[<] Matrices carrées inversibles [>] Symétrie matricielle

 
Exercice 1  1251  

Calculer An pour n et les matrices A suivantes:

  • (a)

    A=(110-1)

  • (b)

    A=(1101)

  • (c)

    A=(1103).

 
Exercice 2  4533  

On considère la matrice réelle

A=(123012001).
  • (a)

    Calculer An pour n.

  • (b)

    Calculer An pour n.

 
Exercice 3  1252  Correction  

On considère la matrice

A=(111011001)

et l’on pose B=A-I3.
Calculer Bn pour n et en déduire l’expression de An.

Solution

B=(011001000),B2=(001000000)

et Bn=O3 pour n3.
Comme B et I3 commutent, la formule du binôme donne

An=(I3+B)n=I3+nB+n(n-1)2B2

et donc

An=(1nn(n+1)201n001).
 
Exercice 4  1253   Correction  

Calculer An pour

A=(110011001)

de deux manières différentes.

Solution

  • (a)

    Par récurrence

    An=(1nn(n-1)201n001).
  • (b)

    A=I3+B avec

    B=(010001000).

    Puisque I3 et B commutent, la formule du binôme donne

    An=I3+nB+n(n-1)2B2

    car Bk=O3 pour k3

 
Exercice 5  1254   Correction  

On considère la matrice

A=(-1-234).
  • (a)

    Calculer A2-3A+2I2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

  • (b)

    Pour n2, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2-3X+2.

  • (c)

    En déduire l’expression de la matrice An.

Solution

  • (a)

    A2-3A+2I2=0. Comme A(-12A+32I2)=I2, on a

    A-1=-12A+32I2=(21-3/2-1/2).
  • (b)

    X2-3X+2=(X-1)(X-2). Sachant que le reste de la division euclidienne considérée est de la forme aX+b, en évaluant en 1 et 2, on détermine a et b et l’on obtient

    Xn=(X2-3X+2)Q(X)+(2n-1)X+2-2n.
  • (c)

    On peut remplacer X par A dans le calcul qui précède et l’on obtient

    An=(A2-3A+2I2)Q(A)+(2n-1)A+(2-2n)I2=(2n-1)A+(2-2n)I2

    et donc

    An=(3-2n+12-2n+13.2n-33.2n-2).
 
Exercice 6  2929     X (MP)Correction  

Soit

A=(1(1)(0)1)n().
  • (a)

    Soit k*. Majorer les coefficients de Ak.

  • (b)

    Calculer A-1.

  • (c)

    Calculer (A-1)k pour k.

Solution

  • (a)

    Si Mk majore les coefficients de Ak alors nMk majore les coefficients de Ak+1.
    On en déduit que les coefficients de Ak sont majorés par

    nk-1.

    On peut sans doute proposer plus fin.

  • (b)

    Posons T la matrice de n() dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de coefficients (i,i+1) qui valent 1. On remarque

    A=In+T++Tn-1.

    On en déduit

    (I-T)A=In-Tn

    et puisque Tn=On, on obtient

    A-1=In-T.
  • (c)

    Le calcul des puissances de A-1 est immédiat

    (A-1)k=j=0k(-1)j(kj)Tj

    et donc le coefficient d’indice (i,j) de (A-1)k est

    ai,j-k=(-1)j-i(kj-i)=(-1)j-ik(k-1)(k-j+i+1)(j-i)(j-i-1)1.

    Cette formule laisse présumer que le coefficient d’indice (i,j) de Ak est

    ai,jk=(-1)j-i(-k)(-k-1)(-k-j+i+1)(j-i)(j-i-1)1=(k+j-i-1j-i)

    ce que l’on démontre en raisonnant par récurrence.

 
Exercice 7  4975      X (PC)

Soient A,Bn() vérifiant11 1 A=(0100) et B=(100-1) vérifient la condition proposée. AB+BA=On.

Proposer une formule réalisant le développement de (A+B)m pour m*.

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Édité le 08-11-2019

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