Pour $z\in ℂ$,

	${\mathrm{e}}^z+1=0$	$\iff {\mathrm{e}}^z=-1$
		$\iff {\mathrm{e}}^z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }\text{.}$

En introduisant la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ de $z$,

	${\mathrm{e}}^z+1=0$	$\iff {\mathrm{e}}^a=1\text{ et }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}b}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }$
		$\iff a=0\text{ et }b=\pi \left[2\pi \right]\text{.}$

Les solutions de l’équation sont donc les

$$z=\mathrm{i}(2k+1)\pi \text{ avec }k\in \mathbb{Z}\text{.}$$

Posons $\rho =|Z|$ et $\theta =\arg (Z)\left[2\pi \right]$.

	${\mathrm{e}}^z=Z$	$\iff {\mathrm{e}}^{\mathrm{Re}(z)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{Im}(z)}=|Z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$
		$\iff {\mathrm{e}}^{\mathrm{Re}(z)}=|Z|\text{ et }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{Im}(z)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$
		$\iff z=\ln (\rho )+i\theta +2\mathrm{i}k\pi \text{ avec }k\in \mathbb{Z}\text{.}$

En factorisant ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta /2}$ au numérateur et au dénominateur

$$\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+1}=\frac{\mathrm{i}\sin (\theta /2)}{\cos (\theta /2)}=\mathrm{i}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\text{.}$$