On introduit l’intégrale complexe

$$I(a)={\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}{\mathrm{e}}^{-at}dt={\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{(-a+\mathrm{i})t}dt\text{.}$$

On peut directement proposer une primitive

$$I(a)={\left[\frac{1}{-a+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-a+\mathrm{i})t}\right]}_0^{\pi }=\frac{1}{a-\mathrm{i}}\left(1+{\mathrm{e}}^{-a\pi }\right)\text{.}$$

Enfin, en passant à la partie réelle

$${\int }_0^{\pi }\cos (t){\mathrm{e}}^{-at}dt=\frac{a}{a^2+1}\left(1+{\mathrm{e}}^{-a\pi }\right)\text{.}$$