Exercice 1 1247 Correction

Pour $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ , on note $σ (A)$ la somme des termes de $A$ .
On pose

J = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & (1) & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) .

Vérifier $J . A . J = σ (A) . J$ .

Solution

Notons

A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (𝕂) .

On a

σ (A) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{k, ℓ} .

Par produit $B = A . J = (b_{i, j})$ avec $b_{i, j} = \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{i, ℓ} .1$ et $C = J . A . J = J . B = (c_{i, j})$ avec

c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} 1 . b_{k, j} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{k, l} = σ (A) .

Ainsi $C = σ (A) . J$ .

Exercice 2 1248

On note $E_{i, j}$ et $E_{k, ℓ}$ les matrices élémentaires de $ℳ_{n, p} (𝕂)$ et $ℳ_{p, q} (𝕂)$ d’indices $(i, j)$ et $(k, ℓ)$ convenables.

Calculer

E_{i, j} \times E_{k, ℓ} .

Exercice 3 5194

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ nilpotentes¹¹ 1 On dit qu’une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est nilpotente lorsqu’il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que $A^{p} = O_{n}$ ..

On suppose que $A$ et $B$ commutent, montrer que $A + B$ est nilpotente.

Exercice 4 403 X (MP)Correction

Soit

M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in ℳ_{2} (ℝ)

avec $0 \leq d \leq c \leq b \leq a$ et $b + c \leq a + d$ .
Pour tout $n \geq 2$ , on note

M^{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix}) .

Démontrer que, pour tout $n \geq 2$ ,

b_{n} + c_{n} \leq a_{n} + d_{n} .

Solution

Pour $n \geq 1$ , en exploitant $M^{n + 1} = M \times M^{n}$ , on a

{\begin{matrix} a_{n + 1} & = a a_{n} + b c_{n} \\ b_{n + 1} & = a b_{n} + b d_{n} \\ c_{n + 1} & = c a_{n} + d c_{n} \\ d_{n + 1} & = c b_{n} + d d_{n} . \end{matrix}

Par suite,

a_{n + 1} + d_{n + 1} - (b_{n + 1} + c_{n + 1}) = (a - c) (a_{n} - b_{n}) + (b - d) (c_{n} - d_{n}) .

Sachant $a \geq c$ et $b \geq d$ , il suffit d’établir $a_{n} \geq b_{n}$ et $c_{n} \geq d_{n}$ pour conclure.
Dans le cas $n = 1$ , la propriété est vérifiée.
Dans le cas $n \geq 2$ , exploitons la relation $M^{n} = M^{n - 1} \times M$

{\begin{matrix} a_{n} & = a_{n - 1} a + b_{n - 1} c \\ b_{n} & = a_{n - 1} b + b_{n - 1} d \\ c_{n} & = c_{n - 1} a + d_{n - 1} c \\ d_{n} & = c_{n - 1} b + d_{n - 1} d . \end{matrix}

On a alors

a_{n} - b_{n} = a_{n - 1} (a - b) + b_{n - 1} (c - d) et c_{n} - d_{n} = c_{n - 1} (a - b) + d_{n - 1} (c - d) .

Puisqu’il est évident que $a_{n - 1}, b_{n - 1}, c_{n - 1}, d_{n - 1} \geq 0$ (cela se montre par récurrence), on obtient sachant $a - b \geq 0$ et $c - d \geq 0$ les inégalités permettant de conclure.
Notons que l’hypothèse $b + c \leq a + d$ ne nous a pas été utile.

Exercice 5 3976 MINES (MP)Correction

Soit $A \in {GL}_{n} (ℝ)$ vérifiant

A + A^{- 1} = I_{n} .

Pour $k \in ℕ$ , calculer $A^{k} + A^{- k}$ .

Solution

Posons $B_{k} = A^{k} + A^{- k}$ . On vérifie

(A^{k} + A^{- k}) (A + A^{- 1}) = A^{k + 1} + A^{- (k + 1)} + A^{k - 1} + A^{- (k - 1)}

et donc

B_{k} = B_{k + 1} + B_{k - 1} .

Sachant $B_{0} = 2 I_{n}$ et $B_{1} = I_{n}$ , on a par récurrence $B_{k} = λ_{k} I_{n}$ avec $(λ_{k})$ la suite récurrente linéaire double déterminée par

{\begin{matrix} λ_{0} = 2, λ_{1} = 1 \\ λ_{k + 1} = λ_{k} - λ_{k - 1} . \end{matrix}

L’équation caractéristique a pour racines

- j = e^{i π / 3} et - \bar{j}

et le terme $λ_{k}$ s’exprime

λ_{k} = α \cos (\frac{k π}{3}) + β \sin (\frac{k π}{3}) .

Après résolution connaissant $λ_{0} = 2$ et $λ_{1} = 1$ , on obtient

λ_{k} = 2 \cos (\frac{k π}{3}) .

Exercice 6 5195

On dit qu’une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est triangulaire supérieure stricte si elle est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux sont tous nuls.

(a)

Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure stricte est nilpotente.
(b)

On suppose $n = 2$ . Donner un exemple de matrice nilpotente qui ne soit pas triangulaire supérieure stricte.

Exercice 7 5190

Soient $A \in ℳ_{n, p} (ℝ)$ et $B \in ℳ_{p, n} (ℝ)$ deux matrices. On suppose

A M B = O_{n} pour toute matrice M \in ℳ_{p} (ℝ) .

Montrer qu’au moins l’une des deux matrices $A$ ou $B$ est nulle.

[>] Problèmes de commutation

Édité le 23-02-2024

Opérations sur les matrices