Exercice 1 4877

Soit $a \in ℝ$ . Exprimer $\cos (3 a)$ en fonction de $\cos (a)$ et $\sin (3 a)$ en fonction de $\sin (a)$ .

Exercice 2 4887

En considérant les racines cinquièmes de l’unité, calculer

α = \cos (\frac{2 π}{5}) .

Exercice 3 2028

Soient $θ \in] 0; 2 π [$ et $n \in ℕ$ . Exprimer

C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k θ) et S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \sin (k θ) .

Exercice 4 2531 CENTRALE (PC)Correction

Justifier

\sin (\frac{π}{5}) = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}} .

Solution

Puisque la somme des racines 5-ième de l’unité est nulle, en considérant la partie réelle, on obtient

1 + 2 \cos (\frac{2 π}{5}) + 2 \cos (\frac{4 π}{5}) = 0 .

Sachant $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1$ , on obtient que $\cos (2 π / 5)$ est solution positive de l’équation

4 r^{2} + 2 r - 1 = 0

et donc

\cos (\frac{2 π}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} .

Or $\cos (2 a) = 1 - 2 \sin^{2} (a)$ donc

1 - 2 \sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

puis

\sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}

et enfin la formule proposée puisque $\sin (π / 5) \geq 0$ .

Exercice 5 2029 Correction

Calculer pour $θ \in ℝ$ et $n \in ℕ$ ,

C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cos (k θ) et S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \sin (k θ) .

Solution

$C_{n}$ et $S_{n}$ sont les parties réelles et imaginaires de

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) e^{i k θ} = {(1 + e^{i θ})}^{n} = 2^{n} e^{i \frac{n θ}{2}} \cos^{n} (\frac{θ}{2}) .

Ainsi,

C_{n} = 2^{n} \cos (\frac{n θ}{2}) \cos^{n} (\frac{θ}{2}) et S_{n} = 2^{n} \sin (\frac{n θ}{2}) \cos^{n} (\frac{θ}{2}) .

Exercice 6 4888

Soient $θ \in ℝ$ et $n \in ℕ^{*}$ . Calculer

S = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k θ) \cos^{k} (θ) .

Exercice 7 4889

(Polynômes de Tchebychev)

Soit $n \in ℕ$ .

(a)

Montrer qu’il existe des entiers $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que¹¹ 1 On dit que $\cos (n θ)$ est un polynôme en $\cos (θ)$ . pour tout $θ \in ℝ$ ,

$\cos (n θ) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cos^{k} (θ) .$
(b)

Exprimer simplement $a_{0}$ .

Édité le 29-08-2023

Nombres complexes et trigonométrie