Exercice 1 2356 CENTRALE (MP)

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Montrer

| a | + | b | \leq | a + b | + | a - b |

et préciser les cas d’égalité.

Exercice 2 4884

Vérifier que pour tout réel $t$ ,

| e^{i t} - 1 | \leq | t |

et donner une interprétation géométrique de cette inégalité.

Exercice 3 4885

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Établir

{| a + b |}^{2} \leq (1 + {| a |}^{2}) (1 + {| b |}^{2}) .

Préciser les cas d’égalité.

Exercice 4 4886

Soient $n$ un entier naturel et $z$ un nombre complexe de module différent de $1$ . Montrer

(a)

$| \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} | \leq \frac{1 - {| z |}^{n + 1}}{1 - | z |}$ .
(b)

$| \frac{1 - (n + 1) z^{n} + n z^{n + 1}}{{(1 - z)}^{2}} | \leq \frac{1 - (n + 1) {| z |}^{n} + n {| z |}^{n + 1}}{{(1 - | z |)}^{2}}$ .

Exercice 5 4895

Soient $z_{1}, \dots, z_{n}$ des nombres complexes. Établir

\frac{| \sum_{k = 1}^{n} z_{k} |}{1 + | \sum_{k = 1}^{n} z_{k} |} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{| z_{k} |}{1 + | z_{k} |} .

Exercice 6 4896

Soient $z_{1}, \dots, z_{n}$ des nombres complexes et $z$ tels que $z^{2} = z_{1}^{2} + \dots + z_{n}^{2}$ . Montrer

| Re (z) | \leq \sum_{k = 1}^{n} | Re (z_{k}) | et | Im (z) | \leq \sum_{k = 1}^{n} | Im (z_{k}) | .

Édité le 29-08-2023

Inégalité dans le cadre des nombres complexes