[<] Le plan complexe [>] Racines de l'unité

 
Exercice 1  4876  

Déterminer le module et un argument de z=3+i1-i.

 
Exercice 2  2030  Correction  

Déterminer module et argument de

z=2+2+i2-2.

Solution

|z|2=2+2+2-2=4 donc |z|=2.
Posons θ un argument de z que l’on peut choisir dans [0;π/2] car Re(z),Im(z)0.
On a cos(θ)=122+2 donc

cos(2θ)=2cos2(θ)-1=12(2+2)-1=22

avec 2θ[0;π] donc 2θ=π/4 puis θ=π/8.

 
Exercice 3  4881  

Déterminer le module et un argument de z=1+3+i(1-3).

 
Exercice 4  2033   

Soit θ. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z=eiθ+1.

 
Exercice 5  2035   Correction  

Déterminer le module et un argument de eiθ+eiθ pour θ,θ.

Solution

On peut factoriser

eiθ+eiθ=eiθ+θ2(eiθ-θ2+e-iθ-θ2)=2cos(θ-θ2)eiθ+θ2

ce qui permet de préciser module et argument en discutant selon le signe de cos(θ-θ2).

 
Exercice 6  2052  Correction  

Résoudre l’équation |z+1|=|z|+1 d’inconnue z.

Solution

On a |z+1|2=|z|2+2Re(z)+1 et (|z|+1)2=|z|2+2|z|+1 donc

|z+1|=|z|+1 Re(z)=|z|
z+.
 
Exercice 7  2031   Correction  

Soient z* et z. Montrer

|z+z|=|z|+|z|λ+,z=λ.z.

Solution

() ok
() Si |z+z|=|z|+|z| alors, en divisant par |z|: |1+x|=1+|x| avec x=z/z.
Écrivons x=a+ib avec a,b.

|1+x|2=(a+1)2+b2=1+a2+b2+2a

et

(1+|x|)2=(1+a2+b2)2=1+a2+b2+2a2+b2

|1+x|=1+|x| donne alors a=a2+b2 d’où b=0 et a0.
Par suite, x+ et l’on conclut.

 
Exercice 8  4894   

Soient z1,,zn des nombres complexes. À quelle condition simple a-t-on

|z1++zn|=|z1|++|zn|?
 
Exercice 9  55   Correction  

Soit a tel que |a|<1.
Déterminer l’ensemble des complexes z tels que

|z-a1-a¯z|1.

Solution

Pour que la quantité soit définie il est nécessaire que z1/a¯.
Si tel est le cas

|z-a1-a¯z|1|z-a|2|1-a¯z|2.

Sachant |x+y|2=|x|2+2Re(x¯y)+|y|2, on obtient

|z-a1-a¯z|1(|a|2-1)(|z|2-1)0.

L’ensemble recherché est l’ensemble des complexes de module inférieur à 1.

 
Exercice 10  3249   Correction  

Soit f: définie par

f(z)=z+|z|2.

Déterminer les valeurs prises par f.

Solution

Soit z.
Si z- alors f(z)=0.
Sinon, on peut écrire z=reiθ avec r>0 et θ]-π;π[ et alors

f(z)=r1+eiθ2=rcos(θ2)eiθ/2.

Puisque cos(θ/2)0

|f(z)|=rcos(θ2)etarg(f(z))=θ2

donc

f(z){Z|Re(Z)>0}.

Inversement, soit Z tel que Re(Z)>0.
On peut écrire Z=Reiα avec R>0 et α]-π/2;π/2[. Pour

z=Rcos(α)e2iα

les calculs qui précèdent donnent

f(z)=Reiα=Z.

Finalement, les valeurs prises par f sont les complexes de parties réelles strictement positives ainsi que le complexe nul.

 
Exercice 11  4883  

(Identité du parallélogramme)

Vérifier pour tous a et b nombres complexes,

|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2.
 
Exercice 12  3642   Correction  
  • (a)

    Vérifier

    (z1,z2)2,|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.
  • (b)

    On suppose z1,z2 tels que |z1|1 et |z2|1. Montrer qu’il existe ε=1 ou -1 tel que

    |z1+εz2|2.

Solution

  • (a)

    En développant

    |z1+z2|2=(z1+z2)(z¯1+z¯2)=|z1|2+z1z¯2+z¯1z2+|z2|2

    et la relation écrire est alors immédiate.

  • (b)

    On a

    |z1+z2|2+|z1-z2|24

    donc parmi les quantités |z1+z2| et |z1-z2|, l’une au moins est de carré inférieur à 2.

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Édité le 08-11-2019

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