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Exercice 1  2036  

Calculer la somme et le produit des racines n-ièmes de l’unité.

 
Exercice 2  2039  Correction  

Simplifier:

  • (a)

    j(j+1)

  • (b)

    jj2+1

  • (c)

    j+1j-1

(avec j=e2iπ/3).

Solution

  • (a)
    j(j+1)=j2+j=-1.
  • (b)
    jj2+1=j-j=-1.
  • (c)
    j+1j-1=(j+1)(j-1)¯(j-1)(j-1)¯=(j+1)(j2-1)(j-1)(j2-1)=j3+j2-j-1j3-j2-j+1=-1-2j3.
 
Exercice 3  2043   Correction  

Soit ω=ei2π7. Calculer les nombres:

A=ω+ω2+ω4etB=ω3+ω5+ω6.

Solution

On a

1+A+B=0,AB=2 et Im(A)>0

donc

A=B¯=-1+i72.
 
Exercice 4  2038  Correction  

Soit ω une racine n-ième de l’unité différente de 1. On pose

S=k=0n-1(k+1)ωk.

En calculant (1-ω)S, déterminer la valeur de S.

Solution

On a

(1-ω)S=k=0n-1(k+1)ωk-k=1nkωk=k=0n-1ωk-nωn=-n

donc

S=nω-1.
 
Exercice 5  4892   

Soient ω0,,ω2n les racines (2n+1)-ièmes de l’unité. Calculer

S=k=02n11+ωk.
 
Exercice 6  2037   Correction  

Soit n*. On note 𝕌n l’ensemble des racines n-ème de l’unité.

Calculer

zUn|z-1|.

Solution

Notons ωk=e2ikπn avec k. Par factorisation d’exponentielle équilibrée

|ωk-1|=2|sin(kπn)|.

Alors

z𝕌n|z-1| =k=0n-12sin(kπn)=2Im(k=0n-1eikπn)
=4Im(11-eiπ/n)=2cos(π2n)sin(π2n)=2cot(π2n).
 
Exercice 7  3353     X (PC)Correction  

Soient n3, ω1,,ωn les racines n-ième de l’unité avec ωn=1.

  • (a)

    Calculer pour p,

    Sp=i=1nωip.
  • (b)

    Calculer

    T=i=1n-111-ωi.

Solution

Quitte à réindexer, on peut supposer

k{1,,n},ωk=e2ikπ/n=ωk avec ω=e2iπ/n.
  • (a)

    Si n ne divise pas p alors, puisque ωp1

    Sp=k=1nωkp=ωp1-ωnp1-ωp=0.

    Si n divise p alors

    Sp=k=1nωkp=k=1n1=n.
  • (b)

    Pour 1kn-1, on a

    11-ωk=-e-ikπ/n12isin(kπn)=i2cot(kπn)+12.

    Puisque

    k=1n-1cot(kπn)==n-k=1n-1cot(π-πn)==1n-1-cot(πn)

    on a

    k=1n-1cot(kπn)=0

    puis

    T=(n-1)2.

    On peut aussi lier le calcul au précédent en écrivant

    11-ωi=p=0n-1ωip+ωin1-ωi.

    On peut aussi retrouver cette relation en considérant que T est la somme des racines d’un polynôme bien construit

    Pn=(X-1)n-Xn=-nXn-1+n(n-1)2Xn-2+
 
Exercice 8  2044   Correction  

Soient n, n2 et ω=exp(2iπ/n).

  • (a)

    Établir que pour tout z,z1,

    k=1n-1(z-ωk)==0n-1z.
  • (b)

    Justifier que l’égalité reste valable pour z=1.

  • (c)

    En déduire l’égalité

    k=1n-1sin(kπn)=n2n-1.

Solution

  • (a)

    Puisque les racines de l’équation zn-1 sont 1,ω,,ωn-1, on a

    zn-1=(z-1)k=1n-1(z-ωk).

    Or on a aussi zn-1=(z-1)(1+z++zn-1) d’où l’égalité proposée pour z1.

  • (b)

    Les fonctions xk=1n-1(x-ωk) et x=0n-1x sont définies et continues sur et coïncident sur {1}, elles coïncident donc aussi en 1 par passage à la limite.

  • (c)

    Pour z=1, l’égalité du a) donne k=1n-1(1-ωk)=n. Or par factorisation de l’exponentielle équilibrée,

    1-ωk=-eikπn2isin(kπn)

    et

    k=1n-1eikπn=eiπnk=1n-1k=in-1

    donc

    k=1n-1(1-ωk)=2n-1k=1n-1sin(kπn)

    puis la relation proposée.

 
Exercice 9  5293     ENSTIM (MP)Correction  

Pour n*, on note 𝕌n l’ensemble des racines n-ième de l’unité et l’on étudie l’application

f:{𝕌n𝕌nzz2.

Pour quels n*, l’application f est-elle bijective?

Solution

L’application f est un morphisme du groupe fini (𝕌n,×) vers lui-même. Celui-ci est bijectif si, et seulement si, son noyau est réduit à 1 c’est-à-dire si, et seulement si, -1 n’est pas élément de 𝕌n. L’application f est donc bijective si, et seulement si, l’entier n est impair.

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Édité le 08-11-2019

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