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Exercice 1  2027  Correction  
  • (a)

    Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M d’affixe iz.

  • (b)

    Déterminer de plus le lieu des points M correspondant.

Solution

  • (a)

    M=I est solution.
    Pour MI, I,M,M sont alignés si, et seulement si, il existe λ tel que IM=λIM c’est-à-dire iz-iz-i.
    Posons x=Re(z) et y=Im(z). Im(iz-iz-i)=0x(x-1)+y(y-1)=0(x-12)2+(y-12)2=12.

    Finalement, le lieu des points M solutions est le cercle de centre Ω|1/21/2 et de rayon 1/2.

  • (b)

    Le point M est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle π/2.
    Le lieu des points M est donc le cercle de centre Ω|-1/21/2 et de rayon 1/2

 
Exercice 2  2050  Correction  

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que

z+z¯=|z|.

Solution

Soit M(z) solution avec z=a+ib et a,b.
On a 2a=a2+b2 donc a0 et b=±3a.
Ainsi M se situe sur les demi-droites d’origine O dirigée par les vecteurs

u(13)etv(1-3).

Inversement: ok.

 
Exercice 3  4882  

Décrire l’ensemble des

Z=z-1z+1pour z parcourant 𝕌{-1}.
 
Exercice 4  3040    X (MP)Correction  

Décrire l’ensemble des

Z=11-zpour z parcourant 𝕌{1}.

Solution

Soit z un complexe du cercle unité avec z1. Il existe θ]0;2π[ tel que z=eiθ. On a alors

Z=11-eiθ=e-iθ/2i2sin(θ)/2=12+12icot(θ2).

Quand θ parcourt ]0;2π[ (ce qui revient à faire parcourir à z le cercle unité), l’expression cot(θ/2) prend toutes les valeurs de . L’image du cercle unité est donc la droite d’équation x=1/2.

 
Exercice 5  5013   

Soient A,B,C trois points distincts du plan géométrique d’affixes respectives a,b,c.

  • (a)

    Montrer que le triangle (ABC) est équilatéral si, et seulement si,

    c-ab-a=-jouc-ab-a=-j2.
  • (b)

    En déduire que le triangle (ABC) est équilatéral si, et seulement si,

    a2+b2+c2=ab+bc+ca.
 
Exercice 6  3458   

Soient z0 et r>0 tels que |z0|r. On note 𝒞 le cercle dans de centre z0 et de rayon r.

  • (a)

    Pour z, montrer

    z𝒞|z|2-2Re(z¯z0)+|z0|2=r2.
  • (b)

    En déduire que l’ensemble des valeurs prises par l’application f:z1/z sur 𝒞 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de z0 et r.

 
Exercice 7  4891    

(Théorème de l’angle au centre)

Soient M,A,B trois points distincts du plan géométrique d’affixes respectives z,a,b.

  • (a)

    Donner l’interprétation d’un argument du nombre complexe Z=z-bz-a.

On suppose que A et B sont deux points d’un cercle 𝒞 de centre O. On note θ une mesure de l’angle entre les vecteurs OA et OB et φ une mesure de l’angle11 1 On dit que θ mesure l’angle au centre et φ l’angle inscrit. entre les vecteurs MA et MB

  • (b)

    Montrer que M appartient au cercle 𝒞 si, et seulement si, 2φθ[2π].

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Édité le 08-11-2019

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