[<] Changement de variable [>] Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle

 
Exercice 1  1232   

Déterminer des primitives des expressions réelles proposées en indiquant les intervalles de validité:

  • (a)

    1x3-x

  • (b)

    x-2x(x+1)2

  • (c)

    x+1x3+x

  • (d)

    x-1x2+2x+2

  • (e)

    xx3-1

  • (f)

    xx4+1.

 
Exercice 2  1233   Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    01dxx2+x+1

  • (b)

    01xx3+1dx

  • (c)

    01arctan(x)(x+1)2dx

Solution

  • (a)
    01dxx2+x+1=[23arctan(2x+13)]01=π33.
  • (b)

    Par décomposition en éléments simples,

    01xx3+1dx =[16ln(x2-x+1(x+1)2)+13arctan(2x-13)]01
    =-13ln(2)+π33.
  • (c)

    Par intégration par parties,

    01arctan(x)(x+1)2dx=[-arctan(x)x+1]01+01dx(x+1)(x2+1)

    On décompose

    1(x+1)(x2+1)=121x+1+12-x+1x2+1

    et l’on a

    dx(x+1)(x2+1)=12ln(|x+1|)-14ln(x2+1)+12arctan(x)+Cte

    puis

    01arctan(x)(x+1)2dx=-π8+12ln(2)-14ln(2)+π8=ln(2)4.
 
Exercice 3  4775   

Soient p et q deux réels. Déterminer sur ses intervalles de définition une primitive de

x1x2+2px+q

en discutant selon le signe de11 1 Le réel Δ correspond au quart du discriminant usuel du trinôme x2+2px+q: on l’appelle discriminant réduit. Dans le contexte, il permet de proposer une expression simple des racines du trinôme à savoir -p±Δ lorsque Δ0. Δ=p2-q.

 
Exercice 4  1234   

Soit n*. On souhaite exprimer la primitive sur s’annulant en 0 de la fonction

fn:x1(1+x2)n.
  • (a)

    Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée.

Celle-ci est désormais notée Fn.

  • (b)

    Former une relation de récurrence entre Fn+1 et Fn.

  • (c)

    Exprimer F2(x) et F3(x) pour tout x réel.

 
Exercice 5  1961   

Soit λ d’écriture algébrique a+ib. Déterminer une primitive sur de

t1t-λ.

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Édité le 08-11-2019

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