Exercice 1 4526

Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) \in ℳ_{3} (ℝ) .

Exercice 2 1256 Correction

Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$
(c)

$C = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & - 1 \end{matrix})$

Solution

(a)

Par la méthode du pivot, on opère sur les lignes d’une matrice de blocs $A$ et $I_{n}$ pour transformer $A$ en $I_{n}$ . On sait qu’alors le bloc $I_{n}$ sera transformé en $A^{- 1}$ .

$(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

On conclut

$A^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

Par la méthode du pivot

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$

On conclut

$B^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) .$
(c)

Par la méthode du pivot

$(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 3 & - 2 & 1 & 0 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & - 2 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & - 2 \end{matrix}) .$

On conclut

$C^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & - 3 \\ 2 & 1 & - 2 \end{matrix}) .$

Exercice 3 2575 CCINP (PC)Correction

Montrer que la matrice

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

est inversible et calculer son inverse.

Solution

On a $A^{2} = 3 I + 2 A$ donc

A^{- 1} = \frac{1}{3} (A - 2 I) .

Exercice 4 1257 Correction

Justifier que

A = (\begin{matrix} 1 & (- 1) \\ ⋱ \\ 0 & 1 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ)

est inversible et déterminer $A^{- 1}$ .

Solution

$A$ est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls.
Soient $X, Y \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ . L’équation $Y = A X$ équivaut à $X = A^{- 1} Y$ or

{\begin{matrix} x_{1} - (x_{2} + \dots + x_{n}) = y_{1} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} - x_{n} = y_{n - 1} \\ x_{n} = y_{n} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x_{1} = y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} + \dots + 2^{n - 2} y_{n} \\ ⋮ \\ x_{n - 2} = y_{n - 2} + y_{n - 1} + 2 y_{n} \\ x_{n - 1} = y_{n - 1} + y_{n} \\ x_{n} = y_{n} \end{matrix}

donc

A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & \dots & 2^{n - 2} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & 2 \\ 0 & ⋱ & 1 \\ 1 \end{matrix}) .

Exercice 5 1291 Correction

Montrer que les matrices carrées d’ordre $n \geq 2$ suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & - a & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & - a \\ (0) & 1 \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 1 & (1) \\ ⋱ \\ (0) & 1 \end{matrix})$
(c)

$C = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ (0) & 1 \end{matrix})$

Solution

(a)

En effectuant successivement les opérations élémentaires: $C_{2} \leftarrow C_{2} + a C_{1}, C_{3} \leftarrow C_{3} + a C_{2}, \dots, C_{n} \leftarrow C_{n} + a C_{n - 1}$ on obtient

$A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & a & a^{2} & \dots & a^{n - 1} \\ 0 & 1 & a & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & a^{2} \\ ⋮ & ⋱ & 1 & a \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

En effectuant successivement les opérations élémentaires:
$C_{n} \leftarrow C_{n} - C_{n - 1}, C_{n - 1} \leftarrow C_{n - 1} - C_{n - 2}, \dots, C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$ , on obtient

$A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & - 1 \\ (0) & 1 \end{matrix}) .$
(c)

En effectuant successivement les opérations élémentaires: $C_{n} \leftarrow C_{n} - C_{n - 1}, C_{n - 1} \leftarrow C_{n - 1} - C_{n - 2}, \dots, C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$ ,
puis encore $C_{n} \leftarrow C_{n} - C_{n - 1}, C_{n - 1} \leftarrow C_{n - 1} - C_{n - 2}, \dots, C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$ , on obtient

$A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 & (0) \\ 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & - 2 \\ (0) & 1 \end{matrix}) .$

Exercice 6 5191

Soit $a \in ℝ$ . Calculer l’inverse de la matrice

M = (\begin{matrix} 1 & a & a^{2} & \dots & a^{n - 1} \\ 1 & a & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & a^{2} \\ ⋱ & a \\ (0) & 1 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ) .

Exercice 7 1255 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in ℳ_{2} (𝕂) .

Observer que

A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I = 0 .

À quelle condition $A$ est-elle inversible? Déterminer alors $A^{- 1}$ .

Solution

La relation $A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I = 0$ est immédiate
Si $a d - b c \neq 0$ alors $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} ((a + d) I - A) = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})$ .
Si $a d - b c = 0$ alors $A^{2} - (a + d) A = 0$ .
Par l’absurde, si $A$ est inversible, $A$ est régulière donc $A = (a + d) I$ puis $A = O$ . Absurde.

Exercice 8 1260 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 2 \\ 5 & - 3 & 3 \\ - 1 & 0 & - 2 \end{matrix}) .

(a)

Calculer ${(A + I_{3})}^{3}$ .
(b)

En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ comme combinaison linéaire des matrices $I_{3}$ , $A$ et $A^{2}$ .
(c)

Pour $n \in ℕ$ , exprimer $A^{n}$ comme combinaison linéaire des matrices $I_{3}$ , $A$ et $A^{2}$ .

Solution

(a)

On a

$A + I_{3} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 5 & - 2 & 3 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{matrix}) et {(A + I_{3})}^{2} = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 2 & 1 & - 1 \end{matrix})$

puis ${(A + I_{3})}^{3} = O_{3}$ .
(b)

Par la formule du binôme de Newton (possible car $A$ et $I_{3}$ commutent), on obtient

$A^{3} + 3 A^{2} + 3 A + I_{3} = O_{3} .$

On organise ce produit sous la forme $A B = I_{3}$ avec $B = - (A^{2} + 3 A + 3 I_{3})$ .

On en déduit que $A$ est inversible avec

$A^{- 1} = - (A^{2} + 3 A + 3 I_{3}) .$

(c)

Pour $n \leq 2$ , c’est immédiat.

Pour $n \geq 3$ , on écrit par la formule du binôme de Newton

A^{n} = {((A + I_{3}) - I_{3})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(- 1)}^{n - k} {(A + I_{3})}^{k} .

Pour $k \geq 3$ , ${(A + I_{3})}^{k} = O_{3}$ et l’on peut tronquer la somme

A^{n} = \sum_{k = 0}^{2} (\binom{n}{k}) {(- 1)}^{n - k} {(A + I_{3})}^{k}

puis on concrétise

	$A^{n}$	$= {(- 1)}^{n} (\binom{n}{0}) I_{3} + {(- 1)}^{n - 1} (\binom{n}{1}) (A + I_{3}) + {(- 1)}^{n - 2} (\binom{n}{2}) (A^{2} + 2 A + I_{3})$
		$= {(- 1)}^{n} (1 - n + \frac{n (n - 1)}{2}) I_{3} + {(- 1)}^{n} (n (n - 1) - n) A + \frac{n (n - 1)}{2} A^{2}$
		$= {(- 1)}^{n} \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} I_{3} + {(- 1)}^{n} n (n - 2) A + \frac{n (n - 1)}{2} A^{2} .$

Il est remarquable que cette écriture obtenue pour $n \geq 3$ est aussi valable pour $n \leq 2$ et même $n = - 1$ !

Exercice 9 1261 Correction

Soit $A = (1 - δ_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$

(a)

Calculer $A^{2}$ .
(b)

Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ .

Solution

(a)

On écrire $A = J - I_{n}$ avec $J^{2} = n J$ . On en déduit

$A^{2} = (n - 2) J + I_{n} = (n - 2) A + (n - 1) I_{n} .$
(b)

On a $A B = I_{n}$ pour $B = \frac{1}{n - 1} (A - (n - 2) I_{n})$ . On en déduit que $A$ est inversible avev $A^{- 1} = B$ .

Exercice 10 2988 Correction

Pour $n \geq 2$ , on considère la matrice $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ déterminée par

a_{i, j} = {\begin{matrix} 1 & si i \neq j \\ 0 & sinon \end{matrix}

Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ .

Solution

On introduit la matrice $J \in ℳ_{n} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ . On remarque $A = J - I_{n}$ et $J^{2} = n J$ donc

A^{2} = J^{2} - 2 J + I_{n} = (n - 2) J + I_{n} = (n - 2) A + (n - 1) I_{n} .

On réorganise cette identité en

\frac{1}{n - 1} (A - (n - 2) I_{n}) A = I_{n} .

On en déduit que $A$ est inversible avec

A^{- 1} = \frac{1}{n - 1} (A - (n - 2) I_{n}) .

Exercice 11 1259

Soient $n \in ℕ ∖ {0,1}$ , $ω = e^{2 i π / n}$ et la matrice

A = {(ω^{(k - 1) (ℓ - 1)})}_{1 \leq k, ℓ \leq n} \in ℳ_{n} (ℂ) .

On note $\bar{A}$ la matrice conjuguée de $A$ , c’est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $A$ .

Calculer $A \bar{A}$ . La matrice $A$ est-elle inversible? Exprimer son inverse si c’est le cas.

Exercice 12 3420 Correction

Soient $A, B, C \in ℳ_{n} (𝕂)$ ( $n \geq 2$ ) non nulles vérifiant

A B C = O_{n} .

Montrer qu’au moins deux des matrices $A, B, C$ ne sont pas inversibles.

Solution

Supposons $A$ et $B$ inversibles. En multipliant à gauche par $A^{- 1}$ et $B^{- 1}$ , on obtient $C = O_{n}$ ce qui est exclu.
En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles.

Exercice 13 4536

Soit $N$ une matrice nilpotente de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

(a)

Vérifier que la matrice $I_{n} - N$ est inversible et exprimer son inverse.
(b)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $A N = N A$ . Montrer que les matrices $A$ et $A + N$ sont simultanément¹¹ 1 Autrement dit, lorsque l’une des deux matrices est inversible, l’autre l’est aussi. inversibles.

Exercice 14 1262 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ telle que la matrice $I_{n} + A$ soit inversible. On pose $B = (I_{n} - A) {(I_{n} + A)}^{- 1}$ .

(a)

Montrer que $B = {(I_{n} + A)}^{- 1} (I_{n} - A)$ .
(b)

Montrer que $I_{n} + B$ est inversible puis exprimer $A$ en fonction de $B$ .

Solution

(a)

Comme $(I_{n} + A) (I_{n} - A) = (I_{n} - A) (I_{n} + A)$ , on a, en multipliant à droite et à gauche par ${(I_{n} + A)}^{- 1}$ , la relation

$(I_{n} - A) {(I_{n} + A)}^{- 1} = {(I_{n} + A)}^{- 1} (I_{n} - A) .$
(b)

On a

$(I_{n} + A) (I_{n} + B) = (I_{n} + A) + (I_{n} - A) = 2 I_{n}$

donc $I_{n} + B$ est inversible et

${(I_{n} + B)}^{- 1} = \frac{1}{2} (I_{n} + A)$

puis

$(I_{n} - B) {(I_{n} + B)}^{- 1} = \frac{1}{2} (I_{n} + A - (I_{n} - A)) = A .$

Exercice 15 5193

Soit $A$ une matrice antisymétrique réelle de taille $n$ .

(a)

Calculer $X^{⊤} A X$ pour toute colonne $X$ réelle de hauteur $n$ .
(b)

Montrer que $I_{n} + A$ est inversible.

On pose $M = (I_{n} - A) {(I_{n} + A)}^{- 1}$

Exercice 16 5816 Correction

(Matrice à diagonale strictement dominante)

Soit $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ vérifiant

| a_{i, i} | > \sum_{\begin{matrix} 1 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{matrix}} | a_{i, j} | pour tout i \in ⟦ 1; n ⟧ .

On considère $X \in ℳ_{n,1} (ℂ)$ vérifiant $A X = 0$ . En introduisant une coordonnée de $X$ de module maximal, établir que $X = 0$ . Que peut-on en déduire?

Solution

Notons $x_{1}, \dots, x_{n}$ les coefficients de $X$ . L’égalité $A X = 0$ donne

\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} = 0 pour tout i \in ⟦ 1; n ⟧ .

On introduit un indice $i_{0}$ tel que $| x_{i_{0}} |$ est le maximum des $| x_{1} |, \dots, | x_{n} |$ et l’on considère l’égalité précédente pour $i = i_{0}$ . Afin d’exploiter l’hypothèse de travail, on isole le terme d’indice $i_{0}$ de la somme et l’on passe en valeurs absolues afin d’écrire

| a_{i_{0}, i_{0}} | | x_{i_{0}} | \leq \sum_{j \neq i_{0}} | a_{i_{0}, j} | \underset{\begin{matrix} \leq | x_{i_{0}} | \end{matrix}}{\underset{⏟}{| x_{j} |}} \leq \sum_{j \neq i_{0}} | a_{i_{0}, j} | | x_{i_{0}} | = (\sum_{j \neq i_{0}} | a_{i_{0}, j} |) | x_{i_{0}} | .

Par l’absurde, si $| x_{i_{0}} | > 0$ , on simplifie par $| x_{i_{0}} |$ et cela produit une inégalité qui contredit l’hypothèse du sujet. On en déduit $| x_{i_{0}} | = 0$ puis $x_{1} = \dots = x_{n} = 0$ car $| x_{i_{0}} |$ a été introduit comme le maximum des $| x_{1} |, \dots, | x_{n} |$ .

Finalement, la colonne $X$ est nulle. Le noyau de la matrice carrée $A$ se limite donc à l’élément nul, cette matrice est inversible.

Exercice 17 5196

Soient $A \in ℳ_{n, p} (ℝ)$ et $B \in ℳ_{p, n} (ℝ)$ .

Montrer que la matrice $I_{n} - A B$ est inversible si, et seulement si, $I_{p} - B A$ l’est.

Exercice 18 4961 X (PC)

Montrer qu’une matrice $A$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une matrice $B \in ℳ_{n} (ℝ)$ non nulle vérifiant

{(A + B)}^{p} = A^{p} + B^{p} pour tout p \in ℕ^{*} .

[<] Problèmes de commutation [>] Calcul des puissances d'une matrice carrée

Édité le 24-01-2025

Matrices carrées inversibles