• (a)

  On reconnaît une forme $u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$

  $$\int t{\mathrm{e}}^{t^2}dt=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{t^2}+C^{te}\text{.}$$

• (b)

  On reconnaît une forme $u^{\prime }u$

  $$\int \frac{\ln (t)}{t}dt=\frac{1}{2}{\left(\ln (t)\right)}^2+C^{te}\text{.}$$

• (c)

  On reconnaît une forme $u^{\prime }/u$

  $$\int \frac{\mathrm{d}t}{t\ln (t)}=\ln \left(|\ln (t)|\right)+C^{te}\text{.}$$

• (a)

  C’est une forme $u^{\prime }u$ donc

  $$\int \cos (t)\sin (t)dt=\frac{1}{2}{\sin }^2(t)+C^{te}\text{.}$$

• (b)

  C’est une forme $u^{\prime }/u$ donc

  $$\int \tan (t)dt=-\ln \left(\left|\cos (t)\right|\right)+C^{te}\text{.}$$

• (c)

  On se ramène à une forme $u^{\prime }{u}^2$ via ${\cos }^2(t)=1-{\sin }^2(t)$

  $$\int {\cos }^3(t)dt=\int \cos (t)-\int \cos (t){\sin }^2(t)=\sin (t)-\frac{1}{3}{\sin }^3(t)+C^{te}\text{.}$$

Dans chaque cas on reconnaît une forme $u^{\prime }f(u)$

• (a)

  $\int \frac{t^2}{1+t^3}dt=\frac{1}{3}\ln \left|1+t^3\right|+C^{te}$ sur $]-\mathrm{\infty };-1[$ ou $]-1;+\mathrm{\infty }[$.

• (b)

  $\int \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt=\sqrt{1+t^2}+C^{te}$ sur $ℝ$.

• (c)

  $\int \frac{t}{1+t^4}dt=\frac{1}{2}\arctan \left(t^2\right)+C^{te}$ sur $ℝ$.

• (a)

  En isolant partie réelle et imaginaire

  $$\int \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{i}t+1}=\frac{1}{\mathrm{i}}\int \frac{\mathrm{d}t}{t-\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\int \frac{t+\mathrm{i}}{t^2+1}dt$$

  puis

  $$\int \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{i}t+1}=\arctan (t)-\frac{\mathrm{i}}{2}\ln (t^2+1)+C^{te}\text{.}$$

• (b)

  On observe

  $$\int {\mathrm{e}}^t\cos (t)dt=\mathrm{Re}\left(\int {\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}dt\right)$$

  et

  $$\int {\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}dt=\frac{1}{1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}+C^{te}$$

  donc

  $$\int {\mathrm{e}}^t\cos (t)dt=\frac{{\mathrm{e}}^t}{2}\left(\cos (t)+\sin (t)\right)+C^{te}\text{.}$$

• (c)

  On observe

  $$\int t\sin (t){\mathrm{e}}^{t}dt=\mathrm{Im}\left(\int t{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}dt\right)$$

  et par intégration par parties

  $$\int t{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}dt=\frac{t+\mathrm{i}(1-t)}{2}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}+C^{te}$$

  donc

  $$\int t\sin (t){\mathrm{e}}^{t}dt=\frac{{\mathrm{e}}^t}{2}\left(t\sin (t)+(1-t)\cos (t)\right)+C^{te}\text{.}$$