[<] Problèmes de commutation [>] Calcul des puissances d'une matrice carrée

 
Exercice 1  4526  

Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse

A=(1012-11-11-1)3().
 
Exercice 2  1256  Correction  

Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:

  • (a)

    A=(10-121-3-102)

  • (b)

    B=(1012-11-11-1)

  • (c)

    C=(11-120121-1)

Solution

  • (a)

    Par la méthode du pivot, on opère sur les lignes d’une matrice de blocs A et In pour transformer A en In. On sait qu’alors le bloc In sera transformé en A-1.

    (10-110021-3010-102001).
    (10-110001-1-210001101).
    (100201010-111001101).

    On conclut

    A-1=(201-111101).
  • (b)

    Par la méthode du pivot

    (1011002-11010-11-1001).
    (1011000-1-1-210010101).
    (1011000-1-1-21000-1-111).
    (1011000112-100011-1-1).
    (1000110101010011-1-1).

    On conclut

    B-1=(0111011-1-1).
  • (c)

    Par la méthode du pivot

    (11-110020101021-1001).
    (11-11000-23-2100-11-201).
    (11-11000-11-2010-23-210).
    (11-110001-120-100121-2).
    (100-10101041-300121-2).

    On conclut

    C-1=(-10141-321-2).
 
Exercice 3  2575    CCP (PC)Correction  

Montrer que la matrice

A=(0111101111011110)

est inversible et calculer son inverse.

Solution

On a A2=3I+2A donc

A-1=13(A-2I).
 
Exercice 4  1257  Correction  

Justifier que

A=(1(-1)01)n()

est inversible et déterminer A-1.

Solution

A est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls.
Soient X,Yn,1(). L’équation Y=AX équivaut à X=A-1Y or

{x1-(x2++xn)=y1xn-1-xn=yn-1xn=yn{x1=y1+y2+2y3++2n-2ynxn-2=yn-2+yn-1+2ynxn-1=yn-1+ynxn=yn

donc

A-1=(1122n-22011).
 
Exercice 5  1291  Correction  

Montrer que les matrices carrées d’ordre n2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:

  • (a)

    A=(1-a(0)-a(0)1)

  • (b)

    B=(1(1)(0)1)

  • (c)

    C=(12n2(0)1)

Solution

  • (a)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires: C2C2+aC1,C3C3+aC2,,CnCn+aCn-1 on obtient

    A-1=(1aa2an-101aa21a001).
  • (b)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires:
    CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1, on obtient

    A-1=(1-1(0)-1(0)1).
  • (c)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires: CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1,
    puis encore CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1, on obtient

    A-1=(1-21(0)111-2(0)1).
 
Exercice 6  5191  

Soit a. Calculer l’inverse de la matrice

M=(1aa2an-11aa2a(0)1)n().
 
Exercice 7  1255  Correction  

Soit

A=(abcd)2(𝕂).

Observer que

A2-(a+d)A+(ad-bc)I=0.

À quelle condition A est-elle inversible? Déterminer alors A-1.

Solution

La relation A2-(a+d)A+(ad-bc)I=0 est immédiate
Si ad-bc0 alors A est inversible et A-1=1ad-bc((a+d)I-A)=1ad-bc(d-b-ca).
Si ad-bc=0 alors A2-(a+d)A=0.
Par l’absurde, si A est inversible, A est régulière donc A=(a+d)I puis A=O. Absurde.

 
Exercice 8  1260   Correction  

Soit

A=(2-125-33-10-2).
  • (a)

    Calculer (A+I3)3.

  • (b)

    En déduire que A est inversible.

Solution

  • (a)

    On a

    A+I3=(1-125-23-10-1)et(A+I3)2=(2-112-11-21-1)

    puis (A+I3)3=O3.

  • (b)

    Par la formule du binôme de Newton (A et I3 commutent), on obtient A3+3A2+3A+I3=O3. On organise ce produit sous la forme AB=I3 avec B=-(A2+3A+3I3). On en déduit que A est inversible et

    A-1=-(A2+3A+3I3).
 
Exercice 9  1261   Correction  

Soit A=(1-δi,j)n()

  • (a)

    Calculer A2.

  • (b)

    Montrer que A est inversible et exprimer A-1.

Solution

  • (a)

    A=J-In avec J2=nJ donc A2=(n-2)J+In=(n-2)A+(n-1)In.

  • (b)

    AB=In pour B=1n-1(A-(n-2)In) donc A est inversible et B=A-1.

 
Exercice 10  1259   

Soient n{0,1}, ω=e2iπ/n et la matrice

A=(ω(k-1)(-1))1k,nn().

On note A¯ la matrice conjuguée de A, c’est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de A.

Calculer AA¯. La matrice A est-elle inversible? Exprimer son inverse si c’est le cas.

 
Exercice 11  2688     MINES (MP)Correction  

Soit ω une racine primitive n-ième de l’unité. On pose

Fω(P)=1nk=0n-1P(ωk)Xk

pour tout Pn-1[X].

Montrer que Fω est un automorphisme de n-1[X] et exprimer son inverse.

Solution

Fω est clairement un endomorphisme de n-1[X]. Sa matrice dans la base (1,X,,Xn-1) est A=(ai,j)0i,jn-1 avec

ai,j=1nωijpour tout 0i,jn-1.

On remarque que A¯A=In car

1nk=0n-1ω(j-i)k={1 si i=j0 sinon.

Par suite, Fω est un automorphisme et Fω-1 étant représenté par A¯,

Fω-1(P)=1nk=0n-1P(ω-k)Xk.
 
Exercice 12  4539   

Soient n et A=(ai,j)0i,jnn+1() la matrice dont le coefficient général11 1 On notera que, dans ce sujet, lignes et colonnes sont indexées à partir du rang 0. est donné par le coefficient binomial:

ai,j=(ji)pour tout (i,j)0;n2.

Soit φ l’endomorphisme de n[X] représenté par la matrice A dans la base canonique (1,X,,Xn).

  • (a)

    Exprimer simplement φ(P) pour tout P de n[X].

  • (b)

    Montrer que A est inversible et calculer A-1.

 
Exercice 13  3420  Correction  

Soient A,B,Cn(𝕂)(n2) non nulles vérifiant

ABC=On.

Montrer qu’au moins deux des matrices A,B,C ne sont pas inversibles.

Solution

Supposons A et B inversibles. En multipliant à gauche par A-1 et B-1, on obtient C=On ce qui est exclu.
En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles.

 
Exercice 14  4536   

Soit N une matrice nilpotente de n().

  • (a)

    Vérifier que la matrice I3-N est inversible et exprimer son inverse.

  • (b)

    Soit An() telle que AN=NA. Montrer que les matrices A et A+N sont simultanément11 1 Autrement dit, lorsque l’une des deux matrices est inversible, l’autre l’est aussi. inversibles.

 
Exercice 15  1262   Correction  

Soit An(𝕂) telle que la matrice In+A soit inversible. On pose B=(IN-A)(IN+A)-1.

  • (a)

    Montrer que B=(IN+A)-1(IN-A).

  • (b)

    Montrer que IN+B est inversible et exprimer A en fonction de B.

Solution

  • (a)

    Comme (IN+A)(IN-A)=(IN-A)(IN+A), on a, en multipliant à droite et à gauche par (IN+A)-1, la relation

    (IN-A)(IN+A)-1=(IN+A)-1(IN-A).
  • (b)

    On a

    (IN+A)(IN+B)=(IN+A)+(IN-A)=2IN

    donc IN+B est inversible et

    (IN+B)-1=12(IN+A)

    puis

    (IN-B)(IN+B)-1=12(IN+A-(IN-A))=A.
 
Exercice 16  5193    

Soit A une matrice antisymétrique réelle de taille n.

  • (a)

    Calculer XtAX pour toute colonne X réelle de hauteur n.

  • (b)

    Montrer que In+A est inversible.

On pose M=(In-A)(In+A)-1

  • (c)

    Montrer que M est inversible et11 1 On dit que la matrice M est orthogonale. M-1=Mt.

 
Exercice 17  1258    

(Matrice à diagonale strictement dominante)

Soit A=(ai,j)n() vérifiant

|ai,i|>1jnji|ai,j|pour tout i1;n.

Montrer que la matrice A est inversible.

 
Exercice 18  5196    

Soient An,p() et Bp,n().

Montrer que la matrice In-AB est inversible si, et seulement si, Ip-BA l’est.

 
Exercice 19  4971      MINES (PC)

Soit n avec n2. On note Ω l’ensemble des matrices élémentaires Ei,j de n() d’indice (i,j) avec i et j distincts.

  • (a)

    Montrer que, si un sous-espace vectoriel de n() contient Ω, il contient au moins une matrice inversible.

  • (b)

    Montrer que tout hyperplan de n() contient au moins une matrice inversible.

 
Exercice 20  4961      X (PC)

Montrer qu’une matrice A de n() n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une matrice Bn() non nulle vérifiant

(A+B)p=Ap+Bppour tout p*.

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Édité le 08-11-2019

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