[>] Problèmes de commutation

 
Exercice 1  1247  Correction  

Pour An(𝕂), on note σ(A) la somme des termes de A.
On pose

J=(11(1)11).

Vérifier J.A.J=σ(A).J.

Solution

Notons

A=(ai,j)n(𝕂).

On a

σ(A)=k=1n=1nak,.

Par produit B=A.J=(bi,j) avec bi,j==1nai,.1 et C=J.A.J=J.B=(ci,j) avec

ci,j=k=1n1.bk,j=k=1n=1nak,l=σ(A).

Ainsi C=σ(A).J.

 
Exercice 2  1248  

On note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de n,p(𝕂) et p,q(𝕂) d’indices (i,j) et (k,) convenables.

Calculer

Ei,j×Ek,.
 
Exercice 3  5194  

Soient A et B deux matrices de n(𝕂) nilpotentes11 1 On dit qu’une matrice An(𝕂) est nilpotente lorsqu’il existe p* tel que Ap=On..

On suppose que A et B commutent, montrer que A+B est nilpotente.

 
Exercice 4  403     X (MP)Correction  

Soit

M=(abcd)2()

avec 0dcba et b+ca+d.
Pour tout n2, on note

Mn=(anbncndn).

Démontrer que, pour tout n2,

bn+cnan+dn.

Solution

Pour n1, en exploitant Mn+1=M×Mn, on a

{an+1=aan+bcnbn+1=abn+bdncn+1=can+dcndn+1=cbn+ddn.

Par suite,

an+1+dn+1-(bn+1+cn+1)=(a-c)(an-bn)+(b-d)(cn-dn).

Sachant ac et bd, il suffit d’établir anbn et cndn pour conclure.
Dans le cas n=1, la propriété est vérifiée.
Dans le cas n2, exploitons la relation Mn=Mn-1×M

{an=an-1a+bn-1cbn=an-1b+bn-1dcn=cn-1a+dn-1cdn=cn-1b+dn-1d.

On a alors

an-bn=an-1(a-b)+bn-1(c-d) et cn-dn=cn-1(a-b)+dn-1(c-d).

Puisqu’il est évident que an-1,bn-1,cn-1,dn-10 (cela se montre par récurrence), on obtient sachant a-b0 et c-d0 les inégalités permettant de conclure.
Notons que l’hypothèse b+ca+d ne nous a pas été utile.

 
Exercice 5  3976     MINES (MP)Correction  

Soit AGLn() vérifiant

A+A-1=In.

Pour k, calculer Ak+A-k.

Solution

Posons Bk=Ak+A-k. On vérifie

(Ak+A-k)(A+A-1)=Ak+1+A-(k+1)+Ak-1+A-(k-1)

et donc

Bk=Bk+1+Bk-1.

Sachant B0=2In et B1=In, on a par récurrence Bk=λkIn avec (λk) la suite récurrente linéaire double déterminée par

{λ0=2,λ1=1λk+1=λk-λk-1.

L’équation caractéristique a pour racines

-j=eiπ/2et-j¯

et le terme λk s’exprime

λk=αcos(kπ3)+βsin(kπ3)

Après résolution connaissant λ0=2 et λ1=1, on obtient

λk=2cos(kπ3).
 
Exercice 6  5195   

On dit qu’une matrice An(𝕂) est triangulaire supérieure stricte si elle est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux sont tous nuls.

  • (a)

    Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure stricte est nilpotente.

  • (b)

    On suppose n=2. Donner un exemple de matrice nilpotente qui ne soit pas triangulaire supérieure stricte.

 
Exercice 7  5190   

Soient An,p() et Bp,n() deux matrices. On suppose

AMB=On pour toute matrice Mp().

Montrer qu’au moins l’une des deux matrices A ou B est nulle.

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Édité le 08-11-2019

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