Exercice 1 1263

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques réelles soit une matrice symétrique.

Exercice 2 5192

Montrer que toute matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.

Exercice 3 5483 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer que $A$ est antisymétrique si, et seulement si, $X^{⊤} A X = 0$ pour tout $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

Solution

$(⟹)$ Supposons la matrice $A$ antisymétrique: $A^{⊤} = - A$ .

Pour toute colonne $X$ , $X^{⊤} A X$ est une matrice uni-coefficient et donc égale à sa transposée. Or

{(X^{⊤} A X)}^{⊤} = X^{⊤} A^{⊤} X = - X^{⊤} A X .

Ainsi, $X^{⊤} A X = - X^{⊤} A X$ et le réel $X^{⊤} A X$ est donc nul.

$(⟸)$ Supposons $X^{⊤} A X = 0$ pour tout $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ et notons $a_{i, j}$ le coefficient général de la matrice $A$ . Introduisons aussi $(E_{1}, \dots, E_{n})$ les colonnes élémentaires de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ :

E_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}), \dots, E_{n} = (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

Pour $i \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

E_{i}^{⊤} A E_{i} = a_{i, i}

et donc $a_{i, i} = 0$ .

Pour $i, j \in ⟦ 1; n ⟧$ distincts,

{(E_{i} + E_{j})}^{⊤} A (E_{i} + E_{j}) = a_{i, i} + a_{i, j} + a_{j, i} + a_{j, j} = a_{i, j} + a_{j, i}

et donc $a_{i, j} = - a_{j, i}$ .

La matrice $A$ est alors antisymétrique.

Exercice 4 4968 X (PC)

Montrer que toute matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice nilpotente¹¹ 1 Une matrice carrée est dite nilpotente lorsque l’une de ses puissances est nulle (les suivantes l’étant alors a fortiori)..

[<] Calcul des puissances d'une matrice carrée [>] Structures constituées de matrices

Édité le 29-08-2023

Symétrie matricielle