En multipliant les trois complexes $t,u,v$ par ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$, on peut former un nouveau triplet solution à partir d’un premier. Sans perte de généralité, on peut donc supposer $t\in {ℝ}_{+}$ auquel cas $t=a$.
En écrivant $u=x+\mathrm{i}y$ et $v=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ avec $x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in ℝ$, la condition $t+u+v=0$ donne

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }& =-(a+x)\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }& =-y\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

et les deux conditions $u\overline{u}=b^2$ et $v\overline{v}=c^2$ équivalent alors au système

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^2+y^2& =b^2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {(x+a)}^2+y^2& =c^2\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Ce système possède une solution si, et seulement si, le cercle de centre $O$ et de rayon $b$ coupe le cercle de centre $\mathrm{\Omega }(-a\mathrm{,0})$ et de rayon $c$. Ces deux cercles se coupent si, et seulement si,

$$|b-c|\le a\le b+c\text{.}$$

On peut alors conclure que le triplet $(t,u,v)$ existe si, et seulement si, chacun des paramètres $a,b,c$ est inférieur à la somme des deux autres.

On observe que $B=\{\mathrm{i},-\mathrm{i}\}$ est solution. Montrons qu’il n’y en a pas d’autres…
Posons $f:ℂ\to ℂ$ et $g:ℂ\to ℂ$ définies par

$$f(z)=1-z+z^2\text{ et }g(z)=1+z+z^2\text{.}$$

On remarque

$$\left|f(z)-\mathrm{i}\right|=|z+\mathrm{i}|\left|z-(1+\mathrm{i})\right|,\left|f(z)+\mathrm{i}\right|=|z-\mathrm{i}|\left|z-(1-\mathrm{i})\right|\text{.}$$

$$\left|g(z)-\mathrm{i}\right|=|z-\mathrm{i}||z+1+\mathrm{i}|\text{ et }\left|g(z)+\mathrm{i}\right|=|z+\mathrm{i}||z+1-\mathrm{i}|\text{.}$$

Soient $a\in B$ et ${(z_n)}_{n\ge 0}$ la suite d’éléments de $B$ définie par $z_0=a$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$

$$z_{n+1}=\{\begin{array}{cc}f(z_n)\hfill & \text{ si }\mathrm{Re}(z_n)\le 0\hfill \\ g(z_n)\hfill & \text{ si }\mathrm{Re}(z_n)>0\text{.}\hfill \end{array}$$

Posons enfin

$$u_n=\left|z_n^2+1\right|=|z_n-\mathrm{i}||z_n+\mathrm{i}|\text{.}$$

Si $\mathrm{Re}(z_n)\le 0$ alors

$$u_{n+1}=\left|f(z_n)-\mathrm{i}\right|\left|f(z_n)+\mathrm{i}\right|=u_n\left|z_n-(1+\mathrm{i})\right|\left|z_n-(1-\mathrm{i})\right|\text{.}$$

Selon le signe de la partie imaginaire de $z_n$, l’un au moins des deux modules $\left|z_n-(1+\mathrm{i})\right|$ et $\left|z_n-(1-\mathrm{i})\right|$ est supérieur à $\sqrt{2}$ alors que l’autre est supérieur à 1.
Ainsi,

$$u_{n+1}\ge \sqrt{2}{u}_n\text{.}$$

Si $\mathrm{Re}(z_n)>0$, on obtient le même résultat.
On en déduit que si $u_0\ne 0$ alors la suite $(u_n)$ n’est pas bornée. Or la partie $B$ est bornée donc $u_0=0$ puis $a=\pm \mathrm{i}$. Ainsi, $B\subset \{\mathrm{i},-\mathrm{i}\}$.
Sachant $B\ne \mathrm{\varnothing }$ et sachant que l’appartenance de $\mathrm{i}$ entraîne celle de $-\mathrm{i}$ et inversement, on peut conclure

$$B=\{\mathrm{i},-\mathrm{i}\}\text{.}$$