[<] Calcul de primitives [>] Changement de variable

 
Exercice 1  1979  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    tln(t)dt

  • (b)

    tarctan(t)dt

  • (c)

    tsin3(t)dt

Solution

  • (a)

    Par intégration par parties

    tln(t)dt=12t2ln(t)-12tdt=12t2ln(t)-14t2+Cte.
  • (b)

    Par intégration par parties

    tarctan(t)dt=12t2arctan(t)-12t2dt1+t2

    puis en écrivant

    t2t2+1=1-11+t2

    on obtient

    tarctan(t)dt=12((t2+1)arctan(t)-t)+Cte.
  • (c)

    En écrivant sin2(t)=1-cos2(t)

    tsin3(t)dt=tsin(t)dt-tsin(t)cos2(t)dt.

    D’une part

    tsin(t)dt=sin(t)-tcos(t)+Cte.

    D’autre part, par intégration par parties

    tsin(t)cos2(t)dt=-13tcos3(t)+13cos3(t)dt

    avec

    cos3(t)dt=cos(t)dt-cos(t)sin2(t)dt=sin(t)-13sin3(t).

    Finalement,

    tsin3(t)dt=23sin(t)-tcos(t)+13tcos3(t)+19sin3(t)+Cte.
 
Exercice 2  263  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    (t2-t+1)e-tdt

  • (b)

    (t-1)sin(t)dt

  • (c)

    (t+1)ch(t)dt

Solution

Par intégration par parties

  • (a)

    (t2-t+1)e-tdt=-(t2+t+2)e-t+Cte.

  • (b)

    (t-1)sin(t)dt=sin(t)+(1-t)cos(t)+Cte.

  • (c)

    (t+1)ch(t)dt=(t+1)sh(t)-ch(t)+Cte.

 
Exercice 3  4769  

Calculer par intégration par parties:

  • (a)

    01(t-1)e2tdt

  • (b)

    01ln(t2+1)dt

  • (c)

    01/2arcsin(t)dt

  • (d)

    0πtsin(t)dt

  • (e)

    0π/4tcos2(t)dt.

 
Exercice 4  287  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    01arctan(t)dt

  • (b)

    01/2arcsin(t)dt

  • (c)

    01tarctan(t)dt

Solution

Par intégration par parties

  • (a)
    01arctan(t)dt =[tarctan(t)]01-01t1+t2dt
    =π4-12[ln(1+t2)]01=π4-ln(2)2.
  • (b)
    01/2arcsin(t)dt =[tarcsin(t)]01/2-01/2t1-t2dt
    =π12+[1-t2]01/2=π12+32-1.
  • (c)
    01tarctan(t)dt =12[t2arctan(t)]01-1201t21+t2dt
    =π8-12[t-arctan(t)]01=π4-12.
 
Exercice 5  283  Correction  

Calculer

01ln(1+t2)dt.

Solution

Par intégration par parties,

01ln(1+t2)dt=[tln(1+t2)]01-012t21+t2dt.

En écrivant

2t21+t2=2-21+t2

on obtient

01ln(1+t2)dt=ln(2)-2[t-arctan(t)]01=ln(2)-2+π2.
 
Exercice 6  1980   Correction  

Calculer

1eπsin(ln(t))dt.

Solution

Par deux intégrations par parties,

1eπsin(ln(t))dt =[tsin(ln(t))]1eπ-1eπcos(ln(t))dt
=-[tcos(ln(t))]1eπ-1eπsin(ln(t))dt

donc

1eπsin(ln(t))dt=-12[tcos(ln(t))]1eπ=eπ+12.
 
Exercice 7  4781   

Calculer

01/2earcsin(t)dt.
 
Exercice 8  5257   

Calculer

01t(arctan(t))2dt.
 
Exercice 9  3089      X (MP)Correction  

Soient (a,b)2, μ+* et f𝒞2([a;b],) telles que

x[a;b],|f(x)|μetf monotone.

Montrer

|abe2iπf(t)dt|1μπ.

Solution

Écrivons

abe2iπf(t)dt=abf(t)f(t)e2iπf(t)dt.

Par intégration par parties

abf(t)f(t)e2iπf(t)dt=[e2iπf(t)2iπf(t)]ab+12iπabf′′(t)f(t)2e2iπf(t)dt.

Quitte à considérer -f, supposons f′′0

|abf′′(t)f(t)2e2iπf(t)dt|abf′′(t)f2(t)dt=1f(a)-1f(b)

et donc

|abf(t)f(t)e2iπf(t)dt|12π(1|f(b)|+1|f(a)|+1f(a)-1f(b)).

Selon le signe (constant) de f, le terme en f(b) ou le terme en f(a) se simplifie et l’on obtient

|abf(t)f(t)e2iπf(t)dt|1μπ.

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Édité le 08-11-2019

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