Exercice 1 4767

Calculer les intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{1} t^{n} d t$ (avec $n \in ℕ$ )
(b)

$\int_{1}^{2} \frac{d t}{t^{2}}$
(c)

$\int_{1}^{4} \frac{d t}{\sqrt{t}}$
(d)

$\int_{0}^{π / 2} \cos^{2} (t) d t$
(e)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}}$
(f)

$\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1 + t^{2}} d t$ .

Exercice 2 1964 Correction

Calculer les intégrales suivantes:

(a)

$\int_{1}^{2} \frac{d t}{t^{2}}$
(b)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}}$
(c)

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

Solution

Dans chaque cas la détermination d’une primitive est (assez) immédiate

(a)

$\int_{1}^{2} \frac{d t}{t^{2}} = {[- \frac{1}{t}]}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .$
(b)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}} = {[\arctan (t)]}_{0}^{1} = \frac{π}{4} .$
(c)

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} = {[\arcsin (t)]}_{0}^{1 / 2} = \frac{π}{6} .$

Exercice 3 284 Correction

Calculer les intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (t) d t$
(b)

$\int_{1}^{2} \ln (t) d t$
(c)

$\int_{0}^{1} \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} d t$

Solution

(a)

En linéarisant

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (t) d t = \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = {[\frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{4}]}_{0}^{2 π} = π .$
(b)

On connaît une primitive du logarithme ou l’on intègre par parties

$\int_{1}^{2} \ln (t) d t = {[t \ln (t) - t]}_{1}^{2} = 2 \ln (2) - 1 .$
(c)

On reconnaît une forme $u^{'} / \sqrt{u}$

$\int_{0}^{1} \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} d t = {[\sqrt{1 + t^{2}}]}_{0}^{1} = \sqrt{2} - 1 .$

Exercice 4 1963

Pour $m, n \in ℕ$ , calculer

I_{m, n} = \int_{0}^{2 π} \cos (m t) \cos (n t) d t .

Exercice 5 1547 CENTRALE (PC)

Démontrer que pour toute fonction polynomiale réelle $P$ ,

\int_{- 1}^{1} P (t) d t = - i \int_{0}^{π} P (e^{i θ}) e^{i θ} d θ .

Exercice 6 2508 CCINP (MP)

Soit $λ$ un réel tel que $| λ | \neq 1$ .

(a)

Étudier la fonction $f_{λ}$ définie sur $ℝ$ par la relation

$f_{λ} (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - 2 λ \cos (x) + λ^{2}}} .$
(b)

Calculer

$\int_{0}^{π} f_{λ} (x) d x .$

Exercice 7 285 Correction

Calculer

I = \int_{0}^{π / 4} \ln (1 + \tan (x)) d x .

Solution

La fonction $x \mapsto \ln (1 + \tan (x))$ est définie et continue sur $[0; π / 4]$ donc $I$ existe.
$\ln (1 + \tan (x)) = \ln (\cos (x) + \sin (x)) - \ln (\cos (x))$ et $\cos (x) + \sin (x) = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} - x)$ .
Ainsi,

I = \frac{π \ln (2)}{8} + \int_{0}^{π / 4} \ln (\cos (\frac{π}{4} - x)) d x - \int_{0}^{π / 4} \ln (\cos (x)) d x

\int_{0}^{π / 4} \ln (\cos (x - \frac{π}{4})) d x \underset{t = \frac{π}{4} - x}{=} \int_{0}^{π / 4} \ln (\cos (t)) d t

donc

I = \frac{π \ln (2)}{8} .

Exercice 8 4779

Soit $n \in ℕ$ . Calculer

I_{n} = \int_{0}^{n π} t | \sin (t) | d t .

Exercice 9 5797 Correction

On pose

I = \int_{0}^{π / 6} \frac{\cos^{2} (t)}{\cos (2 t)} d t et J = \int_{0}^{π / 6} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (2 t)} d t .

Calculer $I - J$ et $I + J$ et en déduire les valeurs de $I$ et $J$ .

Solution

Sachant $\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$ , on observe

I - J = \int_{0}^{π / 6} \frac{\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{\cos (2 t)} d t = \int_{0}^{π / 6} 1 d t = \frac{π}{6} .

Sachant $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 1$ , on obtient

I + J = \int_{0}^{π / 6} \frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (2 t)} d t = \int_{0}^{π / 6} \frac{1}{\cos (2 t)} d t .

On réécrit

I + J = \int_{0}^{π / 6} \frac{\cos (2 t)}{\cos^{2} (2 t)} d t = \int_{0}^{π / 6} \frac{\cos (2 t)}{1 - \sin^{2} (2 t)} d t .

Par le changement de variable $u = \sin (2 t)$ ,

I + J = \int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - u^{2}} d u .

Par décomposition en éléments simples,

\frac{1}{1 - u^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + u}

et donc

I + J = \frac{1}{4} {[\ln (\frac{1 + u}{1 - u})]}_{0}^{\sqrt{3} / 2} = \frac{1}{4} \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) .

En multipliant par la quantité conjuguée, on peut simplifier

I + J = \frac{1}{2} \ln (2 + \sqrt{3}) .

Des valeurs de $I + J$ et $I - J$ , on obtient

I = \frac{1}{4} \ln (2 + \sqrt{3}) + \frac{π}{12} et J = \frac{1}{4} \ln (2 + \sqrt{3}) - \frac{π}{12} .

[>] Calcul de primitives

Édité le 14-10-2023

Calcul d'intégrales