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Exercice 1  4524  

Une matrice Mn() est dite symétrique (resp. antisymétrique) lorsque Mt=M (resp. Mt=-M). On note 𝒮n() et 𝒜n() les ensembles constitués des matrices symétriques et des matrices antisymétriques de n().

  • (a)

    Montrer que 𝒮n() et 𝒜n() sont des espaces supplémentaires de n().

  • (b)

    Préciser leurs dimensions respectives.

 
Exercice 2  5126  Correction  

(Les quaternions)

On note l’ensemble des matrices

M(a,b)=(ab-b¯a¯) avec a,b.
  • (a)

    Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel 2() et que celui-ci est stable par produit.

  • (b)

    Déterminer une base (I,J,K,L) de avec

    I=I2,J2=K2=L2=-IetJK=L=-KJ.
  • (c)

    Vérifier que tout élément non nul de est inversible et que son inverse appartient à .

Solution

  • (a)

    2() est un espace vectoriel complexe de dimension 4 donc aussi un espace vectoriel réel de dimension 8, c’est cette dernière structure qui est considérée ici: les scalaires sont les nombres réels, les vecteurs les matrices carrées complexes de taille 2.

    L’ensemble est une partie non vide de 2() stable par combinaison linéaire car, pour a,b,c,d et λ,μ, on vérifie

    λM(a,b)+μM(c,d)=M(λa+μc,λb+μd).

    Ainsi, est un sous-espace vectoriel l’espace réel 2().

    Au surplus, est stable par produit car, avec les mêmes notations qu’au-dessus,

    M(a,b)M(c,d)=M(ac-bd¯,ad+bc¯).
  • (b)

    et c’est donc une -algèbre. Enfin, en introduisant les parties réelles et imaginaires des nombres complexes a et b, on peut écrire

    M(a,b)=tI2+xJ+yK+zL

    avec t=Re(a), x=Im(a), y=Re(b), z=Im(b) et

    J=(i00-i),K=(01-10)etL=(0ii0)

    est l’ensemble des combinaisons linéaires réelles des quatre matrices11 1 On a les relations remarquables J2=K2=L2=-I2, JK=L, KL=J et LJ=K. I2, J, K et L. Ces dernières étant linéairement indépendantes, est un espace réel de dimension 4.

  • (c)

    Soit (a,b)2. Étudions l’inversibilité de M(a,b) dans .

    Si M(a,b)O2, on a (a,b)(0,0) et det(M(a,b))=|a|2+|b|20. On en déduit que la matrice M(a,b) est inversible dans 2(). De plus, en introduisant sa comatrice, on peut exprimer l’inverse de M(a,b) puis vérifier son appartenance à :

    (M(a,b))-1 =1det(M(a,b))(Com(M(a,b)))t=1|a|2+|b|2(a¯-bb¯a)
    =M(a¯|a|2+|b|2,-b|a|2+|b|2).

    Finalement, tout élément non nul de l’algèbre est inversible22 2 La multiplication sur n’est pas commutative et n’est donc pas un corps dans le sens où ce concept est défini dans le cours..

 
Exercice 3  4535   

Soit E l’ensemble des matrices de la forme

M(a,b,c)=(abcba+cbcba) avec a,b,c.
  • (a)

    Montrer que E est un sous-espace vectoriel de 3() et préciser sa dimension.

  • (b)

    Montrer que ABE pour tous11 1 On dit que E est stable pour le produit matriciel. A et B de E.

Soit A une matrice inversible de E.

  • (c)

    En considérant l’application f:MAM définie sur E, montrer (sans le calculer) que l’inverse de A est élément de E.

 
Exercice 4  1266   Correction  

Soit E l’ensemble des matrices de la forme

M(a,b,c)=(abc0ab00a)

avec a,b,c.
Notre objectif est d’établir que l’inverse d’une matrice inversible de E appartient encore à E, sans pour autant calculer cet inverse.

  • (a)

    Montrer que (E,+,.) est un -espace vectoriel dont on précisera la dimension.

  • (b)

    Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif.

  • (c)

    À quelle condition sur (a,b,c)3, la matrice A=M(a,b,c) est-elle inversible dans 3()? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application f:EE définie par f(X)=AX, montrer que A-1E.

Solution

  • (a)

    M(a,b,c)=a.I+b.J+c.K avec

    I=(100010001),J=(010001000) et K=J2=(001000000).

    On observe que: E=Vect(I,J,K). Par suite, E un sous-espace vectoriel de 3().
    De plus, la famille (I,J,K) est libre, c’est donc une base de E et par suite dimE=3.

  • (b)

    De plus, IE, M(a,b,c)-M(a,b,c)=M(a-a,b-b,c-c)E et M(a,b,c)M(a,b,c)=(aI+bJ+cK)(aI+bJ+cK)=aaI+(ab+ab)J+(ac+bb+ca)KE.
    Donc E est un sous-anneau de 3().
    De plus, M(a,b,c)M(a,b,c)=M(a,b,c)M(a,b,c), donc E est un anneau commutatif.

  • (c)

    A est inversible si, et seulement si, a0 (ici A est triangulaire supérieure)
    f(λ.X+μ.Y)=A(λ.X+μ.Y)=λ.AX+μ.AY=λ.f(X)+μ.f(Y). f est un endomorphisme de E.
    Soit XE, si XKer(f) alors AX=O puis A-1AX=O d’où X=O. Par suite, Ker(f)={0}
    f est un endomorphisme injectif d’un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, c’est donc un automorphisme. Par suite, il existe BE telle que f(B)=AB=I.
    En multipliant par A-1, on conclut A-1=BE.

 
Exercice 5  1268   Correction  

Soit E l’ensemble des matrices de 2(𝕂) de la forme

A=(a+bb-ba-b) avec (a,b)𝕂2.
  • (a)

    Montrer que E est un sous-espace vectoriel de 2(𝕂), en donner une base.

  • (b)

    Montrer que E est un sous-anneau commutatif de 2(𝕂).

  • (c)

    Déterminer les inversibles de E.

  • (d)

    Déterminer les diviseurs de zéro de E c’est-à-dire les matrices A et BE vérifiant AB=O2 avec A,BO2.

Solution

  • (a)

    E=Vect(I,J) avec

    J=(11-1-1).

    La famille (I,J) forme une base de E car cette famille est évidemment libre.

  • (b)

    E2(𝕂), IE. Soient A=aI+bJE et B=cI+dJE.
    A-B=(a-c)I+(b-d)JE et AB=(ac)I+(ac+bd)J car J2=O.
    Ainsi E est un sous-anneau de 2(𝕂). De plus, AB=BA donc E commutatif.

  • (c)

    Avec les notations précédentes AB=I si, et seulement si,

    {ac=1ad+bc=0.

    Par suite, A est inversible si, et seulement si, a0.

  • (d)

    Avec les notations précédentes AB=O2 si, et seulement si,

    {ac=0ad+bc=0.

    Les diviseurs de zéros sont donc les matrices

    (bb-b-b) avec b𝕂.
 
Exercice 6  1563   

On dit qu’une matrice A=(ai,j)n(𝕂) est centro-symétrique lorsque

an+1-i,n+1-j=ai,jpour tout (i,j)1;n2.
  • (a)

    Décrire les matrices centro-symétriques lorsque n=2 et n=3.

On note 𝒞 le sous-espace vectoriel11 1 On vérifie aisément que la matrice nulle est centro-symétrique et qu’une combinaison linéaire de matrices centro-symétriques l’est encore. On peut aussi établir que l’espace 𝒞 est de dimension n2+12. de n(𝕂) formé des matrices centro-symétriques.

  • (b)

    Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de n(𝕂) est aussi centro-symétrique.

  • (c)

    Soit An(𝕂) une matrice centro-symétrique inversible. En considérant l’application MAM de 𝒞 vers 𝒞, montrer que A-1 est centro-symétrique.

 
Exercice 7  4219    

(Matrices de permutation)

Soient n un entier au moins égal à 2 et 𝒮n l’ensemble des permutations11 1 Une permutation de 1;n est une bijection de l’ensemble 1;n vers lui-même. Il est remarquable que la composée de deux permutations de 1;n et la bijection réciproque d’une permutation de 1;n sont des permutations de 1;n. de 1;n. On appelle matrice d’une permutation σ de 𝒮n, la matrice déterminée par

P(σ)=(δi,σ(j))1i,jnn()avecδi,j={1 si i=j0 si ij.
  • (a)

    On suppose n=3. Déterminer les matrices P(σ) et P(σ) pour les permutations de {1,2,3} données par

    (σ(1),σ(2),σ(3))=(2,1,3)et(σ(1),σ(2),σ(3))=(2,3,1)
  • (b)

    Vérifier P(σσ)=P(σ)P(σ) pour tous σ et σ dans 𝒮n.

  • (c)

    Soit σ𝒮n. Justifier que P(σ) est inversible d’inverse (P(σ))t.

 
Exercice 8  5120  

(Matrice stochastique)

On dit qu’une matrice A=(ai,j) de n() est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si

j=1nai,j=1pour tout i1;n.
  • (a)

    L’ensemble des matrices stochastiques constitue-t-il un espace vectoriel pour les opérations usuelles?

  • (b)

    Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille n est stable pour la multiplication des matrices.

 
Exercice 9  4220    

(Matrice stochastique)

On dit qu’une matrice A=(ai,j)n() est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si

j=1nai,j=1pour tout i1;n.
  • (a)

    Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille n est stable pour la multiplication des matrices.

  • (b)

    À quelle condition une matrice stochastique est-elle inversible tout en ayant pour inverse une matrice stochastique?

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Édité le 08-11-2019

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