[<] Intégration par parties [>] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles

 
Exercice 1  1982  Correction  

Déterminer les primitives suivantes en procédant par changement de variable:

  • (a)

    dtt+t3

  • (b)

    ln(t)dtt+t(ln(t))2

  • (c)

    e2tdtet+1

  • (d)

    dttt2-1.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable u=t,

    dtt+t3 =2uduu+u3=2du1+u2
    =2arctan(u)+Cte=2arctan(t)+Cte.
  • (b)

    Par le changement de variable u=ln(t),

    ln(t)dtt+t(ln(t))2 =ueudueu+euu2=udu1+u2
    =12ln(1+u2)+Cte=12ln(1+ln2(t))+Cte.
  • (c)

    Par le changement de variable u=et,

    e2tdtet+1 =uduu+1=1-1u+1du
    =u-ln(1+u)+Cte=et-ln(1+et)+Cte.
  • (d)

    Par le changement de variable u=t2-1,

    dttt2-1=duu2+1=arctan(t2-1)+Cte.
 
Exercice 2  282  Correction  

Calculer les intégrales suivantes par changement de variable:

  • (a)

    0πsin(t)3+cos2(t)dt

  • (b)

    12dtt+2t

  • (c)

    12ln(1+t)-ln(t)t2dt

  • (d)

    1edtt+t(ln(t))2

  • (e)

    1edttln(t)+1

  • (f)

    01t21-t2dt

  • (g)

    12ln(t)tdt.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable x=cos(t),

    0πsin(t)3+cos2(t)dt=-11dx3+x2=13[arctan(x3)]-11=π33.
  • (b)

    Par le changement de variable x=t,

    12dtt+2t=122dx1+2x=[ln(1+2x)]12=ln(1+22)-ln(3).
  • (c)

    Par le changement de variable x=1/t,

    12ln(1+t)-ln(t)t2dt=-11/2ln(x+1)dx=3/22ln(x)dx=72ln(2)-32ln(3)-12.
  • (d)

    Par le changement de variable u=ln(t),

    1edtt+t(ln(t))2=01du1+u2=π4.
  • (e)
    1edttln(t)+1=u=ln(t)01duu+1=[2u+1]01=2(2-1).
  • (f)

    Par le changement de variable t=sin(u),

    01t21-t2dt=0π/2sin2(u)cos2(u)du=140π/2sin2(2u)du=π16.
  • (g)

    Par le changement de variable u=t,

    12ln(t)tdt =122ln(u2)du=4[uln(u)-u]12
    =22ln(2)-42+4.
 
Exercice 3  4768  

Calculer par changement de variable:

  • (a)

    01dtet+1

  • (b)

    0π/2cos(t)2-cos2(t)dt

  • (c)

    12dtt+t3.

 
Exercice 4  4785  

Calculer

011-t2dt.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

 
Exercice 5  4784  

Calculer

01dtch(t).
 
Exercice 6  4783   

Calculer

1eπsin(ln(t))dt.
 
Exercice 7  2436      CENTRALE (MP)Correction  

Calculer

03arcsin(2t1+t2)dt.

Solution

Pour t=tan(x/2) avec x[0;π[, on a

2t1+t2=sin(x).

Pour x[0;π/2], on a la simplification

arcsin(2t1+t2)=x

et pour x[π/2;π[, on a plutôt

arcsin(2t1+t2)=π-x.

Par le changement de variable t=tan(x/2), on écrit

03arcsin(2t1+t2)dt=02π/3arcsin(sin(x))2(1+tan2(x2))dx.

On découpe l’intégrale en π/2 pour employer les simplifications qui précèdent

0π/2arcsin(sin(x))2(1+tan2(x2))dx=0π/2x2(1+tan2(x2))dx.

Par intégration par parties, on poursuit

0π/2x2(1+tan2(x2))dx =[xtan(x2)]0π/2-0π/2tan(x2)dx
=π2+[2ln(cos(x2))]0π/2
=π2-ln(2).

Un calcul analogue donne aussi

π/2π/3arcsin(sin(x))2(1+tan2(x2))dx =π/22π/3π-x2(1+tan2(x2))dx
=π3-π2+ln(2).

Finalement, en sommant ces deux calculs

03arcsin(2t1+t2)dt=π3.
 
Exercice 8  1984   
  • (a)

    Observer

    0π/4ln(cos(t))dt=0π/4ln(cos(t-π4))dt.
  • (b)

    En déduire la valeur de

    0π/4ln(1+tan(t))dt.
 
Exercice 9  1985   Correction  
  • (a)

    Montrer que

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt=π4.
  • (b)

    En déduire

    01dt1-t2+t.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable x=π2-t on a

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt.

    Or

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt+0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2dt=π2

    donc

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt=π4.
  • (b)

    Via le changement de variable t=sin(x) (avec x[0;π/2])

    01dt1-t2+t=0π/2cos(x)cos(x)+sin(x)dx=π4.
 
Exercice 10  4848  

Soient a>0 et f:[-a;a] une fonction continue.

Vérifier que, si la fonction f est paire, alors

-aaf(t)dt=20af(t)dtpour tout a.

Que peut-on dire lorsque la fonction f est impaire?

 
Exercice 11  1986   
  • (a)

    Soit f:[a;b] une fonction continue.

    On suppose f(a+b-x)=f(x) pour tout x[a;b]. Montrer

    abxf(x)dx=a+b2abf(x)dx.
  • (b)

    Application: Calculer

    0πxsin(x)1+cos2(x)dx.
 
Exercice 12  4786   

En exploitant un argument de symétrie, calculer

I=0πtsin(t)1+cos2(t)dt.
 
Exercice 13  188     CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Soit f𝒞([0;1],). Établir

    0πtf(sin(t))dt=π20πf(sin(t))dt.
  • (b)

    En déduire la valeur de

    In=0πxsin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable u=π-t, on obtient

    I=0πtf(sin(t))dt=0π(π-u)f(sin(u))du

    et donc

    2I=0πtf(sin(t))dt+0π(π-u)f(sin(u))du=π0πf(sin(u))du

    puis l’identité proposée.

  • (b)

    En observant cos2n(x)=(1-sin2(x))n, on peut appliquer la relation précédente

    In=π20πsin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx.

    En coupant l’intégrale en π/2

    In=π2(0π/2sin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx+π/2πsin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx).

    En procédant au changement de variable y=π-x dans la seconde intégrale

    In=π0π/2sin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx.

    Enfin, en procédant au changement de variable y=π/2-x, on observe

    In=π0π/2cos2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx

    et l’on en déduit

    2In=π(0π/2sin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx+0π/2cos2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx)=π22.

    Finalement,

    In=π24.
 
Exercice 14  3337      CENTRALE (PSI)

Soient f:[0;1] une fonction continue et l’application φ:x3x2-2x3.

  • (a)

    Vérifier que pour tout t réel,

    φ(12+sin(t))=12+12sin(3t).
  • (b)

    Montrer

    -1/23/2f(3x2-2x3)dx=201f(3x2-2x3)dx.
 
Exercice 15  3193     CCP (MP)Correction  

Pour a et b des réels tels que ab>0, on considère

I(a,b)=ab1-x2(1+x2)1+x4dx.
  • (a)

    Calculer I(-b,-a), I(1/a,1/b) et I(1/a,a) en fonction I(a,b).

  • (b)

    Pour a,b>1, calculer I(a,b) via changement de variables v=x+1/x puis v=1/t.

  • (c)

    Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout a,b tels que ab>0.

Solution

  • (a)

    Par parité de la fonction intégrée, on a

    I(-b,-a)=I(a,b).

    Par le changement de variable u=1/t, on obtient

    I(1/a,1/b)=ab1-1t2(1+1t2)1+1t4-dtt2=I(a,b).

    En particulier

    I(1/a,a)=I(a,1/a)

    alors que par échange des bornes

    I(1/a,a)=-I(a,1/a).

    On en déduit

    I(1/a,a)=0.
  • (b)

    En procédant aux changements de variable proposés

    I(a,b)=a+1/ab+1/b-dvvv2-2=a/(a2+1)b/(b2+1)dt1-2t2

    et donc

    I(a,b)=12[arcsin(2t)]a/(a2+1)b/(b2+1).
  • (c)

    Le changement de variable v=x+1/x n’est pas bijectif quand x parcourt ]0;+[ mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans exprimer x en fonction de v. L’hypothèse a,b>1 n’a donc pas été utilisée dans l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.

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Édité le 08-11-2019

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