[<] Le plan complexe [>] Racines de l'unité
Déterminer le module et un argument de .
Déterminer module et argument de
Solution
donc .
Posons un argument de que l’on peut choisir dans car .
On a donc
avec donc puis .
Déterminer le module et un argument de .
Soit . Déterminer le module et un argument du nombre complexe .
Déterminer le module et un argument de pour .
Solution
On peut factoriser
ce qui permet de préciser module et argument en discutant selon le signe de .
Soient et . Montrer
Solution
ok
Si alors, en divisant par : avec .
Écrivons avec .
et
donne alors d’où .
Par suite, et l’on conclut.
Soient des nombres complexes. À quelle condition simple a-t-on
Soit . Déterminer l’ensemble des nombres complexes tels que
Solution
Pour que la quantité soit définie il est nécessaire que .
Pour un tel nombre complexe ,
Sachant , on obtient
Cas: . L’inégalité qui précède est vérifiée et tout est solution. Notons que dans le cas présent pour de module .
Cas: . L’ensemble recherché est l’ensemble des complexes de module inférieur à (parmi lequel ne figure par dont le module est l’inverse de celui de donc strictement supérieur à ).
Cas: . L’ensemble recherché est cette fois-ci l’ensemble des nombres complexes de module supérieur à .
Soit définie par
Déterminer les valeurs prises par .
Solution
Soit .
Si alors .
Sinon, on peut écrire avec et et alors
Puisque
donc
Inversement, soit tel que .
On peut écrire avec et . Pour
les calculs qui précèdent donnent
Finalement, les valeurs prises par sont les complexes de parties réelles strictement positives ainsi que le complexe nul.
(Identité du parallélogramme)
Vérifier pour tous et nombres complexes,
Vérifier
On suppose tels que et . Montrer qu’il existe ou tel que
Solution
En développant
et la relation écrire est alors immédiate.
On a
donc parmi les quantités et , l’une au moins est de carré inférieur à 2.
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Édité le 29-08-2023
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