[<] Convergence dominée [>] Applications de la convergence dominée

 
Exercice 1  2567    ENSTIM (MP)Correction  

Soit f:[0;+[ continue.

On suppose que la fonction f admet une limite finie en + vers une limite finie .

Déterminer la limite quand n+ de

μn=1n0nf(t)dt.

Solution

Par changement de variable,

μn=01f(ns)ds.

La fonction f est continue sur [0;+[ et admet une limite finie en +, c’est donc une fonction bornée par un certain M+.

Par convergence dominée (domination par la fonction consante tM intégrable sur [0;1]),

μnn+01dt=.
 
Exercice 2  922   Correction  

Étudier

limn+0n(1+xn)ne-2xdx.

Solution

Posons

fn(x)={(1+xn)n si x[0;n]0 sinon.

Pour x[0;+[, à partir d’un certain rang xn et

fn(x)=(1+xn)ne-2x=exp(nln(1+xn)-2x)n+e-x.

Ainsi, la suite (fn) converge simplement vers f:xe-x.

En vertu de l’inégalité ln(1+u)u, on obtient

|fn(x)|e-x=φ(x)

et ce que x[0;n] ou non.

La fonction φ est intégrable sur [0;+[.

Par application du théorème de convergence dominée,

limn+0n(1+xn)ne-2xdx=0+e-xdx=1.
 
Exercice 3  4079   Correction  

Étudier

limn+0n(1-t2n)ndt.

Solution

Posons

fn(t)={(1-t2n)n si t[0;n[0 sinon.

Pour t[0;+[, à partir d’un certain rang t>n et

fn(t)=(1-t2n)n=exp(nln(1-t2n))n+e-t2.

Ainsi, la suite (fn) converge simplement vers f:te-t2.

En vertu de l’inégalité ln(1+u)u, on obtient

|fn(t)|e-t2=φ(t)

et ce que t[0;n] ou non.

La fonction φ est intégrable sur [0;+[.

Par application du théorème de convergence dominée,

limn+0n(1-t2n)ndt=0+e-t2dt.
 
Exercice 4  2982      X (MP)Correction  

Déterminer

limn+0n(cos(xn))n2dx.

Solution

Posons

fn(x)={(cos(xn))n2 si x[0;n[0 sinon.

Soit x+. Pour n assez grand,

fn(x)=(cos(xn))n2=n+exp(n2ln(1-x2/2n2+o(1/n2)))n+e-x2/2.

Ainsi, la suite de fonctions (fn) converge simplement vers f:xe-x2/2 sur [0;+[.

Les fonctions fn et f sont continues par morceaux.

Soit ψ:[0;1] définie par ψ(t)=1-t2/4-cos(t). Par étude des variations,

x[0;1],ψ(x)0.

On en déduit que, pour x[0;n],

ln(cos(xn))ln(1-x24n2)-x24n2

puis

fn(x)e-x2/4.

Cette inégalité vaut aussi pour x]n;+[ et puisque la fonction xe-x2/4 est intégrable sur [0;+[, on peut appliquer le théorème de convergence dominée et affirmer

limn+0n(cos(xn))n2dx=0+e-x2/2dx=π2

(la dernière intégrale est une valeur «  connue  »).

 
Exercice 5  925   

Soit f:[0;+[ continue et intégrable. Déterminer la limite quand n tend vers + de

n01f(nt)1+tdt.
 
Exercice 6  3013      Ker Lann

Pour n*, on pose

Hn=k=1n1ketIn=0n(1-tn)nln(t)dt.
  • (a)

    Montrer l’existence d’un réel γ tel que

    Hn=n+ln(n)+γ+o(1).
  • (b)

    Justifier l’existence de In et établir que la suite (In) converge vers I avec

    I=0+e-tln(t)dt.
  • (c)

    Exprimer I en fonction de γ.

 
Exercice 7  4726    

(Formule de Stirling)

On donne11 1 La première intégrale se déduit de l’intégrale de Gauss calculée dans le sujet 545 par parité et le changement de variable u=t/2. La seconde intégrale s’obtient par intégrations par parties successives comme détaillé dans le sujet 678.

-+e-t2/2dt=2πetn,0+tne-tdt=n!.
  • (a)

    Calculer

    -n+(1+tn)ne-tdt.
  • (b)

    Déterminer

    limn+1nn+(1+tn)ne-tdt.
  • (c)

    Calculer

    limn+1n-nn(1+tn)ne-tdt.
  • (d)

    Retrouver ainsi la formule de Stirling.

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Édité le 08-11-2019

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