[<] Opérations sur les matrices [>] Matrices carrées inversibles

 
Exercice 1  697  Correction  

On suppose que A,Bn(𝕂) commutent et que A est inversible.
Justifier que les matrices A-1 et B commutent.

Solution

Il suffit d’écrire

A-1B=A-1(BA)A-1=A-1(AB)A-1=BA-1.
 
Exercice 2  1249  

Soit Dn(𝕂) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux λ1,,λn sont deux à deux distincts.

Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec D.

 
Exercice 3  3422   

Soient A,Bn(𝕂) vérifiant AB=A+B. Montrer que A et B commutent.

 
Exercice 4  4534   

Soit n avec n2.

  • (a)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de n(𝕂).

  • (b)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de GLn(𝕂).

  • (c)

    Soit An(𝕂). On suppose que pour toutes matrices M et N de n(𝕂),

    A=MNA=NM.

    Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A=λIn.

 
Exercice 5  3166   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices symétriques.

Solution

Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soient i<j{1,,n}.
La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,j+Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j+Ej,i)=(Ei,j+Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,i=aj,j.

La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,i ce qui permet d’écrire

AEi,i=Ei,iA.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,j=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.

La réciproque est immédiate.

 
Exercice 6  3167   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Solution

Cas: n=2. Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice

(01-10).

En étudiant la commutation d’une matrice de 2() avec cette dernière, on obtient que les matrices de 2() commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme

(ab-ba).

Cas: n3. Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient i<j{1,,n} et k{1,,n} avec ki,j.
La matrice A commute avec la matrice antisymétrique Ei,j-Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j-Ej,i)=(Ei,j-Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) et (k,j) donne

ai,i=aj,j et ak,i=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.
La réciproque est immédiate.

 
Exercice 7  3164      CENTRALE (MP)

Soit Mn() une matrice triangulaire supérieure.

Montrer que MM=MM si, et seulement si, la matrice M est diagonale.

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Édité le 29-08-2023

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