[<] Calcul d'intégrales [>] Intégration par parties

 
Exercice 1  1960  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    tet2dt

  • (b)

    ln(t)tdt

  • (c)

    dttln(t)

Solution

  • (a)

    On reconnaît une forme ueu

    tet2dt=12et2+Cte.
  • (b)

    On reconnaît une forme uu

    ln(t)tdt=12(ln(t))2+Cte.
  • (c)

    On reconnaît une forme u/u

    dttln(t)=ln(|ln(t)|)+Cte.
 
Exercice 2  279  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    cos(t)sin(t)dt

  • (b)

    tan(t)dt

  • (c)

    cos3(t)dt

Solution

  • (a)

    C’est une forme uu donc

    cos(t)sin(t)dt=12sin2(t)+Cte.
  • (b)

    C’est une forme u/u donc

    tan(t)dt=-ln(|cos(t)|)+Cte.
  • (c)

    On se ramène à une forme uu2 via cos2(t)=1-sin2(t)

    cos3(t)dt=cos(t)-cos(t)sin2(t)=sin(t)-13sin3(t)+Cte.
 
Exercice 3  4770  

Déterminer sur les intervalles de définition que l’on précisera, une primitive de chacune des fonctions définies par les expressions ci-dessous:

  • (a)

    t1+t2

  • (b)

    1(1+t)2

  • (c)

    tt2-1

  • (d)

    t21+t3

  • (e)

    ln(t)t

  • (f)

    1tln(t)

  • (g)

    te-t2

  • (h)

    cos(t)sin(t)

  • (i)

    tan(t).

 
Exercice 4  280  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    t21+t3dt

  • (b)

    t1+t2dt

  • (c)

    t1+t4dt

Solution

Dans chaque cas on reconnaît une forme uf(u)

  • (a)

    t21+t3dt=13ln|1+t3|+Cte sur ]-;-1[ ou ]-1;+[.

  • (b)

    t1+t2dt=1+t2+Cte sur .

  • (c)

    t1+t4dt=12arctan(t2)+Cte sur .

 
Exercice 5  1962   Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    dtit+1

  • (b)

    etcos(t)dt

  • (c)

    tsin(t)etdt

Solution

  • (a)

    En isolant partie réelle et imaginaire

    dtit+1=1idtt-i=-it+it2+1dt

    puis

    dtit+1=arctan(t)-i2ln(t2+1)+Cte.
  • (b)

    On observe

    etcos(t)dt=Re(e(1+i)tdt)

    et

    e(1+i)tdt=11+ie(1+i)t+Cte

    donc

    etcos(t)dt=et2(cos(t)+sin(t))+Cte.
  • (c)

    On observe

    tsin(t)etdt=Im(te(1+i)tdt)

    et par intégration par parties

    te(1+i)tdt=t+i(1-t)2e(1+i)t+Cte

    donc

    tsin(t)etdt=et2(tsin(t)+(1-t)cos(t))+Cte.
 
Exercice 6  4771  

Déterminer une primitive sur de chacune des fonctions ci-dessous:

  • (a)

    xsin4(x)

  • (b)

    xsin(x)cos3(x)

  • (c)

    xcos5(x).

 
Exercice 7  4773  

En intégrant par parties, déterminer une primitive des fonctions suivantes sur leur intervalle de définitions:

  • (a)

    tln(t)

  • (b)

    t(t2-t+1)e-t

  • (c)

    tt2sin(t).

 
Exercice 8  4774  

Soit a un réel strictement positif. Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    dua2+u2

  • (b)

    dua2-u2.

[<] Calcul d'intégrales [>] Intégration par parties



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax