Exercice 1 1982 Correction

Déterminer les primitives suivantes en procédant par changement de variable:

(a)

$\int \frac{d t}{\sqrt{t} + \sqrt{t^{3}}}$
(b)

$\int \frac{\ln (t) d t}{t + t {(\ln (t))}^{2}}$
(c)

$\int \frac{e^{2 t} d t}{e^{t} + 1}$
(d)

$\int \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ .

Solution

(a)

Par le changement de variable $u = \sqrt{t}$ ,

$\int \frac{d t}{\sqrt{t} + \sqrt{t^{3}}}$ $= \int \frac{2 u d u}{u + u^{3}} = \int \frac{2 d u}{1 + u^{2}}$

$= 2 \arctan (u) + C^{t e} = 2 \arctan (\sqrt{t}) + C^{t e} .$
(b)

Par le changement de variable $u = \ln (t)$ ,

$\int \frac{\ln (t) d t}{t + t {(\ln (t))}^{2}}$ $= \int \frac{u e^{u} d u}{e^{u} + e^{u} u^{2}} = \int \frac{u d u}{1 + u^{2}}$

$= \frac{1}{2} \ln (1 + u^{2}) + C^{t e} = \frac{1}{2} \ln (1 + \ln^{2} (t)) + C^{t e} .$
(c)

Par le changement de variable $u = e^{t}$ ,

$\int \frac{e^{2 t} d t}{e^{t} + 1}$ $= \int \frac{u d u}{u + 1} = \int 1 - \frac{1}{u + 1} d u$

$= u - \ln (1 + u) + C^{t e} = e^{t} - \ln (1 + e^{t}) + C^{t e} .$
(d)

Par le changement de variable $u = \sqrt{t^{2} - 1}$ ,

$\int \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 1}} = \int \frac{d u}{u^{2} + 1} = \arctan (\sqrt{t^{2} - 1}) + C^{t e} .$

Exercice 2 282 Correction

Calculer les intégrales suivantes par changement de variable:

(a)

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (t)}{3 + \cos^{2} (t)} d t$
(b)

$\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{t} + 2 t}$
(c)

$\int_{1}^{2} \frac{\ln (1 + t) - \ln (t)}{t^{2}} d t$
(d)

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t + t {(\ln (t))}^{2}}$
(e)

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t \sqrt{\ln (t) + 1}}$
(f)

$\int_{0}^{1} t^{2} \sqrt{1 - t^{2}} d t$
(g)

$\int_{1}^{2} \frac{\ln (t)}{\sqrt{t}} d t$ .

Solution

(a)

Par le changement de variable $x = \cos (t)$ ,

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (t)}{3 + \cos^{2} (t)} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{d x}{3 + x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} {[\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})]}_{- 1}^{1} = \frac{π}{3 \sqrt{3}} .$
(b)

Par le changement de variable $x = \sqrt{t}$ ,

$\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{t} + 2 t} = \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{2 d x}{1 + 2 x} = {[\ln (1 + 2 x)]}_{1}^{\sqrt{2}} = \ln (1 + 2 \sqrt{2}) - \ln (3) .$
(c)

Par le changement de variable $x = 1 / t$ ,

$\int_{1}^{2} \frac{\ln (1 + t) - \ln (t)}{t^{2}} d t = - \int_{1}^{1 / 2} \ln (x + 1) d x = \int_{3 / 2}^{2} \ln (x) d x = \frac{7}{2} \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{1}{2} .$
(d)

Par le changement de variable $u = \ln (t)$ ,

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t + t {(\ln (t))}^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + u^{2}} = \frac{π}{4} .$
(e)

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t \sqrt{\ln (t) + 1}} \underset{u = \ln (t)}{=} \int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{u + 1}} = {[2 \sqrt{u + 1}]}_{0}^{1} = 2 (\sqrt{2} - 1) .$
(f)

Par le changement de variable $t = \sin (u)$ ,

$\int_{0}^{1} t^{2} \sqrt{1 - t^{2}} d t = \int_{0}^{π / 2} \sin^{2} (u) \cos^{2} (u) d u = \frac{1}{4} \int_{0}^{π / 2} \sin^{2} (2 u) d u = \frac{π}{16} .$
(g)

Par le changement de variable $u = \sqrt{t}$ ,

$\int_{1}^{2} \frac{\ln (t)}{\sqrt{t}} d t$ $= \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 \ln (u^{2}) d u = 4 {[u \ln (u) - u]}_{1}^{\sqrt{2}}$

$= 2 \sqrt{2} \ln (2) - 4 \sqrt{2} + 4 .$

Exercice 3 4768

Calculer par changement de variable:

(a)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{e^{t} + 1}$
(b)

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (t)}{2 - \cos^{2} (t)} d t$
(c)

$\int_{1}^{2} \frac{d t}{t + t^{3}}$ .

Exercice 4 4785

Calculer

\int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t .

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

Exercice 5 4784

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{d t}{ch (t)} .

Exercice 6 4783

Calculer

\int_{1}^{e^{π}} \sin (\ln (t)) d t .

Exercice 7 5612 Correction

Pour $x \in] - 1; 1 [$ , calculer

\int_{0}^{π / 2} \frac{1}{1 - x \cos (t)} d t

en réalisant le changement de variable $u = \tan (t / 2)$ .

Solution

Pour le changement de variable proposé

d u = \frac{1}{2} (1 + \tan^{2} (t / 2)) d t = \frac{1}{2} (1 + u^{2}) d t .

Aussi, on sait

\cos (t) = \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}

et l’on a donc

	$\int_{0}^{π / 2} \frac{1}{1 - x \cos (t)} d t$	$= \int_{0}^{1} \frac{2}{1 + u^{2} - x (1 - u^{2})} d u = 2 \int_{0}^{1} \frac{d u}{(1 - x) + (1 + x) u^{2}}$
		$= \frac{2}{1 + x} \int_{0}^{1} \frac{d u}{\frac{1 - x}{1 + x} + u^{2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}} {[\arctan (u \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})]}_{0}^{1}$
		$= \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}} \arctan (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}) .$

Exercice 8 2436 CENTRALE (MP)Correction

Calculer

\int_{0}^{\sqrt{3}} \arcsin (\frac{2 t}{1 + t^{2}}) d t .

Solution

Pour $t = \tan (x / 2)$ avec $x \in [0; π [$ , on a

\frac{2 t}{1 + t^{2}} = \sin (x) .

Pour $x \in [0; π / 2]$ , on a la simplification

\arcsin (\frac{2 t}{1 + t^{2}}) = x

et pour $x \in [π / 2; π [$ , on a plutôt

\arcsin (\frac{2 t}{1 + t^{2}}) = π - x .

Par le changement de variable $t = \tan (x / 2)$ , on écrit

\int_{0}^{\sqrt{3}} \arcsin (\frac{2 t}{1 + t^{2}}) d t = \int_{0}^{2 π / 3} \frac{\arcsin (\sin (x))}{2} (1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})) d x .

On découpe l’intégrale en $π / 2$ pour employer les simplifications qui précèdent

\int_{0}^{π / 2} \frac{\arcsin (\sin (x))}{2} (1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})) d x = \int_{0}^{π / 2} \frac{x}{2} (1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})) d x .

Par intégration par parties, on poursuit

	$\int_{0}^{π / 2} \frac{x}{2} (1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})) d x$	$= {[x \tan (\frac{x}{2})]}_{0}^{π / 2} - \int_{0}^{π / 2} \tan (\frac{x}{2}) d x$
		$= \frac{π}{2} + {[2 \ln (\cos (\frac{x}{2}))]}_{0}^{π / 2}$
		$= \frac{π}{2} - \ln (2) .$

Un calcul analogue donne aussi

	$\int_{π / 2}^{π / 3} \frac{\arcsin (\sin (x))}{2} (1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})) d x$	$= \int_{π / 2}^{2 π / 3} \frac{π - x}{2} (1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})) d x$
		$= \frac{π}{\sqrt{3}} - \frac{π}{2} + \ln (2) .$

Finalement, en sommant ces deux calculs

\int_{0}^{\sqrt{3}} \arcsin (\frac{2 t}{1 + t^{2}}) d t = \frac{π}{\sqrt{3}} .

Exercice 9 1984

(a)

Observer

$\int_{0}^{π / 4} \ln (\cos (t)) d t = \int_{0}^{π / 4} \ln (\cos (t - \frac{π}{4})) d t .$
(b)

En déduire la valeur de

$\int_{0}^{π / 4} \ln (1 + \tan (t)) d t .$

Exercice 10 1985 Correction

(a)

Montrer que

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t = \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t = \frac{π}{4} .$
(b)

En déduire

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}} + t} .$

Solution

(a)

Par le changement de variable $x = \frac{π}{2} - t$ on a

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t = \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t .$

Or

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t + \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t = \int_{0}^{π / 2} d t = \frac{π}{2}$

donc

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t = \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (t)}{\cos (t) + \sin (t)} d t = \frac{π}{4} .$
(b)

Via le changement de variable $t = \sin (x)$ (avec $x \in [0; π / 2]$ )

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}} + t} = \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} d x = \frac{π}{4} .$

Exercice 11 4848

Soient $a > 0$ et $f : [- a; a] \to ℝ$ une fonction continue.

Vérifier que, si la fonction $f$ est paire, alors

\int_{- a}^{a} f (t) d t = 2 \int_{0}^{a} f (t) d t pour tout a \in ℝ .

Que peut-on dire lorsque la fonction $f$ est impaire?

Exercice 12 1986

(a)

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction continue.

On suppose $f (a + b - x) = f (x)$ pour tout $x \in [a; b]$ . Montrer

$\int_{a}^{b} x f (x) d x = \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f (x) d x .$
(b)

Application : Calculer

$\int_{0}^{π} \frac{x \sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x .$

Exercice 13 4786

En exploitant un argument de symétrie, calculer

I = \int_{0}^{π} \frac{t \sin (t)}{1 + \cos^{2} (t)} d t .

Exercice 14 188 CENTRALE (MP)Correction

(a)

Soit $f \in 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ . Établir

$\int_{0}^{π} t f (\sin (t)) d t = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin (t)) d t .$
(b)

En déduire la valeur de

$I_{n} = \int_{0}^{π} \frac{x \sin^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x .$

Solution

(a)

Par le changement de variable $u = π - t$ , on obtient

$I = \int_{0}^{π} t f (\sin (t)) d t = \int_{0}^{π} (π - u) f (\sin (u)) d u$

et donc

$2 I = \int_{0}^{π} t f (\sin (t)) d t + \int_{0}^{π} (π - u) f (\sin (u)) d u = π \int_{0}^{π} f (\sin (u)) d u$

puis l’identité proposée.
(b)

En observant $\cos^{2 n} (x) = {(1 - \sin^{2} (x))}^{n}$ , on peut appliquer la relation précédente

$I_{n} = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x .$

En coupant l’intégrale en $π / 2$

$I_{n} = \frac{π}{2} (\int_{0}^{π / 2} \frac{\sin^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x + \int_{π / 2}^{π} \frac{\sin^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x) .$

En procédant au changement de variable $y = π - x$ dans la seconde intégrale

$I_{n} = π \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x .$

Enfin, en procédant au changement de variable $y = π / 2 - x$ , on observe

$I_{n} = π \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x$

et l’on en déduit

$2 I_{n} = π (\int_{0}^{π / 2} \frac{\sin^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x + \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos^{2 n} (x)}{\sin^{2 n} (x) + \cos^{2 n} (x)} d x) = \frac{π^{2}}{2} .$

Finalement,

$I_{n} = \frac{π^{2}}{4} .$

Exercice 15 3337 CENTRALE (PSI)

Soient $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue et l’application $φ : x \mapsto 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

(a)

Vérifier que pour tout $t$ réel,

$φ (\frac{1}{2} + \sin (t)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (3 t) .$
(b)

Montrer

$\int_{- 1 / 2}^{3 / 2} f (3 x^{2} - 2 x^{3}) d x = 2 \int_{0}^{1} f (3 x^{2} - 2 x^{3}) d x .$

Exercice 16 3193 CCINP (MP)Correction

Pour $a$ et $b$ des réels tels que $a b > 0$ , on considère

I (a, b) = \int_{a}^{b} \frac{1 - x^{2}}{(1 + x^{2}) \sqrt{1 + x^{4}}} d x .

(a)

Calculer $I (- b, - a)$ , $I (1 / a,1 / b)$ et $I (1 / a, a)$ en fonction $I (a, b)$ .
(b)

Pour $a, b > 1$ , calculer $I (a, b)$ via changement de variables $v = x + 1 / x$ puis $v = 1 / t$ .
(c)

Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout $a, b$ tels que $a b > 0$ .

Solution

(a)

Par parité de la fonction intégrée, on a

$I (- b, - a) = I (a, b) .$

Par le changement de variable $u = 1 / t$ , on obtient

$I (1 / a,1 / b) = \int_{a}^{b} \frac{1 - \frac{1}{t^{2}}}{(1 + \frac{1}{t^{2}}) \sqrt{1 + \frac{1}{t^{4}}}} \frac{- d t}{t^{2}} = I (a, b) .$

En particulier

$I (1 / a, a) = I (a,1 / a)$

alors que par échange des bornes

$I (1 / a, a) = - I (a,1 / a) .$

On en déduit

$I (1 / a, a) = 0 .$
(b)

En procédant aux changements de variable proposés

$I (a, b) = \int_{a + 1 / a}^{b + 1 / b} \frac{- d v}{v \sqrt{v^{2} - 2}} = \int_{a / (a^{2} + 1)}^{b / (b^{2} + 1)} \frac{d t}{\sqrt{1 - 2 t^{2}}}$

et donc

$I (a, b) = \frac{1}{\sqrt{2}} {[\arcsin (\sqrt{2} t)]}_{a / (a^{2} + 1)}^{b / (b^{2} + 1)} .$
(c)

Le changement de variable $v = x + 1 / x$ n’est pas bijectif quand $x$ parcourt $] 0; + \infty [$ mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans exprimer $x$ en fonction de $v$ . L’hypothèse $a, b > 1$ n’a donc pas été utilisée dans l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.

Exercice 17 6021 Correction

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ continue. Établir

\int_{0}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x = \int_{0}^{π / 2} f (\sin^{2} (x)) \sin (x) d x .

Solution

La première intégrale explore les valeurs de $f$ pour une variable allant de $0$ à $1$ puis de $1$ à $0$ tandis que la deuxième intégrale explore les valeurs de $f$ seulement pour la variable allant de $0$ à $1$ : on commence par découper la première intégrale en deux avant de la recombiner en une seule intégrale:

\int_{0}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x = \int_{0}^{π / 4} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x + \int_{π / 4}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x .

Par le changement de variable $t = π / 2 - x$ ,

\int_{π / 4}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x = \int_{0}^{π / 4} f (\sin (2 t)) \cos (t) d t

puis on recombine

	$\int_{0}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x$	$= \int_{0}^{π / 4} f (\sin (2 x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$
		$= \int_{0}^{π / 4} f (\sin (2 x)) \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) d x .$

Par le changement de variable $t = π / 4 - x$ ,

	$\int_{0}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x$	$= \int_{0}^{π / 4} f (\cos (2 t)) \sqrt{2} \cos (t) d t$
		$= \int_{0}^{π / 4} f (1 - 2 \sin^{2} (t)) \sqrt{2} \cos (t) d t .$

Par le changement de variable $s = \sqrt{2} \sin (t)$ ,

\int_{0}^{π / 2} f (\sin (2 x)) \sin (x) d x = \int_{0}^{1} f (1 - s^{2}) d s .

Parallèlement, le changement de variable $s = \cos (x)$ donne

\int_{0}^{π / 2} f (\sin^{2} (x)) \sin (x) d x = \int_{0}^{1} f (1 - s^{2}) d s .

Les deux intégrales étudiées sont donc égales.

[<] Intégration par parties [>] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles

Édité le 12-05-2025

	$\int \frac{d t}{\sqrt{t} + \sqrt{t^{3}}}$	$= \int \frac{2 u d u}{u + u^{3}} = \int \frac{2 d u}{1 + u^{2}}$
		$= 2 \arctan (u) + C^{t e} = 2 \arctan (\sqrt{t}) + C^{t e} .$

	$\int \frac{\ln (t) d t}{t + t {(\ln (t))}^{2}}$	$= \int \frac{u e^{u} d u}{e^{u} + e^{u} u^{2}} = \int \frac{u d u}{1 + u^{2}}$
		$= \frac{1}{2} \ln (1 + u^{2}) + C^{t e} = \frac{1}{2} \ln (1 + \ln^{2} (t)) + C^{t e} .$

	$\int \frac{e^{2 t} d t}{e^{t} + 1}$	$= \int \frac{u d u}{u + 1} = \int 1 - \frac{1}{u + 1} d u$
		$= u - \ln (1 + u) + C^{t e} = e^{t} - \ln (1 + e^{t}) + C^{t e} .$

	$\int_{1}^{2} \frac{\ln (t)}{\sqrt{t}} d t$	$= \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 \ln (u^{2}) d u = 4 {[u \ln (u) - u]}_{1}^{\sqrt{2}}$
		$= 2 \sqrt{2} \ln (2) - 4 \sqrt{2} + 4 .$

Changement de variable