[<] Équations algébriques [>] Nombres complexes et trigonométrie

 
Exercice 1  2051  Correction  

Soit Z*. Résoudre l’équation ez=Z d’inconnue z.

Solution

Posons ρ=|Z| et θ=arg(Z)[2π].

ez=Z eRe(z)eiIm(z)=|Z|eiθ
eRe(z)=|Z| et eiIm(z)=eiθ
z=ln(ρ)+iθ+2ikπ avec k.
 
Exercice 2  2034  Correction  

Simplifier eiθ-1eiθ+1 pour θ]-π;π[.

Solution

En factorisant eiθ/2 au numérateur et au dénominateur

eiθ-1eiθ+1=isin(θ/2)cos(θ/2)=itan(θ2).
 
Exercice 3  3457   

Pour tout z, établir

(1+zn)nn+exp(z).
 
Exercice 4  2646     MINES (MP)

Soit (x,y,z)3 vérifiant eix+eiy+eiz=0. Montrer e2ix+e2iy+e2iz=0.

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Édité le 08-11-2019

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