Exercice 1 2036

Calculer la somme et le produit des racines $n$ -ièmes de l’unité.

Exercice 2 2039 Correction

Simplifier:

(a)

$j (j + 1)$
(b)

$\frac{j}{j^{2} + 1}$
(c)

$\frac{j + 1}{j - 1}$

(avec $j = e^{2 i π / 3}$ ).

Solution

(a)

$j (j + 1) = j^{2} + j = - 1 .$
(b)

$\frac{j}{j^{2} + 1} = \frac{j}{- j} = - 1 .$
(c)

$\frac{j + 1}{j - 1} = \frac{(j + 1) \bar{(j - 1)}}{(j - 1) \bar{(j - 1)}} = \frac{(j + 1) (j^{2} - 1)}{(j - 1) (j^{2} - 1)} = \frac{j^{3} + j^{2} - j - 1}{j^{3} - j^{2} - j + 1} = \frac{- 1 - 2 j}{3} .$

Exercice 3 2043 Correction

Soit $ω = e^{i \frac{2 π}{7}}$ . Calculer les nombres:

A = ω + ω^{2} + ω^{4} et B = ω^{3} + ω^{5} + ω^{6} .

Solution

On a

1 + A + B = 0, A B = 2 et Im (A) > 0

donc

A = \bar{B} = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} .

Exercice 4 2038 Correction

Soit $ω$ une racine $n$ -ième de l’unité différente de 1. On pose

S = \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) ω^{k} .

En calculant $(1 - ω) S$ , déterminer la valeur de $S$ .

Solution

On a

(1 - ω) S = \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) ω^{k} - \sum_{k = 1}^{n} k ω^{k} = \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{k} - n ω^{n} = - n

donc

S = \frac{n}{ω - 1} .

Exercice 5 4892

Soient $ω_{0}, \dots, ω_{2 n}$ les racines $(2 n + 1)$ -ièmes de l’unité. Calculer

S = \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{1}{1 + ω_{k}} .

Exercice 6 2037 Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . On note $𝕌_{n}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité.

Calculer

\sum_{z \in 𝕌_{n}} | z - 1 | .

Solution

Notons $ω_{k} = e^{\frac{2 i k π}{n}}$ avec $k \in ℤ$ . Par factorisation d’exponentielle équilibrée,

| ω_{k} - 1 | = 2 | \sin (\frac{k π}{n}) | .

Alors

	$\sum_{z \in 𝕌_{n}} \| z - 1 \|$	$= \sum_{k = 0}^{n - 1} 2 \sin (\frac{k π}{n}) = 2 Im (\sum_{k = 0}^{n - 1} e^{i \frac{k π}{n}})$
		$= 4 Im (\frac{1}{1 - e^{i π / n}}) = 2 \frac{\cos (\frac{π}{2 n})}{\sin (\frac{π}{2 n})} = 2 \cot (\frac{π}{2 n}) .$

Exercice 7 3353 X (PC)Correction

Soient $n \geq 3$ , $ω_{1}, \dots, ω_{n}$ les racines $n$ -ième de l’unité avec $ω_{n} = 1$ .

(a)

Calculer pour $p \in ℤ$ ,

$S_{p} = \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}^{p} .$
(b)

Calculer

$T = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{1}{1 - ω_{i}} .$

Solution

Quitte à réindexer, on peut supposer

\forall k \in {1, \dots, n}, ω_{k} = e^{2 i k π / n} = ω^{k} avec ω = e^{2 i π / n} .

(a)

Si $n$ ne divise pas $p$ alors, puisque $ω^{p} \neq 1$

$S_{p} = \sum_{k = 1}^{n} ω^{k p} = ω^{p} \frac{1 - ω^{n p}}{1 - ω^{p}} = 0 .$

Si $n$ divise $p$ alors

$S_{p} = \sum_{k = 1}^{n} ω^{k p} = \sum_{k = 1}^{n} 1 = n .$
(b)

Pour $1 \leq k \leq n - 1$ , on a

$\frac{1}{1 - ω_{k}} = - e^{- i k π / n} \frac{1}{2 i \sin (\frac{k π}{n})} = \frac{i}{2} \cot (\frac{k π}{n}) + \frac{1}{2} .$

Puisque

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \cot (\frac{k π}{n}) \underset{ℓ = n - k}{=} \sum_{ℓ = 1}^{n - 1} \cot (π - \frac{ℓ π}{n}) = \sum_{ℓ = 1}^{n - 1} - \cot (\frac{ℓ π}{n})$

on a

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \cot (\frac{k π}{n}) = 0$

puis

$T = \frac{(n - 1)}{2} .$

On peut aussi lier le calcul au précédent en écrivant

$\frac{1}{1 - ω_{i}} = \sum_{p = 0}^{n - 1} ω_{i}^{p} + \frac{ω_{i}^{n}}{1 - ω_{i}} .$

On peut aussi retrouver cette relation en considérant que $T$ est la somme des racines d’un polynôme bien construit

$P^{n} = {(X - 1)}^{n} - X^{n} = - n X^{n - 1} + \frac{n (n - 1)}{2} X^{n - 2} + \dots$

Exercice 8 2044 Correction

Soient $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ et $ω = \exp (2 i π / n)$ .

(a)

Établir que pour tout $z \in ℂ, z \neq 1$ ,

$\prod_{k = 1}^{n - 1} (z - ω^{k}) = \sum_{ℓ = 0}^{n - 1} z^{ℓ} .$
(b)

Justifier que l’égalité reste valable pour $z = 1$ .
(c)

En déduire l’égalité

$\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin (\frac{k π}{n}) = \frac{n}{2^{n - 1}} .$

Solution

(a)

Puisque les racines de l’équation $z^{n} - 1$ sont $1, ω, \dots, ω^{n - 1}$ , on a

$z^{n} - 1 = (z - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (z - ω^{k}) .$

Or on a aussi $z^{n} - 1 = (z - 1) (1 + z + \dots + z^{n - 1})$ d’où l’égalité proposée pour $z \neq 1$ .
(b)

Les fonctions $x \mapsto \prod_{k = 1}^{n - 1} (x - ω^{k})$ et $x \mapsto \sum_{ℓ = 0}^{n - 1} x^{ℓ}$ sont définies et continues sur $ℝ$ et coïncident sur $ℝ ∖ {1}$ , elles coïncident donc aussi en 1 par passage à la limite.
(c)

Pour $z = 1$ , l’égalité du a) donne $\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - ω^{k}) = n$ . Or par factorisation de l’exponentielle équilibrée,

$1 - ω^{k} = - e^{\frac{i k π}{n}} 2 i \sin (\frac{k π}{n})$

et

$\prod_{k = 1}^{n - 1} e^{i \frac{k π}{n}} = e^{i \frac{π}{n} \sum_{k = 1}^{n - 1} k} = i^{n - 1}$

donc

$\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - ω^{k}) = 2^{n - 1} \prod_{k = 1}^{n - 1} \sin (\frac{k π}{n})$

puis la relation proposée.

Exercice 9 5293 ENSTIM (MP)Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $𝕌_{n}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité et l’on étudie l’application

f : {\begin{matrix} 𝕌_{n} & \to & 𝕌_{n} \\ z & \mapsto & z^{2} . \end{matrix}

Pour quels $n \in ℕ^{*}$ , l’application $f$ est-elle bijective?

Solution

L’application $f$ est un morphisme du groupe fini $(𝕌_{n}, \times)$ vers lui-même. Celui-ci est bijectif si, et seulement si, son noyau est réduit à $1$ c’est-à-dire si, et seulement si, $- 1$ n’est pas élément de $𝕌_{n}$ . L’application $f$ est donc bijective si, et seulement si, l’entier $n$ est impair.

Exercice 10 5477 Correction

Montrer que $z = \frac{3 + 4 i}{5}$ est un nombre complexe de module $1$ mais n’est pas une racine de l’unité.

Solution

Par un calcul direct,

{| z |}^{2} = {(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{9 + 16}{25} = 1 .

Le nombre $z$ est donc de module $1$ .

Pour montrer que $z$ n’est pas une racine de l’unité, on commence par observer qu’il est possible d’écrire

z^{n} = \frac{x_{n} + i y_{n}}{5^{n}} avec x_{n}, y_{n} \in ℤ .

De plus, pour tout $n \in ℕ$ , l’égalité $z^{n + 1} = z^{n} \times z$ donne

{\begin{matrix} x_{n + 1} & = 3 x_{n} - 4 y_{n} \\ y_{n + 1} & = 4 x_{n} + 3 y_{n} . \end{matrix}

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on vérifie

{\begin{matrix} x_{n} & \equiv 3 [5] \\ y_{n} & \equiv 4 [5] . \end{matrix}

On en déduit $z^{n} \neq 1$ pour tout $n \geq 1$ , notamment parce que la partie imaginaire de $z^{n}$ n’est jamais nulle.

[<] Module et argument [>] Équations algébriques

Édité le 08-12-2023

Racines de l'unité