On recherche $M$ triangulaire inférieure de la forme

$$M=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill x\hfill & \hfill 3\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Pour $x=1/5$, ça marche.

Une matrice $X$ solution commute avec $A$.
En étudiant l’équation $AX=XA$ coefficients par coefficients, on observe que $X$ est de la forme

$$\left(\begin{array}{ccc}\hfill a\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill x\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b\hfill & \hfill y\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill c\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Pour une telle matrice, l’équation $X^2=A$ équivaut au système:

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a^2& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill b^2& =4\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill c^2& =16\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill (a+c)x& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill (b+c)y& =2\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Les solutions sont donc

$$\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1/5\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1/3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1/3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1/3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1/5\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1/3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1/3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -4\hfill \end{array}\right)\text{ etc.}$$