[<] Racines de l'unité [>] Exponentielle complexe

 
Exercice 1  4879  

Résoudre dans les équations:

  • (a)

    z2-(5+3i)z+2+9i=0

  • (b)

    z4+(3-6i)z2-8-6i=0.

 
Exercice 2  2046  Correction  

Résoudre dans , les équations:

  • (a)

    z2-2iz-1+2i=0

  • (b)

    z4-(5-14i)z2-2(12+5i)=0.

Solution

  • (a)

    𝒮={1,-1+2i},

  • (b)

    𝒮={-1+i,-3+2i,1-i,3-2i}.

 
Exercice 3  4878  

Soit θ. Résoudre dans l’équation z2-2cos(θ)z+1=0.

 
Exercice 4  2045  Correction  

Pour quels a l’équation x3+2x2+2ax-a2=0 possède x=1 pour solution?
Quelles sont alors les autres solutions de l’équation?

Solution

x=1 est solution de l’équation si, et seulement si, a2-2a-3=0 ce qui donne a=-1 ou a=3.
Lorsque a=-1, les solutions de l’équation sont 1,-3+52,-3+52.
Lorsque a=3, les solutions de l’équation sont 1,-3+i332,-3+i332.

 
Exercice 5  2047   Correction  
  • (a)

    Déterminer les racines carrées complexes de 5-12i.

  • (b)

    Résoudre l’équation z3-(1+2i)z2+3(1+i)z-10(1+i)=0 en commençant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure.

  • (c)

    Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’équation précédente?

Solution

  • (a)

    ±(3-2i)

  • (b)

    a=-2i,b=-1+3i et c=2+i

  • (c)

    |c-b|=|c-a|=13 et |b-a|=26. Le triangle est rectangle isocèle.

 
Exercice 6  2048  Correction  

Résoudre dans le système

{x+y=1+ixy=2-i.

Solution

Il s’agit d’un système somme produit, on obtient ses solutions en résolvant l’équation

z2-(1+i)z+(2-i)=0.

On obtient l’ensemble solution

𝒮={(1+2i,-i),(-i,1+2i)}.
 
Exercice 7  4880  

Résoudre dans le champ complexe le système

{x+y=11x+1y=3
 
Exercice 8  2049  

Résoudre dans l’équation

z3=42(1+i).
 
Exercice 9  2041  

Soit n*. Résoudre dans l’équation

zn+1=0.
 
Exercice 10  2040   Correction  

Soit n*. Résoudre l’équation

(z+1)n=(z-1)n.

Combien y a-t-il de solutions?

Solution

Notons ωk=e2ikπn avec k les racines n-ième de l’unité.
Si z est solution alors nécessairement z1 et (z+1z-1)n=1 donc il existe k{0,1,,n-1} tel que

z+1z-1=ωk

ce qui donne

(ωk-1)z=ωk+1.

Si k=0 alors ce la donne 0=2 donc nécessairement k{1,,n-1} et ωk1.
Par suite,

z=ωk+1ωk-1=2cos(kπn)2isin(kπn)=-icot(kπn).

Inversement, il suffit de remonter les calculs.

Finalement,

𝒮={-icot(kπn)|k{1,,n-1}}.

Puisque la fonction cot est injective sur ]0;π[, il y a exactement n-1 solutions.

 
Exercice 11  2042   

Soit n*. Résoudre dans l’équation

(z+i)n=(z-i)n.

Observer que celle-ci admet exactement n-1 solutions, toutes réelles.

 
Exercice 12  4893   

Soient θ]0;2π[ et n*. Résoudre l’équation d’inconnue z complexe

(z-1z+1)n+(z+1z-1)n=2cos(θ).

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Édité le 08-11-2019

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