[<] Nombres complexes et trigonométrie

 
Exercice 1  2356    CENTRALE (MP)

Soient a et b deux nombres complexes. Montrer

|a|+|b||a+b|+|a-b|

et préciser les cas d’égalité.

 
Exercice 2  4884  

Vérifier que pour tout réel t,

|eit-1||t|

et donner une interprétation géométrique de cette inégalité.

 
Exercice 3  4885   

Soient a et b deux nombres complexes. Établir

|a+b|2(1+|a|2)(1+|b|2).

Préciser les cas d’égalité.

 
Exercice 4  4886    

Soient n un entier naturel et z un nombre complexe de module différent de 1. Montrer

  • (a)

    |1-zn+11-z|1-|z|n+11-|z|.

  • (b)

    |1-(n+1)zn+nzn+1(1-z)2|1-(n+1)|z|n+n|z|n+1(1-|z|)2.

 
Exercice 5  4895    

Soient z1,,zn des nombres complexes. Établir

|k=1nzk|1+|k=1nzk|k=1n|zk|1+|zk|.
 
Exercice 6  4896    

Soient z1,,zn des nombres complexes et z tels que z2=z12++zn2. Montrer

|Re(z)|k=1n|Re(zk)|et|Im(z)|k=1n|Im(zk)|.

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Édité le 08-11-2019

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