[<] Opérations sur les matrices [>] Matrices carrées inversibles

 
Exercice 1  697  Correction  

On suppose que A,Bn(𝕂) commutent et que A est inversible.
Justifier que les matrices A-1 et B commutent.

Solution

Il suffit d’écrire

A-1B=A-1(BA)A-1=A-1(AB)A-1=BA-1.
 
Exercice 2  1249  

Soit Dn(𝕂) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux λ1,,λn sont deux à deux distincts.

Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec D.

 
Exercice 3  3422   

Soient A,Bn(𝕂) vérifiant AB=A+B. Montrer que A et B commutent.

 
Exercice 4  4534   

Soit n avec n2.

  • (a)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de n(𝕂).

  • (b)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de GLn(𝕂).

  • (c)

    Soit An(𝕂). On suppose que pour toutes matrices M et N de n(𝕂),

    A=MNA=NM.

    Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A=λIn.

 
Exercice 5  2689     MINES (MP)Correction  

Soient n*, α1,,αn des complexes distincts, A=diag(α1,,αn) et

C(A)={Mn(),AM=MA}.

Montrer que (Ak)0kn-1 est une base de C(A).

Solution

En étudiant l’égalité AM=MA, on justifie C(A)=Dn(). C(A) est donc un sous-espace vectoriel de dimension n. De plus, il contient évidemment les éléments Ak pour k{0,,n-1} (et, plus généralement, tout polynôme en A).

Supposons

λ0In+λ1A++λn-1An-1=0.

Pour tout i=1,,n, on a

λ0+λ1αi++λn-1αin-1=0.

Le polynôme P=λ0+λ1X++λn-1Xn-1 s’annule en chaque αi et possède donc plus de racines que son degré. On peut alors affirmer P=0 puis λ0==λn-1=0.

La famille (Ak)0kn-1 est une famille libre à n éléments de C(A), c’en est donc une base

 
Exercice 6  3166   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices symétriques.

Solution

Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soient i<j{1,,n}.
La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,j+Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j+Ej,i)=(Ei,j+Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,i=aj,j.

La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,i ce qui permet d’écrire

AEi,i=Ei,iA.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,j=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.

La réciproque est immédiate.

 
Exercice 7  3167   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Solution

Cas: n=2. Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice

(01-10).

En étudiant la commutation d’une matrice de 2() avec cette dernière, on obtient que les matrices de 2() commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme

(ab-ba).

Cas: n3. Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient i<j{1,,n} et k{1,,n} avec ki,j.
La matrice A commute avec la matrice antisymétrique Ei,j-Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j-Ej,i)=(Ei,j-Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) et (k,j) donne

ai,i=aj,j et ak,i=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.
La réciproque est immédiate.

 
Exercice 8  712   Correction  

Soient D=diag(a1,,an)n(𝕂) et

φ:Mn(𝕂)DM-MD.
  • (a)

    Déterminer noyau et image de l’endomorphisme φ.

  • (b)

    Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts.

Solution

  • (a)

    DEi,j=aiEi,j et Ei,jD=ajEi,j donc

    φ(Ei,j)=(ai-aj)Ei,j.

    Posons I={(i,j)1;n2|aiaj} et J={(i,j)1;n2|ai=aj}=1;n2I.
    Pour (i,j)I, Ei,jIm(φ) et pour (i,j)J, Ei,jKer(φ).
    Ainsi,

    Vect{Ei,j|(i,j)I}Im(φ)etVect{Ei,j|(i,j)J}Ker(φ).

    Or

    dimVect{Ei,j|(i,j)I}+dimVect{Ei,j|(i,j)J}=n2=dimIm(φ)+dimKer(φ)

    donc

    dimVect{Ei,j|(i,j)I}=dimIm(φ)

    et

    dimVect{Ei,j|(i,j)J}=dimKer(φ)

    puis

    Vect{Ei,j|(i,j)I}=Im(φ)etVect{Ei,j|(i,j)J}=Ker(φ).
  • (b)

    Si D est à coefficients diagonaux distincts alors

    I={(i,j)1;n2|ij}etJ={(i,i)|i1;n}.

    Par suite, Im(φ) est l’espace des matrices de diagonale nulle tandis que Ker(φ) est l’espace des matrices diagonales.

 
Exercice 9  3164      CENTRALE (MP)

Soit Mn() une matrice triangulaire supérieure.

Montrer que MtM=MMt si, et seulement si, la matrice M est diagonale.

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Édité le 08-11-2019

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