Exercice 1 2567 ENSTIM (MP)Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℂ$ continue.

On suppose que la fonction $f$ admet une limite finie en $+ \infty$ vers une limite finie $ℓ$ .

Déterminer la limite quand $n \to + \infty$ de

μ_{n} = \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f (t) d t .

Solution

Par changement de variable,

μ_{n} = \int_{0}^{1} f (n s) d s .

La fonction $f$ est continue sur $[0; + \infty [$ et admet une limite finie en $+ \infty$ , c’est donc une fonction bornée par un certain $M \in ℝ_{+}$ .

Par convergence dominée (domination par la fonction consante $t \mapsto M$ intégrable sur $[0; 1]$ ),

μ_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{1} ℓ d t = ℓ .

Exercice 2 922 Correction

Étudier

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} e^{- 2 x} d x .

Solution

Posons

f_{n} (x) = {\begin{matrix} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} & si x \in [0; n] \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Pour $x \in [0; + \infty [$ , à partir d’un certain rang $x \geq n$ et

f_{n} (x) = {(1 + \frac{x}{n})}^{n} e^{- 2 x} = \exp (n \ln (1 + \frac{x}{n}) - 2 x) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x} .

Ainsi, la suite $(f_{n})$ converge simplement vers $f : x \mapsto e^{- x}$ .

En vertu de l’inégalité $\ln (1 + u) \leq u$ , on obtient

| f_{n} (x) | \leq e^{- x} = φ (x)

et ce que $x \in [0; n]$ ou non.

La fonction $φ$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ .

Par application du théorème de convergence dominée,

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} e^{- 2 x} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x = 1 .

Exercice 3 4079 Correction

Étudier

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} d t .

Solution

Posons

f_{n} (t) = {\begin{matrix} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} & si t \in [0; \sqrt{n} [ \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Pour $t \in [0; + \infty [$ , à partir d’un certain rang $t < \sqrt{n}$ et

f_{n} (t) = {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} = \exp [n \ln (1 - \frac{t^{2}}{n}]) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- t^{2}} .

Ainsi, la suite $(f_{n})$ converge simplement vers $f : t \mapsto e^{- t^{2}}$ .

En vertu de l’inégalité $\ln (1 + u) \leq u$ , on obtient

| f_{n} (t) | \leq e^{- t^{2}} = φ (t)

et ce que $t \in [0; \sqrt{n}]$ ou non.

La fonction $φ$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ .

Par application du théorème de convergence dominée,

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} {(1 - \frac{t^{2}}{n})}^{n} d t = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t .

Exercice 4 2982 X (MP)Correction

Déterminer

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} d x .

Solution

Posons

f_{n} (x) = {\begin{matrix} {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} & si x \in [0; n [ \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Soit $x \in ℝ_{+}$ . Pour $n$ assez grand,

f_{n} (x) = {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} \underset{n \to + \infty}{=} \exp (n^{2} \ln (1 - \frac{x^{2}}{2 n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}))) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x^{2} / 2} .

Ainsi, la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers $f : x \mapsto e^{- x^{2} / 2}$ sur $[0; + \infty [$ .

Soit $ψ : [0; 1] \to ℝ$ définie par $ψ (t) = 1 - t^{2} / 4 - \cos (t)$ . La fonction $ψ$ est de classe $𝒞^{\infty}$ avec

ψ^{'} (t) = \sin (t) - t / 2 et ψ^{''} (t) = \cos (t) - 1 / 2

Pour $t \in [0; 1] \subset [0; π / 3]$ , $ψ^{''} (t) \geq 0$ .

Par ce tableau de variation,

\forall x \in [0; 1], ψ (x) \geq 0 .

On en déduit que, pour $x \in [0; n]$ ,

\ln (\cos (\frac{x}{n})) \leq \ln (1 - \frac{x^{2}}{4 n^{2}}) \leq - \frac{x^{2}}{4 n^{2}}

puis

f_{n} (x) \leq e^{- x^{2} / 4} .

Cette inégalité vaut aussi pour $x \in] n; + \infty [$ et puisque la fonction $x \mapsto e^{- x^{2} / 4}$ est intégrable sur $[0; + \infty [$ , on peut appliquer le théorème de convergence dominée et affirmer

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{n} {(\cos (\frac{x}{n}))}^{n^{2}} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \sqrt{\frac{π}{2}}

(la dernière intégrale est une valeur « connue »).

Exercice 5 5796 Correction

(a)

Justifier

$\forall t \in [0; π / 2], \cos (t) \leq 1 - \frac{t^{2}}{π} .$
(b)

En exprimant un développement de la fonction $\cos$ en $0$ , déterminer un changement de variable judicieux pour établir

$\int_{0}^{π / 2} \cos^{n} (t) \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}} .$

On donne

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \sqrt{\frac{π}{2}} .$

Solution

(a)

Considérons la fonction $f : [0; π / 2] \to ℝ$ définie par

$f (t) = 1 - \frac{t^{2}}{π} - \cos (t) .$

La fonction $f$ est dérivable (et même de classe $𝒞^{\infty}$ ) sur $[0; π / 2]$ avec

$f^{'} (t) = \sin (t) - \frac{2}{π} t .$

Or la fonction $\sin$ est concave sur $[0; π / 2]$ et son graphe est donc au-dessus de la corde joignant les points d’abscisses $0$ et $π / 2$ . On a donc

$\forall t \in [0; π / 2], \sin (t) \geq \frac{2}{π} t .$

La fonction $f$ est croissante sur $[0; π / 2]$ . Or $f (0) = 0$ et donc $f$ est positive sur $[0; π / 2]$ . On en déduit l’inégalité demandée.
(b)

On peut écrire

$\cos {(t)}^{n} = {(1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2}))}^{n} = \exp [n \ln (1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2}))] .$

Pour parvenir à une limite finie non nulle quand $n \to + \infty$ , il serait pertinent que la variable $t$ s’exprime $x / \sqrt{n}$ . On réalise donc le changement de variable $t = x / \sqrt{n}$ . Pour celui-ci,

$\int_{0}^{π / 2} {(\cos (t))}^{n} d t = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n} π / 2} {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} d x .$

Introduisons $f_{n} : [0; + \infty [\to ℝ$ donnée par

$f_{n} (x) = {\begin{matrix} {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} & si x \in [0; \sqrt{n} π / 2 [ \\ 0 & si x \in [\sqrt{n} π / 2; + \infty [. \end{matrix}$

Soit $x \in [0; + \infty [$ . Lorsque $n$ tend vers l’infini, pour $n$ assez grand, $\sqrt{n} π / 2 \geq x$ et alors

$f_{n} (x) = {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} \to_{n \to + \infty}^{} e^{- x^{2} / 2} .$

La suite de fonctions $(f_{n})$ converge donc simplement vers $f : x \mapsto e^{- x^{2} / 2}$ sur $[0; + \infty [$ .

Aussi, par l’inégalité établie en première question, on a pour tout $x \in [0; \sqrt{n} π / 2 [$

$| f_{n} (x) | \leq {(1 - \frac{x^{2}}{n π})}^{n} = e^{n \ln (1 - \frac{x^{2}}{n π})} .$

Par l’inégalité classique $\ln (1 + u) \leq u$ , on poursuit

$| f_{n} (x) | \leq e^{- x^{2} / π} = φ (x) .$

Cette inégalité est aussi vraie pour $x \in [\sqrt{n} π / 2; + \infty [$ et la fonction $φ$ est assurément intégrable sur $[0; + \infty [$ . Par convergence dominée,

$\int_{0}^{\sqrt{n} π / 2} {[\cos (\frac{x}{\sqrt{n}})]}^{n} d x \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \sqrt{\frac{π}{2}} .$

On en déduit

$\int_{0}^{π / 2} {(\cos (t))}^{n} d t \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}} .$

Exercice 6 925

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ continue et intégrable.

Déterminer la limite quand $n$ tend vers $+ \infty$ de

n \int_{0}^{1} \frac{f (n t)}{1 + t} d t .

Exercice 7 3013 KER LANN (MP)

On introduit la constante d’Euler

γ = lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln (n) .

En utilisant une suite de fonctions judicieuse, exprimer à l’aide du réel $γ$ l’intégrale suivante

I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} \ln (t) d t .

Exercice 8 4726

(Formule de Stirling)

On donne¹¹ 1 La première intégrale se déduit de l’intégrale de Gauss calculée dans le sujet 545 par parité et le changement de variable $u = t / \sqrt{2}$ . La seconde intégrale s’obtient par intégrations par parties successives comme détaillé dans le sujet 678.

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2} / 2} d t = \sqrt{2 π} et \forall n \in ℕ, \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t = n! .

(a)

Calculer

$\int_{- n}^{+ \infty} {(1 + \frac{t}{n})}^{n} e^{- t} d t .$
(b)

Déterminer

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{n}^{+ \infty} {(1 + \frac{t}{n})}^{n} e^{- t} d t .$
(c)

Calculer

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{- n}^{n} {(1 + \frac{t}{n})}^{n} e^{- t} d t .$
(d)

Retrouver ainsi la formule de Stirling.

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Édité le 12-05-2025

Convergence dominée sur intervalle variable