[<] Opérations sur les matrices [>] Matrices carrées inversibles
On suppose que commutent et que est inversible.
Justifier que les matrices et commutent.
Solution
Il suffit d’écrire
Soit une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts.
Déterminer les matrices de commutant avec .
Soient vérifiant . Montrer que et commutent.
Soit avec .
Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de .
Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de .
Soit . On suppose que pour toutes matrices et de ,
Montrer qu’il existe tel que .
Soit . Déterminer les matrices de commutant avec toutes les matrices symétriques.
Solution
Soit une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soient .
La matrice commute avec la matrice symétrique ce qui permet d’écrire
L’égalité des coefficients d’indice donne
La matrice commute avec la matrice symétrique ce qui permet d’écrire
L’égalité des coefficients d’indice donne
On en déduit que la matrice est de la forme avec .
La réciproque est immédiate.
Soit . Déterminer les matrices de commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Solution
Cas: . Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice
En étudiant la commutation d’une matrice de avec cette dernière, on obtient que les matrices de commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme
Cas: .
Soit une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient et avec .
La matrice commute avec la matrice antisymétrique ce qui permet d’écrire
L’égalité des coefficients d’indice et donne
On en déduit que la matrice est de la forme avec .
La réciproque est immédiate.
Soit une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que si, et seulement si, la matrice est diagonale.
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Édité le 29-08-2023
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