[>] Calcul de primitives

 
Exercice 1  4767  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    01tndt (avec n)

  • (b)

    12dtt2

  • (c)

    14dtt

  • (d)

    0π/2cos2(t)dt

  • (e)

    01dt1+t2

  • (f)

    01t21+t2dt.

 
Exercice 2  1964  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    12dtt2

  • (b)

    01dt1+t2

  • (c)

    01/2dt1-t2

Solution

Dans chaque cas la détermination d’une primitive est (assez) immédiate

  • (a)
    12dtt2=[-1t]12=12.
  • (b)
    01dt1+t2=[arctan(t)]01=π4.
  • (c)
    01/2dt1-t2=[arcsin(t)]01/2=π6.
 
Exercice 3  284  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    02πcos2(t)dt

  • (b)

    12ln(t)dt

  • (c)

    01t1+t2dt

Solution

  • (a)

    En linéarisant

    02πcos2(t)dt=02π1+cos(2t)2dt=[t2+sin(2t)4]02π=π.
  • (b)

    On connaît une primitive du logarithme ou l’on intègre par parties

    12ln(t)dt=[tln(t)-t]12=2ln(2)-1.
  • (c)

    On reconnaît une forme u/u

    01t1+t2dt=[1+t2]01=2-1.
 
Exercice 4  1963  

Pour m,n, calculer

Im,n=02πcos(mt)cos(nt)dt.
 
Exercice 5  1547    CENTRALE (PC)

Démontrer que pour toute fonction polynomiale réelle P,

-11P(t)dt=-i0πP(eiθ)eiθdθ.
 
Exercice 6  2508     CCP (MP)

Soit λ un réel tel que |λ|1.

  • (a)

    Étudier la fonction fλ définie sur par la relation

    fλ(x)=sin(x)1-2λcos(x)+λ2.
  • (b)

    Calculer

    0πfλ(x)dx.
 
Exercice 7  285   Correction  

Calculer

I=0π/4ln(1+tan(x))dx.

Solution

La fonction xln(1+tan(x)) est définie et continue sur [0;π/4] donc I existe.
ln(1+tan(x))=ln(cos(x)+sin(x))-ln(cos(x)) et cos(x)+sin(x)=2cos(π4-x).
Ainsi,

I=πln(2)8+0π/4ln(cos(π4-x))dx-0π/4ln(cos(x))dx

or

0π/4ln(cos(x-π4))dx=t=π4-x0π/4ln(cos(t))dt

donc

I=πln(2)8.
 
Exercice 8  4779   

Soit n. Calculer

In=0nπt|sin(t)|dt.

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Édité le 08-11-2019

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