Exercice 1 4219

(Matrices de permutation)

Soient $n$ un entier au moins égal à $2$ et $𝒮_{n}$ l’ensemble des permutations¹¹ 1 Une permutation de $⟦ 1; n ⟧$ est une bijection de l’ensemble $⟦ 1; n ⟧$ vers lui-même. Il est remarquable que la composée de deux permutations de $⟦ 1; n ⟧$ et la bijection réciproque d’une permutation de $⟦ 1; n ⟧$ sont des permutations de $⟦ 1; n ⟧$ . de $⟦ 1; n ⟧$ . On appelle matrice d’une permutation $σ$ de $𝒮_{n}$ , la matrice déterminée par

P (σ) = {(δ_{i, σ (j)})}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (ℝ) avec δ_{i, j} = {\begin{matrix} 1 & si i = j \\ 0 & si i \neq j . \end{matrix}

(a)

On suppose $n = 3$ . Déterminer les matrices $P (σ)$ et $P (σ^{'})$ pour les permutations de ${1,2,3}$ données par

$(σ (1), σ (2), σ (3)) = (2,1,3) et (σ^{'} (1), σ^{'} (2), σ^{'} (3)) = (2,3,1) .$
(b)

Vérifier $P (σ \circ σ^{'}) = P (σ) P (σ^{'})$ pour tous $σ$ et $σ^{'}$ dans $𝒮_{n}$ .
(c)

Soit $σ \in 𝒮_{n}$ . Justifier que $P (σ)$ est inversible d’inverse ${(P (σ))}^{⊤}$ .

Exercice 2 4220

(Matrice stochastique)

On dit qu’une matrice $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si

\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} = 1 pour tout i \in ⟦ 1; n ⟧ .

(a)

Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille $n$ est stable pour la multiplication matricielle.
(b)

À quelle condition une matrice stochastique est-elle inversible tout en ayant pour inverse une matrice stochastique?

Exercice 3 1268 Correction

Soit $E$ l’ensemble des matrices de $ℳ_{2} (𝕂)$ de la forme

M = (\begin{matrix} a + b & b \\ - b & a - b \end{matrix}) avec (a, b) \in 𝕂^{2} .

(a)

Montrer que $E$ est un sous-anneau commutatif de $ℳ_{2} (𝕂)$ .
(b)

Déterminer les inversibles de $E$ .
(c)

Déterminer les diviseurs de zéro de $E$ , c’est-à-dire les matrices $M$ et $N \in E$ vérifiant $M N = O_{2}$ avec $M, N \neq O_{2}$ .

Solution

(a)

Considérons

$I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) et J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}) .$

Les matrices de $E$ sont celles s’écrivant

$M = a I + b J avec a, b \in 𝕂$

$E \subset ℳ_{2} (𝕂)$ , $I \in E$ . Soient $M = a I + b J \in E$ et $N = c I + d J \in E$ .
$M - N = (a - c) I + (b - d) J \in E$ et $M N = (a c) I + (a c + b d) J$ car $J^{2} = O$ .
Ainsi, $E$ est un sous-anneau de $ℳ_{2} (𝕂)$ . De plus, $M N = N M$ donc $E$ commutatif.
(b)

Avec les notations précédentes $M N = I$ si, et seulement si,

${\begin{matrix} a c = 1 \\ a d + b c = 0 . \end{matrix}$

Par suite, $M$ est inversible si, et seulement si, $a \neq 0$ .
(c)

Avec les notations précédentes $M N = O_{2}$ si, et seulement si,

${\begin{matrix} a c = 0 \\ a d + b c = 0 . \end{matrix}$

Les diviseurs de zéros sont donc les matrices

$(\begin{matrix} b & b \\ - b & - b \end{matrix}) avec b \in 𝕂 .$

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Édité le 29-08-2023

Structures constituées de matrices