_{b}^{+ \infty} e^{- \frac{1}{2} n u} d u ⩽ \int_{0}^{+ \infty} e^{- \frac{1}{2} n u} d u = \frac{2}{n} .$

On peut alors conclure à la formule de Stirling

$n! \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} .$

[<] Convergence dominée [>] Applications de la convergence dominée

Édité le 30-10-2025

Convergence dominée sur intervalle variable