• (a)

  Par le changement de variable $u=\sqrt{t}$,

  	${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}+\sqrt{t^3}}}$	$={\displaystyle \int \frac{2u\mathrm{d}u}{u+u^3}}={\displaystyle \int \frac{2\mathrm{d}u}{1+u^2}}$
  		$=2\arctan (u)+C^{te}=2\arctan \left(\sqrt{t}\right)+C^{te}\text{.}$

• (b)

  Par le changement de variable $u=\ln (t)$,

  	${\displaystyle \int \frac{\ln (t)\mathrm{d}t}{t+t{\left(\ln (t)\right)}^2}}$	$={\displaystyle \int \frac{u{\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u}{{\mathrm{e}}^u+{\mathrm{e}}^u{u}^2}}={\displaystyle \int \frac{u\mathrm{d}u}{1+u^2}}$
  		$={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(1+u^2\right)+C^{te}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(1+{\ln }^2(t)\right)+C^{te}\text{.}$

• (c)

  Par le changement de variable $u={\mathrm{e}}^t$,

  	${\displaystyle \int \frac{{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^t+1}}$	$={\displaystyle \int \frac{u\mathrm{d}u}{u+1}}={\displaystyle \int 1}-{\displaystyle \frac{1}{u+1}}\mathrm{d}u$
  		$=u-\ln (1+u)+C^{te}={\mathrm{e}}^t-\ln \left(1+{\mathrm{e}}^t\right)+C^{te}\text{.}$

• (d)

  Par le changement de variable $u=\sqrt{t^2-1}$,

  $$\int \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}}=\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}=\arctan (\sqrt{t^2-1})+C^{te}\text{.}$$

• (a)

  Par le changement de variable $x=\cos (t)$,

  $${\int }_0^{\pi }\frac{\sin (t)}{3+{\cos }^2(t)}dt={\int }_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{3+x^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}{\left[\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\right]}_{-1}^1=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\text{.}$$

• (b)

  Par le changement de variable $x=\sqrt{t}$,

  $${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}+2t}={\int }_1^{\sqrt{2}}\frac{2\mathrm{d}x}{1+2x}={\left[\ln (1+2x)\right]}_1^{\sqrt{2}}=\ln (1+2\sqrt{2})-\ln (3)\text{.}$$

• (c)

  Par le changement de variable $x=1/t$,

  $${\int }_1^2\frac{\ln (1+t)-\ln (t)}{t^2}dt=-{\int }_1^{1/2}\ln (x+1)dx={\int }_{3/2}^2\ln (x)dx=\frac{7}{2}\ln (2)-\frac{3}{2}\ln (3)-\frac{1}{2}\text{.}$$

• (d)

  Par le changement de variable $u=\ln (t)$,

  $${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}t}{t+t{\left(\ln (t)\right)}^2}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\frac{\pi }{4}\text{.}$$

• (e)

  $${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\ln (t)+1}}\underset{u=\ln (t)}{=}{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u+1}}={\left[2\sqrt{u+1}\right]}_0^1=2(\sqrt{2}-1)\text{.}$$

• (f)

  Par le changement de variable $t=\sin (u)$,

  ${\displaystyle {\int }_0^1}{t}^2\sqrt{1-t^2}dt={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}}{\sin }^2(u){\cos }^2(u)du={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}}{\sin }^2(2u)du={\displaystyle \frac{\pi }{16}}\text{.}$

• (g)

  Par le changement de variable $u=\sqrt{t}$,

  	${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{\ln (t)}{\sqrt{t}}}dt$	$={\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{2}}}2\ln (u^2)du=4{\left[u\ln (u)-u\right]}_1^{\sqrt{2}}$
  		$=2\sqrt{2}\ln (2)-4\sqrt{2}+4\text{.}$

Pour $t=\tan (x/2)$ avec $x\in [0;\pi [$, on a

$$\frac{2t}{1+t^2}=\sin (x)\text{.}$$

Pour $x\in [0;\pi /2]$, on a la simplification

$$\arcsin \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)=x$$

et pour $x\in [\pi /2;\pi [$, on a plutôt

$$\arcsin \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)=\pi -x\text{.}$$

Par le changement de variable $t=\tan (x/2)$, on écrit

$${\int }_0^{\sqrt{3}}\arcsin \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)dt={\int }_0^{2\pi /3}\frac{\arcsin \left(\sin (x)\right)}{2}\left(1+{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx\text{.}$$

On découpe l’intégrale en $\pi /2$ pour employer les simplifications qui précèdent

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{\arcsin \left(\sin (x)\right)}{2}\left(1+{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{x}{2}\left(1+{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx\text{.}$$

Par intégration par parties, on poursuit

	${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}}{\displaystyle \frac{x}{2}}\left(1+{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right)dx$	$={\left[x\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right]}_0^{\pi /2}-{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}}\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)dx$
		$={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\left[2\ln \left(\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right)\right]}_0^{\pi /2}$
		$={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\ln (2)\text{.}$

Un calcul analogue donne aussi

	${\displaystyle {\int }_{\pi /2}^{\pi /3}}{\displaystyle \frac{\arcsin \left(\sin (x)\right)}{2}}\left(1+{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right)dx$	$={\displaystyle {\int }_{\pi /2}^{2\pi /3}}{\displaystyle \frac{\pi -x}{2}}\left(1+{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right)dx$
		$={\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\ln (2)\text{.}$

Finalement, en sommant ces deux calculs

$${\int }_0^{\sqrt{3}}\arcsin \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)dt=\frac{\pi }{\sqrt{3}}\text{.}$$

• (a)

  Par le changement de variable $x=\frac{\pi }{2}-t$ on a

  $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos (t)}{\cos (t)+\sin (t)}dt={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (t)}{\cos (t)+\sin (t)}dt\text{.}$$

  Or

  $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos (t)}{\cos (t)+\sin (t)}dt+{\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (t)}{\cos (t)+\sin (t)}dt={\int }_0^{\pi /2}dt=\frac{\pi }{2}$$

  donc

  $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos (t)}{\cos (t)+\sin (t)}dt={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (t)}{\cos (t)+\sin (t)}dt=\frac{\pi }{4}\text{.}$$

• (b)

  Via le changement de variable $t=\sin (x)$ (avec $x\in [0;\pi /2]$)

  $${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}+t}={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos (x)}{\cos (x)+\sin (x)}dx=\frac{\pi }{4}\text{.}$$

• (a)

  Par le changement de variable $u=\pi -t$, on obtient

  $$I={\int }_0^{\pi }tf\left(\sin (t)\right)dt={\int }_0^{\pi }(\pi -u)f\left(\sin (u)\right)du$$

  et donc

  $$2I={\int }_0^{\pi }tf\left(\sin (t)\right)dt+{\int }_0^{\pi }(\pi -u)f\left(\sin (u)\right)du=\pi {\int }_0^{\pi }f\left(\sin (u)\right)du$$

  puis l’identité proposée.

• (b)

  En observant ${\cos }^{2n}(x)={\left(1-{\sin }^2(x)\right)}^n$, on peut appliquer la relation précédente

  $$I_n=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx\text{.}$$

  En coupant l’intégrale en $\pi /2$

  $$I_n=\frac{\pi }{2}\left({\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx+{\int }_{\pi /2}^{\pi }\frac{{\sin }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx\right)\text{.}$$

  En procédant au changement de variable $y=\pi -x$ dans la seconde intégrale

  $$I_n=\pi {\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx\text{.}$$

  Enfin, en procédant au changement de variable $y=\pi /2-x$, on observe

  $$I_n=\pi {\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx$$

  et l’on en déduit

  $$2I_n=\pi \left({\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx+{\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^{2n}(x)}{{\sin }^{2n}(x)+{\cos }^{2n}(x)}dx\right)=\frac{{\pi }^2}{2}\text{.}$$

  Finalement,

  $$I_n=\frac{{\pi }^2}{4}\text{.}$$

• (a)

  Par parité de la fonction intégrée, on a

  $$I(-b,-a)=I(a,b)\text{.}$$

  Par le changement de variable $u=1/t$, on obtient

  $$I(1/a\mathrm{,1}/b)={\int }_a^b\frac{1-\frac{1}{t^2}}{\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\sqrt{1+\frac{1}{t^4}}}\frac{-\mathrm{d}t}{t^2}=I(a,b)\text{.}$$

  En particulier

  $$I(1/a,a)=I(a\mathrm{,1}/a)$$

  alors que par échange des bornes

  $$I(1/a,a)=-I(a\mathrm{,1}/a)\text{.}$$

  On en déduit

  $$I(1/a,a)=0\text{.}$$

• (b)

  En procédant aux changements de variable proposés

  $$I(a,b)={\int }_{a+1/a}^{b+1/b}\frac{-\mathrm{d}v}{v\sqrt{v^2-2}}={\int }_{a/(a^2+1)}^{b/(b^2+1)}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-2t^2}}$$

  et donc

  $$I(a,b)=\frac{1}{\sqrt{2}}{\left[\arcsin \left(\sqrt{2}t\right)\right]}_{a/(a^2+1)}^{b/(b^2+1)}\text{.}$$

• (c)

  Le changement de variable $v=x+1/x$ n’est pas bijectif quand $x$ parcourt $]0;+\mathrm{\infty }[$ mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans exprimer $x$ en fonction de $v$. L’hypothèse $a,b>1$ n’a donc pas été utilisée dans l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.