[<] Équations à inconnue matricielle

 
Exercice 1  1294  Correction  

Résoudre en fonction du paramètre m, les systèmes suivants d’inconnues complexes:

  • (a)

    {x-y+z=mx+my-z=1x-y-z=1

  • (b)

    {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2

  • (c)

    {mx+y+z+t=1x+my+z+t=mx+y+mz+t=m+1

Solution

  • (a)

    Si m=-1 alors

    𝒮={(y,y,-1)|y}.

    Si m-1 alors

    𝒮={(m+12,0,m-12)}.
  • (b)

    On a

    rg(m111m111m)={1 si m=12 si m=-23 sinon.

    Si m1 et m-2 alors

    𝒮={(-1+m2+m,12+m,(1+m)22+m)}.

    Si m=1 alors

    𝒮={(x,y,1-x-y)|x,y}.

    Si m=-2 alors système incompatible

    𝒮=.
  • (c)

    Si m=1: système incompatible

    𝒮=.

    Si m1,

    {mx+y+z+t=1x+my+z+t=mx+y+mz+t=m+1{x+y+mz+t=m+1(1-m)y+(m-1)z=1(m+2)z+t=m(m+1)m-1

    et donc

    S={(z-mm-1,y=z-1m-1,z,m(m+1)m-1-(m+2)z)|z}.
 
Exercice 2  1296  Correction  

Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:

{x1+x2+x3++xn=1x1+2x2+2x3++2xn=1x1+2x2+3x3++3xn=1x1+2x2+3x3++nxn=1.

Solution

Par les opérations élémentaires: LnLn-Ln-1,,L2L2-L1 on obtient le système équivalent:

{x1+x2++xn=1x2++xn=0xn-1+xn=0xn=0.

Donc

𝒮={(1,0,,0)}.
 
Exercice 3  1295   Correction  

Soient a,b. Résoudre le système:

{ax+by+z=1x+aby+z=bx+by+az=1.

Solution

{ax+by+z=1x+aby+z=bx+by+az=1.
{x+by+az=1b(1-a)y+(1-a2)z=1-ab(a-1)y+(1-a)z=b-1,.
{x+by+az=1b(1-a)y+(1-a2)z=1-a(1-a)(2+a)z=b-a.

Cas: a1, a-2 et b0.

x=a-b(a-1)(a+2),y=ab-2+b(a-1)(a+2)b,z=a-b(a-1)(a+2).

Cas: a1, a-2 et b=0. On doit avoir simultanément

(1-a2)z=1-a et (1-a)(2+a)z=-a

ce qui est incompatible: 𝒮=.

Cas: a=1.

{x+by+z=10=00=b-1.

Si b1 alors 𝒮=.

Si b=1 alors 𝒮:x+y+z=1.

Cas: a=-2.

{x+by-2z=13by-3z=30=b+2.

Si b-2 alors 𝒮=.
Si b=-2 alors

{x=-1-2yz=-1-2y.
 
Exercice 4  2579     CCP (MP)Correction  

Résoudre, en discutant selon a,b, le système

{ax+y+z+t=1x+ay+z+t=bx+y+az+t=b2x+y+z+at=b3.

Solution

La matrice de ce système carré n’est pas inversible lorsque a=1 ou a=-3.

Cas: a=1. Le système est compatible si, et seulement si, b=1 et ses solutions sont les quadruplets (x,y,z,t) vérifiant

x+y+z+t=1.

Cas: a=-3. En sommant les quatre équations, on obtient l’équation de compatibilité 0=1+b+b2+b3.

Si b{i,-1,-i} alors le système est incompatible.

Si b{i,-1,-i}, on conduit la résolution

{x-3y+z+t=bx+y-3z+t=b2x+y+z-3t=b3. {x-3y+z+t=b4y-4z=b2-b4y-4t=b3-b.
{x=y+12b+14b2+14b3z=y+14(b-b2)t=y+14(b-b3)

ce qui permet d’exprimer la droite des solutions.
Cas: a{1,-3}. C’est un système de Cramer…

Sa solution est

x =2+a-b-b2-b32a-3+a2, y=ab-1+2b-b2-b32a-3+a2,
z =ab2-1-b+2b2-b32a-3+a2, t=ab3-1-b-b2+2b32a-3+a2.
 
Exercice 5  2560     CCP (MP)Correction  

Résoudre, en discutant selon a,b, le système

{ax+2by+2z=12x+aby+2z=b2x+2by+az=1.

Solution

{ax+2by+2z=12x+aby+2z=b2x+2by+az=1{2x+2by+az=1b(a-2)y+(2-a)z=b-1(a-2)x+(2-a)z=0.

Si a=2, on parvient au système

{2x+2by+2z=10=b-1.

Dans le cas b1, le système est incompatible.
Dans le cas b=1, on parvient à l’équation 2x+2y+2z=1.
Si a2, on parvient au système

{2x+2by+az=1by-z=b-1a-2x-z=0

puis

{(a+4)z=a-2ba-2by=z+b-1a-2x=z.

Dans le cas a=-4, le système n’est compatible que si b=-2 et l’on parvient au système

{x=z-4y=2z+1.

Dans le cas b=0, le système est incompatible.
Dans le cas général restant, on parvient à

x=z=a-2b(a-2)(a+4),y=ab+2b-4b(a-2)(a+4).
 
Exercice 6  1297    Correction  

Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:

{x1+x2=0x1+x2+x3=0x2+x3+x4=0xn-2+xn-1+xn=0xn-1+xn=0.

Solution

{x1+x2=0x1+x2+x3=0x2+x3+x4=0xn-2+xn-1+xn=0xn-1+xn=0
{x1=x1,x2=-x1,x3=0x4=x1,x5=-x1,x6=0xn={0 si n=0[3]x1 si n=1[3]-x1 si n=2[3]xn-1+xn=0.

Donc si n2[3] alors

𝒮={(0,0,0)}

et si n=2[3] alors

𝒮={(x,-x,0,x,-x,0,,x,-x)|x}.
 
Exercice 7  5323  Correction  

Soit An(𝕂). On suppose qu’il existe une colonne Y0n,1(𝕂) telle que l’équation AX=Y0 d’inconnue Xn,1(𝕂) possède une unique solution X0.

Montrer que pour tout Yn,1(𝕂), l’équation AX=Y admet une unique solution.

Solution

Méthode: On montre que la matrice A est inversible en observant que son noyau est réduit à la colonne nulle ().

Soit XKer(A). On a AX=0 et donc A(X0+X)=Y0. Par unicité de la solution à l’équation AX=Y0, on obtient X0+X=X0 et donc X=0. Ainsi, le noyau de A est réduit à la colonne nulle11 1 Aussi, on peut affirmer que l’ensemble des solutions de l’équation linéaire AX=Y est soit vide, soit égal à un sous-espace affine de direction Ker(A). Ici, lorsque Y=Y0, l’ensemble des solutions est réduit à un point ce qui entraîne que le noyau de A est réduit à l’élément nul. et l’on peut affirmer que la matrice carrée A est inversible.

On en déduit que, pour tout Yn,1(𝕂), l’équation AX=Y admet une unique solution qui est X=A-1Y.

 
Exercice 8  1292  

Soit m. Donner la dimension des sous-espaces vectoriels de 3 suivants:

  • (a)

    F={(x,y,z)3|x+my+z=0 et mx+y+z=0}.

  • (b)

    G={(x,y,z)3|mx+y+z=x+my+z=x+y+mz=0}.

 
Exercice 9  1293  Correction  

On considère, pour m paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de 3:

F={(x,y,z)3|x+my+z=0 et mx+y-mz=0}

et

G={(x,y,z)3|x-my+z=0}.
  • (a)

    Déterminer la dimension de F et G.

  • (b)

    Discuter, selon la valeur de m, la dimension du sous-espace vectoriel FG.

Solution

  • (a)
    rg(1m1m1-m)=2

    donc dimF=1 et rg(1-m1)=1 donc dimG=2.

  • (b)
    rg(1m1m1-m1-m1)={2 si m=03 sinon

    donc

    dim(FG)={1 si m=00 sinon.
 
Exercice 10  4543   

Soient a1,,an des points du plan complexe (avec n2).

À quelle condition existe-t-il des points z1,,zn tels que, pour tout i1;n,

ai est le milieu de [zi;zi+1]

(en convenant de poser zn+1=z1)?

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Édité le 08-11-2019

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