Exercice 1 1235 Correction

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

(a)

$\frac{1}{e^{x} + 1}$
(b)

$\frac{1}{e^{2 x} + e^{x}}$
(c)

$\sqrt{e^{x} - 1}$
(d)

$\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2 x}}}$

Solution

(a)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{d x}{e^{x} + 1} = \int 1 - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x = x - \ln (e^{x} + 1) + C^{t e} .$
(b)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{d x}{e^{2 x} + e^{x}}$ $\underset{u = e^{x}}{=} \int \frac{d u}{u^{2} (u + 1)}$

$= - \ln (| u |) + \ln (| u + 1 |) - \frac{1}{u} + C^{t e} = - x + \ln (e^{x} + 1) - e^{- x} + C^{t e} .$
(c)

Sur $[0; + \infty [$ ,

$\int \sqrt{e^{x} - 1} d x \underset{t = \sqrt{e^{x} - 1}}{=} \int \frac{2 t^{2}}{t^{2} + 1} d t = 2 \sqrt{e^{x} - 1} - 2 \arctan (\sqrt{e^{x} - 1}) + C^{t e} .$
(d)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{d x}{\sqrt{1 + e^{2 x}}}$ $\underset{u = \sqrt{1 + e^{2 x}}}{=} \int \frac{d u}{u^{2} - 1}$

$= \frac{1}{2} \ln (\frac{\sqrt{1 + e^{2 x} - 1}}{\sqrt{1 + e^{2 x} + 1}}) + C^{t e} = \ln (\sqrt{1 + e^{2 x}} - 1) - x + C^{t e} .$

Exercice 2 1237 Correction

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

(a)

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$
(b)

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$
(c)

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$
(d)

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Solution

(a)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{\cos (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x \underset{u = \sin (x)}{=} \int \frac{d u}{2 - u^{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{1}{u + \sqrt{2}} - \frac{1}{u - \sqrt{2}} d u = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln | \frac{\sin (x) + \sqrt{2}}{\sin (x) - \sqrt{2}} | + C^{t e} .$
(b)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x \underset{u = \cos (x)}{=} \int - \frac{d u}{2 - u^{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln | \frac{\cos (x) - \sqrt{2}}{\cos (x) + \sqrt{2}} | + C^{t e} .$
(c)

Sur $I_{k} =] \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + (k + 1) π [, k \in ℤ$ ,

$\int \frac{d x}{\cos^{4} (x)} \underset{u = \tan (x)}{=} \int 1 + u^{2} d u = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C^{t e} .$
(d)

Sur $I_{k} =] \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + (k + 1) π [, k \in ℤ$

$\int \frac{d x}{\cos^{3} (x)} = \int \frac{\cos (x) d x}{{(1 - \sin^{2} (x))}^{2}} \underset{t = \sin (x)}{=} \int \frac{d t}{{(1 - t^{2})}^{2}} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{{(1 - t)}^{2}} + \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} d t$

donc

$\int \frac{d x}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{4} \ln (\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}) + \frac{1}{2} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + C^{t e} .$

Exercice 3 3774 ENSTIM (MP)Correction

Par le changement de variable $u = \tan (t)$ , calculer

\int_{0}^{x} \frac{d t}{3 + \cos^{2} (t)} pour tout x réel.

Solution

L’intégrale est bien définie et détermine la primitive $F$ s’annulant en $0$ de la fonction continue définie sur $ℝ$

x \mapsto \frac{1}{3 + \cos^{2} (x)} .

Méthode: Le calcul de l’intégrale par le changement de variable proposé n’est possible que sur l’intervalle $I =] - π / 2; π / 2 [$ .

BOF Pour calculer, l’intégrale on est tenté de procéder au changement de variable $u = \tan (t)$ mais celui-ci n’est possible que pour $x \in] - π / 2; π / 2 [$ et alors

F (x) = \int_{0}^{\tan (x)} \frac{d u}{(4 + 3 u^{2})} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{2} \tan (x)) .

Par continuité

F (π / 2) = \frac{π}{4 \sqrt{3}} et F (- π / 2) = - \frac{π}{4 \sqrt{3}} .

Puisque la fonction intégrée est $π$ -périodique, on a

F (x + π) - F (x) = C^{t e}

avec

C^{t e} = F (π / 2) - F (- π / 2) = \frac{π}{2 \sqrt{3}} .

On peut alors calculer $F (x)$ en commençant par déterminer $k \in ℤ$ tel que

x + k π \in] - π / 2; π / 2]

puis en exploitant

F (x) = F (x + k π) - \frac{k π}{2 \sqrt{3}}

avec

F (x + k π) = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{2} \tan (x)) .

Exercice 4 5258

À l’aide du changement de variable $u = \tan (t)$ , calculer

\int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + 3 \cos^{2} (t)} pour tout x réel.

Exercice 5 1238 Correction

Déterminer une primitive sur $ℝ$ de la fonction

x \mapsto \frac{1}{3 + \cos (x)} .

Solution

Sur $I_{k} =] - π + 2 k π; π + 2 k π [$ avec $k \in ℤ$ ,

\int \frac{d x}{3 + \cos (x)} \underset{t = \tan (x) / 2}{=} \int \frac{d t}{t^{2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\tan (x / 2)}{\sqrt{2}}) + C^{t e} .

La fonction $x \mapsto \frac{1}{3 + \cos (x)}$ est définie et continue sur $ℝ$ , cherchons $F$ primitive de celle-ci sur $ℝ$ .
Pour tout $k \in ℤ$ , $F$ est primitive sur $I_{k}$ , donc il existe $C_{k} \in ℝ$ tel que sur $I_{k}$ ,

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\tan (x / 2)}{\sqrt{2}}) + C_{k} .

Par limite à droite et à gauche en $π + 2 k π$ ,

F (π + 2 k π) = \frac{π}{2 \sqrt{2}} + C_{k} = - \frac{π}{2 \sqrt{2}} + C_{k + 1} .

Par suite,

\forall k \in ℤ, C_{k} = \frac{k π}{\sqrt{2}} + C_{0} .

On peut résumer:

\exists C_{0} \in ℝ, \forall x \in ℝ, F (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\tan (x / 2)}{\sqrt{2}}) + \frac{k π}{\sqrt{2}} + C_{0} & si x \in I_{k} \\ \frac{2 k + 1}{2 \sqrt{2}} π + C_{0} & si x = π + 2 k π . \end{matrix}

Cela détermine la fonction $F$ à une constante près.

Inversement, étant assuré de l’existence de $F$ , on peut affirmer que de telles fonctions sont bien primitives de $x \mapsto \frac{1}{3 + \cos (x)}$ .

Exercice 6 1239 Correction

Calculer:

(a)

$\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{2 + \cos (x)}$
(b)

$\int_{0}^{π / 4} \frac{d x}{1 + \sin (x) \cos (x)}$
(c)

$\int_{0}^{2 π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)}$

Solution

(a)

$\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{2 + \cos (x)} \underset{t = \tan (\frac{x}{2})}{=} \int_{0}^{1} \frac{2 d t}{3 + t^{2}} = \frac{π}{3 \sqrt{3}}$ .
(b)

$\int_{0}^{π / 4} \frac{d x}{1 + \sin (x) \cos (x)} \underset{t = \tan (x)}{=} \int_{0}^{1} \frac{d t}{t^{2} + t + 1} = \frac{π}{3 \sqrt{3}}$ .
(c)

Par la relation de Chasles

$I$ $= \int_{0}^{2 π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)}$

$= \int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} + \int_{π / 2}^{π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} + \int_{π}^{3 π / 2} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} + \int_{3 π / 2}^{2 π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} .$

Via des changements de variable affines adéquates,

$I = 4 \int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} .$

Sur $] - π / 2; π / 2 [$ ,

$\int \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} \underset{t = \tan (x)}{=} \int \frac{d t}{t^{2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\tan (x)}{\sqrt{2}}) + C .$

Soit $F$ une primitive de $\frac{1}{1 + \cos^{2} (x)}$ sur $[0; π / 2]$ .
Il existe $C \in ℝ$ tel que $F (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\tan (x)}{\sqrt{2}}) + C$ sur $[0; π / 2 [$ et par continuité

$F (π / 2) = \frac{π}{2 \sqrt{2}} + C .$

Finalement, $\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} = {[F (x)]}_{0}^{π / 2} = \frac{π}{2 \sqrt{2}}$ puis $I = \sqrt{2} π$ .

Exercice 7 1236 Correction

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{e^{x} + 1}} .

Solution

Par le changement de variable $u = \sqrt{e^{x} + 1}$ ,

	$\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{e^{x} + 1}}$	$= \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e + 1}} \frac{2 d u}{u^{2} - 1} = {[\ln (\frac{u - 1}{u + 1})]}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e + 1}}$
		$= \ln (\frac{(\sqrt{e + 1} - 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{e + 1} + 1) (\sqrt{2} - 1)}) .$

Exercice 8 1240

Soit $α \in] 0; π [$ . Par le changement de variable $t = \tan (x / 2)$ , calculer

\int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (α)}{1 + \cos (x) \cos (α)} d x .

Exercice 9 1241 Correction

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

(a)

$\frac{th (x)}{1 + ch (x)}$
(b)

$\frac{ch (x)}{1 + {ch}^{2} (x)}$
(c)

$\frac{ch (x)}{sh (x) + ch (x)}$
(d)

$\frac{1}{{ch}^{3} (x)}$

Solution

(a)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{th (x)}{1 + ch (x)} d x$ $\underset{u = ch (x)}{=} \int \frac{d u}{u (1 + u)}$

$= \ln (ch (x)) - \ln (ch (x) + 1) + C^{t e} .$
(b)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{ch (x)}{1 + {ch}^{2} (x)} d x$ $\underset{u = sh (x)}{=} \int \frac{d u}{2 + u^{2}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{sh (x)}{\sqrt{2}}) + C^{t e} .$
(c)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{ch (x) d x}{sh (x) + ch (x)}$ $\underset{u = th (x)}{=} \int - \frac{d u}{(u - 1) {(u + 1)}^{2}}$

$= \frac{1}{4} \ln (| \frac{th (x) + 1}{th (x) - 1} |) - \frac{1}{2} \frac{1}{1 + th (x)} + C^{t e}$

ou encore

$\int \frac{ch (x) d x}{sh (x) + ch (x)}$ $= \int \frac{e^{x} + e^{- x}}{2 e^{x}} d x$

$= \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{2 x}} d x$

$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4 e^{2 x}} + C^{t e} .$
(d)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{d x}{{ch}^{3} (x)}$ $= \int \frac{ch (x)}{{(1 + {sh}^{2} (x))}^{2}} d t$

$\underset{t = sh (x)}{=} \int \frac{d t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \arctan (sh (x)) + \frac{1}{2} \frac{sh (x)}{{ch}^{2} (x)} + C^{t e} .$

Exercice 10 1242 Correction

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{d x}{ch (x)} .

Solution

Par changement de variable

\int_{0}^{1} \frac{d x}{ch (x)} \underset{t = e^{x}}{=} \int_{1}^{e} \frac{2 d t}{t^{2} + 1} = 2 \arctan (e) - \frac{π}{2} .

Exercice 11 1243 Correction

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

(a)

$\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}$
(b)

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$
(c)

$\sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}}$

Solution

(a)

Sur $[- 1; + \infty [$ , $\int \frac{x d x}{1 + \sqrt{x + 1}} \underset{u = \sqrt{x + 1}}{=} \int \frac{2 u (u^{2} - 1)}{1 + u} d u = \int 2 u (u - 1) d u = \frac{2}{3} {\sqrt{x + 1}}^{3} - x + C^{t e}$ .
(b)

Sur $[0; + \infty [$ , $\int \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} d x \underset{u = \sqrt{x}}{=} \int 2 u \frac{1 - u}{1 + u} d u = 2 \int - u + 2 - \frac{2}{1 + u} d u = - x + 4 \sqrt{x} - 4 \ln (1 + \sqrt{x}) + C^{t e}$ .
(c)

Sur $] - \infty; 1]$ ou $] 2; + \infty [$ , $\int \sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}} d x = \int \frac{- 2 y^{2} d y}{{(y - 1)}^{2} {(y + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{y + 1} - \frac{1}{2} \ln | \frac{y - 1}{y + 1} | + C^{t e}$
donc $\int \sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}} d x = \sqrt{(x - 1) (x - 2)} - \frac{1}{2} \ln (\frac{\sqrt{| x - 1 | - \sqrt{| x - 2 |}}}{\sqrt{| x - 1 | + \sqrt{| x - 2 |}}}) + C^{t e}$ .

Exercice 12 1244 Correction

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

(a)

$\frac{x + 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}$
(b)

$\frac{x}{\sqrt{(x - 1) (3 - x)}}$
(c)

$\sqrt{x - x^{2} + 6}$
(d)

$\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
(e)

$\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$
(f)

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Solution

(a)

Sur $] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [$ ,

$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$ $\underset{x = \sqrt{2} \sin (t)}{=} \int \sqrt{2} \sin (t) + 1 d t$

$= - \sqrt{2} \cos (t) + t + C^{t e}$

$= - \sqrt{2 - x^{2}} + \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C^{t e} .$
(b)

Sur $] 1; 3 [$ ,

$\int \frac{x d x}{\sqrt{(x - 1) (3 - x)}}$ $\underset{x = 2 + \sin (t)}{=} \int 2 + \sin (t) d t$

$= 2 \arcsin (x - 2) - \sqrt{(x - 1) (3 - x)} + C^{t e} .$
(c)

$x - x^{2} + 6 = - (x - 3) (x + 2)$ , $x = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \sin (t)$ . Sur $[- 2; 3]$ ,

$\int \sqrt{x - x^{2} + 6} d x$ $= \int \frac{25}{4} \cos^{2} (t) d t = \frac{25}{8} \int \cos (2 t) + 1 d t$

$= \frac{2 x - 1}{4} \sqrt{x - x^{2} + 6} + \frac{25}{8} \arcsin (\frac{2 x - 1}{5}) + C^{t e} .$
(d)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$ $\underset{x = sh (t)}{=} \int sh (t) + 1 d t$

$= \sqrt{1 + x^{2}} + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + C^{t e} .$
(e)

Sur $ℝ$ ,

$\int \frac{d x}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $\underset{x = sh (t)}{=} \int \frac{ch (t) d t}{sh (t) + ch (t)}$

$= \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

$= \frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{1}{4} \frac{1}{{(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{2}} + C^{t e} .$
(f)

Sur $[1; + \infty [$ (et de même sur $] - \infty; - 1]$ ),

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$ $\underset{x = ch (t)}{=} \int \frac{{sh}^{2} (t)}{ch (t)} d t$

$\underset{u = sh (t)}{=} \int \frac{u^{2}}{1 + u^{2}} d u$

$= \sqrt{x^{2} - 1} - \arctan (\sqrt{x^{2} - 1}) + C^{t e} .$

Exercice 13 1245 Correction

Sur $] - 1 / 2; + \infty [$ , déterminer

\int \frac{d x}{(2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 1}} .

Solution

On écrit le trinôme sous forme canonique

x^{2} + x + 1 = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}

ce qui invite au changement de variable

x + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} sh (t) d x = \frac{\sqrt{3}}{2} ch (t) d t

qui donne

\int \frac{d x}{(2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 1}} = \int \frac{d t}{\sqrt{3} sh (t)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{sh (t) d t}{{ch}^{2} (t) - 1} \underset{u = ch (t)}{=} \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{d u}{u^{2} - 1}

et enfin

\int \frac{d x}{(2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 1}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \ln (\frac{2 \sqrt{x^{2} + x + 1} - \sqrt{3}}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1} + \sqrt{3}}) + C^{t e} .

Exercice 14 1246 Correction

Calculer les intégrales suivantes:

(a)

$\int_{1}^{3} \frac{d x}{\sqrt{x} (x + 3)}$
(b)

$\int_{0}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x + 1} (x + 4)}$
(c)

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}$

Solution

(a)

$\int_{1}^{3} \frac{d x}{\sqrt{x} (x + 3)} \underset{t = \sqrt{x}}{=} \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2 d t}{t^{2} + 3} = \frac{2}{\sqrt{3}} {[\arctan (\frac{t}{\sqrt{3}})]}_{1}^{3} = \frac{π}{6 \sqrt{3}}$ .
(b)

$\int_{0}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x + 1} (x + 4)} \underset{t = \sqrt{x + 1}}{=} \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2 d t}{t^{2} + 3} = \frac{2}{\sqrt{3}} {[\arctan (\frac{t}{\sqrt{3}})]}_{1}^{\sqrt{3}} = \frac{π}{6 \sqrt{3}}$ .
(c)

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} \underset{u = \sqrt{1 + x}}{=} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{2 u d u}{u + \sqrt{2 - u^{2}}} \underset{u = \sqrt{2} \sin (θ)}{=} 2 \sqrt{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) + \cos (θ)} d θ$ .
$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = 2 \sqrt{2} \int_{0}^{1} \frac{4 t (1 - t^{2}) d t}{(- t^{2} + 2 t + 1) {(1 + t^{2})}^{2}} = 2 \sqrt{2} \int_{0}^{1} - \frac{1}{1 + t^{2}} + 2 \frac{1 + t}{{(1 + t^{2})}^{2}} + \frac{1}{t^{2} - 2 t - 1} d t$
Au final $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = 2 \sqrt{2} - 2 \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

Exercice 15 4777

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + x + 1} d x .

[<] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles [>] Calcul de primitives ou d'intégrales par une incursion complexe

Édité le 29-08-2023

	$\int \frac{d x}{e^{2 x} + e^{x}}$	$\underset{u = e^{x}}{=} \int \frac{d u}{u^{2} (u + 1)}$
		$= - \ln (\| u \|) + \ln (\| u + 1 \|) - \frac{1}{u} + C^{t e} = - x + \ln (e^{x} + 1) - e^{- x} + C^{t e} .$

	$\int \frac{d x}{\sqrt{1 + e^{2 x}}}$	$\underset{u = \sqrt{1 + e^{2 x}}}{=} \int \frac{d u}{u^{2} - 1}$
		$= \frac{1}{2} \ln (\frac{\sqrt{1 + e^{2 x} - 1}}{\sqrt{1 + e^{2 x} + 1}}) + C^{t e} = \ln (\sqrt{1 + e^{2 x}} - 1) - x + C^{t e} .$

	$I$	$= \int_{0}^{2 π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)}$
		$= \int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} + \int_{π / 2}^{π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} + \int_{π}^{3 π / 2} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} + \int_{3 π / 2}^{2 π} \frac{d x}{1 + \cos^{2} (x)} .$

	$\int \frac{th (x)}{1 + ch (x)} d x$	$\underset{u = ch (x)}{=} \int \frac{d u}{u (1 + u)}$
		$= \ln (ch (x)) - \ln (ch (x) + 1) + C^{t e} .$

	$\int \frac{ch (x)}{1 + {ch}^{2} (x)} d x$	$\underset{u = sh (x)}{=} \int \frac{d u}{2 + u^{2}}$
		$= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{sh (x)}{\sqrt{2}}) + C^{t e} .$

	$\int \frac{ch (x) d x}{sh (x) + ch (x)}$	$\underset{u = th (x)}{=} \int - \frac{d u}{(u - 1) {(u + 1)}^{2}}$
		$= \frac{1}{4} \ln (\| \frac{th (x) + 1}{th (x) - 1} \|) - \frac{1}{2} \frac{1}{1 + th (x)} + C^{t e}$

	$\int \frac{ch (x) d x}{sh (x) + ch (x)}$	$= \int \frac{e^{x} + e^{- x}}{2 e^{x}} d x$
		$= \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{2 x}} d x$
		$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4 e^{2 x}} + C^{t e} .$

	$\int \frac{d x}{{ch}^{3} (x)}$	$= \int \frac{ch (x)}{{(1 + {sh}^{2} (x))}^{2}} d t$
		$\underset{t = sh (x)}{=} \int \frac{d t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$
		$= \frac{1}{2} \arctan (sh (x)) + \frac{1}{2} \frac{sh (x)}{{ch}^{2} (x)} + C^{t e} .$

	$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$	$\underset{x = \sqrt{2} \sin (t)}{=} \int \sqrt{2} \sin (t) + 1 d t$
		$= - \sqrt{2} \cos (t) + t + C^{t e}$
		$= - \sqrt{2 - x^{2}} + \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C^{t e} .$

	$\int \frac{x d x}{\sqrt{(x - 1) (3 - x)}}$	$\underset{x = 2 + \sin (t)}{=} \int 2 + \sin (t) d t$
		$= 2 \arcsin (x - 2) - \sqrt{(x - 1) (3 - x)} + C^{t e} .$

	$\int \sqrt{x - x^{2} + 6} d x$	$= \int \frac{25}{4} \cos^{2} (t) d t = \frac{25}{8} \int \cos (2 t) + 1 d t$
		$= \frac{2 x - 1}{4} \sqrt{x - x^{2} + 6} + \frac{25}{8} \arcsin (\frac{2 x - 1}{5}) + C^{t e} .$

	$\int \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$	$\underset{x = sh (t)}{=} \int sh (t) + 1 d t$
		$= \sqrt{1 + x^{2}} + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + C^{t e} .$

	$\int \frac{d x}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$	$\underset{x = sh (t)}{=} \int \frac{ch (t) d t}{sh (t) + ch (t)}$
		$= \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$
		$= \frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{1}{4} \frac{1}{{(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{2}} + C^{t e} .$

	$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$	$\underset{x = ch (t)}{=} \int \frac{{sh}^{2} (t)}{ch (t)} d t$
		$\underset{u = sh (t)}{=} \int \frac{u^{2}}{1 + u^{2}} d u$
		$= \sqrt{x^{2} - 1} - \arctan (\sqrt{x^{2} - 1}) + C^{t e} .$

Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle