Exercice 1 1979 Correction

Déterminer les primitives suivantes:

(a)

$\int t \ln (t) d t$
(b)

$\int t \arctan (t) d t$
(c)

$\int t \sin^{3} (t) d t$

Solution

(a)

Par intégration par parties

$\int t \ln (t) d t = \frac{1}{2} t^{2} \ln (t) - \int \frac{1}{2} t d t = \frac{1}{2} t^{2} \ln (t) - \frac{1}{4} t^{2} + C^{t e} .$
(b)

Par intégration par parties

$\int t \arctan (t) d t = \frac{1}{2} t^{2} \arctan (t) - \frac{1}{2} \int \frac{t^{2} d t}{1 + t^{2}}$

puis en écrivant

$\frac{t^{2}}{t^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{1 + t^{2}}$

on obtient

$\int t \arctan (t) d t = \frac{1}{2} ((t^{2} + 1) \arctan (t) - t) + C^{t e} .$
(c)

En écrivant $\sin^{2} (t) = 1 - \cos^{2} (t)$

$\int t \sin^{3} (t) d t = \int t \sin (t) d t - \int t \sin (t) \cos^{2} (t) d t .$

D’une part

$\int t \sin (t) d t = \sin (t) - t \cos (t) + C^{t e} .$

D’autre part, par intégration par parties

$\int t \sin (t) \cos^{2} (t) d t = - \frac{1}{3} t \cos^{3} (t) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (t) d t$

avec

$\int \cos^{3} (t) d t = \int \cos (t) d t - \int \cos (t) \sin^{2} (t) d t = \sin (t) - \frac{1}{3} \sin^{3} (t) .$

Finalement,

$\int t \sin^{3} (t) d t = \frac{2}{3} \sin (t) - t \cos (t) + \frac{1}{3} t \cos^{3} (t) + \frac{1}{9} \sin^{3} (t) + C^{t e} .$

Exercice 2 263 Correction

Déterminer les primitives suivantes:

(a)

$\int (t^{2} - t + 1) e^{- t} d t$
(b)

$\int (t - 1) \sin (t) d t$
(c)

$\int (t + 1) ch (t) d t$

Solution

Par intégration par parties

(a)

$\int (t^{2} - t + 1) e^{- t} d t = - (t^{2} + t + 2) e^{- t} + C^{t e}$ .
(b)

$\int (t - 1) \sin (t) d t = \sin (t) + (1 - t) \cos (t) + C^{t e}$ .
(c)

$\int (t + 1) ch (t) d t = (t + 1) sh (t) - ch (t) + C^{t e}$ .

Exercice 3 4769

Calculer par intégration par parties:

(a)

$\int_{0}^{1} (t - 1) e^{2 t} d t$
(b)

$\int_{0}^{1} \ln (t^{2} + 1) d t$
(c)

$\int_{0}^{1 / 2} \arcsin (t) d t$
(d)

$\int_{0}^{π} t \sin (t) d t$
(e)

$\int_{0}^{π / 4} \frac{t}{\cos^{2} (t)} d t$ .

Exercice 4 287 Correction

Calculer les intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{1} \arctan (t) d t$
(b)

$\int_{0}^{1 / 2} \arcsin (t) d t$
(c)

$\int_{0}^{1} t \arctan (t) d t$

Solution

Par intégration par parties,

(a)

$\int_{0}^{1} \arctan (t) d t$ $= {[t \arctan (t)]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

$= \frac{π}{4} - \frac{1}{2} {[\ln (1 + t^{2})]}_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2} .$
(b)

$\int_{0}^{1 / 2} \arcsin (t) d t$ $= {[t \arcsin (t)]}_{0}^{1 / 2} - \int_{0}^{1 / 2} \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

$= \frac{π}{12} + {[\sqrt{1 - t^{2}}]}_{0}^{1 / 2} = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 .$
(c)

$\int_{0}^{1} t \arctan (t) d t$ $= \frac{1}{2} {[t^{2} \arctan (t)]}_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1 + t^{2}} d t$

$= \frac{π}{8} - \frac{1}{2} {[t - \arctan (t)]}_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} .$

Exercice 5 283 Correction

Calculer

\int_{0}^{1} \ln (1 + t^{2}) d t .

Solution

Par intégration par parties,

\int_{0}^{1} \ln (1 + t^{2}) d t = {[t \ln (1 + t^{2})]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 t^{2}}{1 + t^{2}} d t .

En écrivant

\frac{2 t^{2}}{1 + t^{2}} = 2 - \frac{2}{1 + t^{2}}

on obtient

\int_{0}^{1} \ln (1 + t^{2}) d t = \ln (2) - 2 {[t - \arctan (t)]}_{0}^{1} = \ln (2) - 2 + \frac{π}{2} .

Exercice 6 1980 Correction

Calculer

\int_{1}^{e^{π}} \sin (\ln (t)) d t .

Solution

Par deux intégrations par parties,

	$\int_{1}^{e^{π}} \sin (\ln (t)) d t$	$= {[t \sin (\ln (t))]}_{1}^{e^{π}} - \int_{1}^{e^{π}} \cos (\ln (t)) d t$
		$= - {[t \cos (\ln (t))]}_{1}^{e^{π}} - \int_{1}^{e^{π}} \sin (\ln (t)) d t$

donc

\int_{1}^{e^{π}} \sin (\ln (t)) d t = - \frac{1}{2} {[t \cos (\ln (t))]}_{1}^{e^{π}} = \frac{e^{π} + 1}{2} .

Exercice 7 4781

Calculer

\int_{0}^{1 / 2} e^{\arcsin (t)} d t .

Exercice 8 5257

Calculer

\int_{0}^{1} t {(\arctan (t))}^{2} d t .

Exercice 9 3089 X (MP)Correction

Soient $(a, b) \in ℝ^{2}$ , $μ \in ℝ_{+}^{*}$ et $f \in 𝒞^{2} ([a; b], ℝ)$ telles que

\forall x \in [a; b], | f^{'} (x) | \geq μ et f^{'} monotone.

Montrer

| \int_{a}^{b} e^{2 i π f (t)} d t | \leq \frac{1}{μ π} .

Solution

Écrivons

\int_{a}^{b} e^{2 i π f (t)} d t = \int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f^{'} (t)} e^{2 i π f (t)} d t .

Par intégration par parties

\int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f^{'} (t)} e^{2 i π f (t)} d t = {[\frac{e^{2 i π f (t)}}{2 i π f^{'} (t)}]}_{a}^{b} + \frac{1}{2 i π} \int_{a}^{b} \frac{f^{''} (t)}{f^{'} {(t)}^{2}} e^{2 i π f (t)} d t .

Quitte à considérer $- f$ , supposons $f^{''} \geq 0$

| \int_{a}^{b} \frac{f^{''} (t)}{f^{'} {(t)}^{2}} e^{2 i π f (t)} d t | \leq \int_{a}^{b} \frac{f^{''} (t)}{f^{', 2} (t)} d t = \frac{1}{f^{'} (a)} - \frac{1}{f^{'} (b)}

et donc

| \int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f^{'} (t)} e^{2 i π f (t)} d t | \leq \frac{1}{2 π} (\frac{1}{| f^{'} (b) |} + \frac{1}{| f^{'} (a) |} + \frac{1}{f^{'} (a)} - \frac{1}{f^{'} (b)}) .

Selon le signe (constant) de $f^{'}$ , le terme en $f^{'} (b)$ ou le terme en $f^{'} (a)$ se simplifie et l’on obtient

| \int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f^{'} (t)} e^{2 i π f (t)} d t | \leq \frac{1}{μ π} .

[<] Calcul de primitives [>] Changement de variable

Édité le 29-08-2023

	$\int_{0}^{1} \arctan (t) d t$	$= {[t \arctan (t)]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$
		$= \frac{π}{4} - \frac{1}{2} {[\ln (1 + t^{2})]}_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2} .$

	$\int_{0}^{1 / 2} \arcsin (t) d t$	$= {[t \arcsin (t)]}_{0}^{1 / 2} - \int_{0}^{1 / 2} \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$
		$= \frac{π}{12} + {[\sqrt{1 - t^{2}}]}_{0}^{1 / 2} = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 .$

	$\int_{0}^{1} t \arctan (t) d t$	$= \frac{1}{2} {[t^{2} \arctan (t)]}_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1 + t^{2}} d t$
		$= \frac{π}{8} - \frac{1}{2} {[t - \arctan (t)]}_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} .$

Intégration par parties