[<] Racines de l'unité [>] Exponentielle complexe
Résoudre dans les équations:
.
Soit . Résoudre dans l’équation .
Soit . Résoudre dans l’équation .
Solution
Posons . L’équation étudiée se relit
C’est une équation du second degré de discriminant .
Les racines de cette équation (éventuellement confondues) sont
Les solutions de l’équation initiale sont donc
Pour quels l’équation possède pour solution?
Quelles sont alors les autres solutions de l’équation?
Solution
est solution de l’équation si, et seulement si, ce qui donne ou .
Lorsque , les solutions de l’équation sont .
Lorsque , les solutions de l’équation sont .
Déterminer les racines carrées complexes de .
Résoudre l’équation en commençant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure.
Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’équation précédente?
Solution
et
et . Le triangle est rectangle isocèle.
Résoudre dans le système
Solution
Il s’agit d’un système somme produit, on obtient ses solutions en résolvant l’équation
On obtient l’ensemble solution
Résoudre dans le champ complexe le système
Résoudre dans l’équation
Soit . Résoudre dans l’équation
Soit . Résoudre l’équation
Combien y a-t-il de solutions?
Solution
Notons avec les racines -ième de l’unité.
Si est solution alors nécessairement et donc il existe tel que
ce qui donne
Si alors ce la donne donc nécessairement et .
Par suite,
Inversement, il suffit de remonter les calculs.
Finalement,
Puisque la fonction est injective sur , il y a exactement solutions.
Soit . Résoudre dans l’équation
Observer que celle-ci admet exactement solutions, toutes réelles.
Soient et . Résoudre l’équation d’inconnue complexe
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Édité le 29-08-2023
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