[<] Exponentielle complexe [>] Inégalité dans le cadre des nombres complexes

 
Exercice 1  4877  

Soit a. Exprimer cos(3a) en fonction de cos(a) et sin(3a) en fonction de sin(a).

 
Exercice 2  4887  

En considérant les racines cinquièmes de l’unité, calculer

α=cos(2π5).
 
Exercice 3  2028   

Soient θ]0;2π[ et n. Exprimer

Cn=k=0ncos(kθ)etSn=k=0nsin(kθ).
 
Exercice 4  2531     CENTRALE (PC)Correction  

Justifier

sin(π5)=5-58.

Solution

Puisque la somme des racines 5-ième de l’unité est nulle, en considérant la partie réelle, on obtient

1+2cos(2π5)+2cos(4π5)=0.

Sachant cos(2a)=2cos2(a)-1, on obtient que cos(2π/5) est solution positive de l’équation

4r2+2r-1=0

et donc

cos(2π5)=5-14.

Or cos(2a)=1-2sin2(a) donc

1-2sin2(π5)=5-14

puis

sin2(π5)=5-58

et enfin la formule proposée puisque sin(π/5)0.

 
Exercice 5  2029   Correction  

Calculer pour θ et n,

Cn=k=0n(nk)cos(kθ)etSn=k=0n(nk)sin(kθ).

Solution

Cn et Sn sont les parties réelles et imaginaires de

k=0n(nk)eikθ=(1+eiθ)n=2neinθ2cosn(θ2).

Ainsi,

Cn=2ncos(nθ2)cosn(θ2) et Sn=2nsin(nθ2)cosn(θ2).
 
Exercice 6  4888   

Soient θ et n*. Calculer

S=k=0ncos(kθ)cosk(θ).
 
Exercice 7  4889   

(Polynômes de Tchebychev)

Soit n.

  • (a)

    Montrer qu’il existe des entiers a0,a1,,an tels que11 1 On dit que cos(nθ) est un polynôme en cos(θ). pour tout θ,

    cos(nθ)=k=0nakcosk(θ).
  • (b)

    Exprimer simplement a0.

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Édité le 08-11-2019

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